Методика реализации принципа единства теории и практики в обучении математике на уровне предвузовского образования (стр. 1 )

МЕТОДИКА РЕАЛИЗАЦИИ ПРИНЦИПА ЕДИНСТВА ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ НА УРОВНЕ ПРЕДВУЗОВСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Центр международного образования МГУ им.

Математика – это больше, чем наука, это язык.

Нильс Бор

На первый взгляд может показаться, что в этом определении нет ничего особенного… Однако язык математики имеет одну отличительную, ставящую ее в особое положение черту: над ним усилиями многих поколений математиков воздвигнуто огромное стройное здание дедуктивных построений. Поэтому всякий раз, когда та или иная задача в любой области науки может быть сформулирована на данном языке, к услугам исследователя оказывается и определенная часть здания в виде соответствующего математического аппарата.

Согласно одному из основных принципов обучения математике – принципу единства теории и практики, всякое приобретенное знание не должно оставаться мертвым капиталом: его надо использовать для тех или иных полезных целей, и чем скорее, тем лучше. Действительно, очень большое значение имеет то обстоятельство, что теория, применением которой учащиеся овладели, становится для них гораздо более ясной и прочнее запоминается. Известно, что переход от теории к практике осуществляется в математике проще, чем в любой другой науке. Великие методисты считают, что, вообще, решение самых разнообразных задач, начиная с самых простых примеров, иллюстрирующих каждое новое определение, каждую новую теорему, с постепенным увеличением сложности и трудности должно быть органической составной частью каждого урока математики (см. [1], с. 49).

Изучение теории и ее приложений на практике должно идти согласованно, гармонично. Плохо, когда преподаватель, занимаясь теорией, вовсе не находит времени на решение задач, что нередко бывает на уроках геометрии. Особенно это относится к этапу повторения курса математики в конце обучения в средней школе или на подготовительных отделениях, факультетах. Но не менее плохо, если изучение предмета сводится к одному лишь решению задач, как это, к сожалению, довольно часто бывает при работе, например, на занятиях по алгебре, когда учащиеся механически производят указанные им выкладки, не отдавая себе отчета ни в их назначении, ни в их обосновании. То же самое практически всегда имеет место на занятиях по черчению, где различные построения производятся откровенно по рецепту без каких-либо ссылок на геометрические основы возникновения предложенного рецепта (об этом подробно см. [2], п. 2 и п. 3.3).

Но связь теории с практикой надо понимать шире, т. е. не только как непосредственное использование теоретических положений для решения задач, отличающихся от самих теоретических положений только числовой конкретизацией данных, или как реализацию межпредметных связей, которая по-существу тоже является демонстрацией, конечно, более отдаленных от только изученных теоретических положений, но все-таки учебных задач.

Как сказал , необходимо «упражнять» учащихся в непосредственном применении приобретенных математических знаний к решению различных практических вопросов, выдвигаемых жизнью. В этом направлении еще в 50-х годах в нашей стране была выдвинута директива приступить к всеобщему политехническому обучению в средней школе: «Коренное и весьма существенное изменение при переходе к политехническому обучению должна претерпеть вся прикладная часть школьного курса математики, т. е. те задачи, решение которых должно сопровождать изучение теоретической части этого курса. Без приобретения прочного навыка в решении задач не может быть вполне сознательного и сколько-нибудь прочного овладения теорией, причем содержание задач далеко не безразлично. Наряду с задачами тренировочного характера, школьники должны решать разнообразные задачи, какие действительно приходится решать в жизни, понимая ее в самом широком смысле: задачи бытовые, задачи всевозможных отраслей техники, задачи, какие ставят другие изучаемые в средней школе дисциплины – физика, химия, география, астрономия, черчение» (см [1], с. 52).

При этом обращалось особое внимание повышению культуры вычислений учащихся: «Недостатки в преподавании математики особенно ярко сказываются в отсутствии вычислительных навыков, вырабатываемых у учащихся. В школьном курсе математики современная вычислительная техника полностью игнорируется, мы держим учащихся на уровне техники XVIII в., когда передовым средством вычисления были логарифмы. В старших классах должны широко и сознательно применяться различные математические таблицы, среди которых таблицы логарифмов должны занимать достаточно скромное место, и счетная логарифмическая линейка, а в младших классах - обыкновенные конторские счеты. В современной технике все больше и больше используются «считающие чертежи» - так называемые номограммы, применение которых так ускоряет очень многие расчеты, в том числе самые сложные. Изучение устройства и употребления весьма многих номограмм вполне посильно для учащихся, изучающих геометрию и алгебру, и включение элементов номографии в программу несомненно – дело недалекого будущего. Однако и сейчас можно рекомендовать знакомство с простейшими номограммами в порядке решения задач» (там же, с.

В этом плане автором настоящей работы был выполнен анализ возможности и разработана методика преподавания основ номографии в средней школе (см. [3] - [7]). При этом в качестве практических задач, решаемых с помощью номограмм, были предложены задачи линейного программирования (см. [8]), в частности, разработаны номографические методы решения основной задачи линейного программирования для случая двух, трех и более переменных (см. [9], [10]), а также в качестве иллюстрации приводится номографическое решение задачи расчета точечного взрыва в газе (см. [11]); разработан номографический метод, доступный школьникам, решения системы линейных неравенств с тремя переменными [12], а затем в качестве жизненного примера приведено применение этого метода для решения одной задачи распределения ресурсов [13].

В работе [14] автором предложено использование номографических методов в преподавании физики, в [15] – в преподавании географии.

В работах [16], [17] излагается концепция установления межпредметных связей на примере математики и черчения.

Реформа математического образования рубежа 60 – 70-х годов в плане оптимальной подготовки учащихся средней школы к практической деятельности в любой отрасли народного хозяйства и к продолжению образования в высшем учебном заведении поставила дополнительную задачу включения в программу школы знакомство с принципами работы ЭВМ, что может быть успешно реализовано при условии целенаправленного развития математического мышления, в частности, развития у учащихся логической культуры через создание четких представлений об абстрактном характере математики с помощью овладения учащимися элементами математической логики (см. [18], с.

В работе [19] автор исследует возможности использования электронной вычислительной техники при построении геометрических моделей функциональных зависимостей, в работах [20] и [21] рассматривает проблему интеграции математики и информатики в предвузовском образовании.

Рассмотрим совершенно особые межпредметные связи математики – с предметом, который не отмечен ни в одной программе по математике, не намечен ни одной реформой школьного образования. Почему? Потому что тематически этот предмет не связан с математикой, однако практика жизни выявляет связи и в таких, можно сказать, безнадежных случаях.

Этот предмет – история. Посмотрим на этот предмет не с событийной точки зрения, не с хронологической (хотя в нашем случае это тоже далеко не безразлично), а с исскуствоведческой точки зрения.

1. Какие формы имеют постройки, изображенные на рисунках учебников истории, т. е. формы каких геометрических тел присутствуют в архитектуре жилых домов, культовых построек? Всегда ли легко ответить на этот вопрос?

1.1. Посмотрите на обложку учебника Новой истории зарубежных стран для 8 класса [22]. Какие геометрические тела Вы можете усмотреть? Параллелепипеды? Прямоугольные параллелепипеды? Цилиндры? Прямые круговые цилиндры? Призмы? Усеченные призмы? Более сложные геометрические тела, которые можно представить составленными из простых известных Вам тел?

Ощутили себя не только на уроке истории, но и на уроке геометрии, и на уроке черчения? Загляните внутрь книги, хотя бы на рисунок с. 22. Узнаете там прямоугольные параллепипеды, призмы, усеченные призмы, пирамиду, цилиндр? А какую форму имеют окна в колокольне? Арочную форму, т. е. снизу прямоугольную, а сверху – полукруглую! А ее купол? Он имеет, как говорят архитекторы, луковичную форму, но какое геометрическое тело явно усматривается в ней? Конечно, шар!

Разглядите внимательно рисунки на с. 44, 59, 67, 87, 92, 115, 121, 128, 138, 140, 164, 193, 202, 216, 225, 227, 234, 271, 283. Какая форма преобладает на всех этих рисунках? Почему? В каких зданиях используются «округлые» формы? Конечно, не в фабричных, и не в заводских! Колонны, арки, купола – украшения, поэтому их присутствие в архитектуре здания говорит о богатстве хозяина или о том, что здание – храм – культовое сооружение (см., например, арки на рисунки с. 115, 123, 134, 143, 216, 278, 283, купола на рисунках с.22, 121, 193, 202).

А какие формы узнаются в паровозах на рисунках с. 68 и с. 89? В заводских и фабричных машинах на рисунках с. 79, 107, 164, а в паровом плуге на рисунке с. 80, а в экипаже на рисунке с. 227?

Обратите внимание на головные уборы, украшающие головы военных, политических деятелей, простых крестьян (см., рисунки на с. 12, 17, 22, 33, 38, 42, 44, 47, 51, 57, 64, 71, 76, 80, 85, 96, 97, 108, 115, 118, 124, 129, 132, 141, 154, 162, 170, 171, 178, 197 – 199, 206, 210, 218, 221, 226, 230, 247, 251, 256, 257, 258, 262, 263, 290). Цилиндры, усеченные конусы и даже усеченные пирамиды (с. 91), полусферы, иногда окаймленные полями, представляющими собой чаще всего тонкое шаровое или цилиндрическое кольцо. Но есть и такие головные уборы, о форме которых трудно сказать однозначно (см., например, рисунки с. 22, 44, 47, 51, 96, 170, 178, 256), правда, можно, как и в случаях с архитектурой, попытаться «разложить» эти сложные формы на «элементарные». Так, сложные головные уборы французских военных (с. 22, 44, 47, 51, 91, 178), генерала-креола Хосе Сан-Мартина, руководившего освобождением Чили от испанских завоевателей в апреле 1818 г. (с. 178), спереди имеют очертания в виде дуги окружности, концы которой плавно переходят в отрезки касательных к этой дуге в этих ее концах! А шлем на рисунке с. 256 вообще требует уточнений, так как его форма очень непроста.

Посмотрите на головной убор нашего царя на рисунках с. 247 или с. 218 – цилиндр! И, отвлекаясь от рассматриваемой книги, обратите внимание на головной убор митрополитов (см., например, [23], т. 5, ч. 3, с. 425, 433) – усеченный конус! Вспомните шлемы древнерусских воинов - хотя бы по картине «Богатыри» (см. [23], т. 7, ч. 2, с. 390) или по археологическим раскопкам (см., например, [23], т.5, ч. 1, с. 7) и музейным экспонатам (см. шлем князя Ярослава Мудрого в [23], т. 7, ч. 1, с. 399), буденовку (см. [23], т. 5, ч. 3, с. 427), которая напоминает эти шлемы, - ведь это не иначе как купола-луковицы, венчавшие христианские храмы, а каски советских солдат времен Великой Отечественной войны (см., например, [23], т. 5, ч. 3, с. 529) – ведь они имеют форму, очень близкую к шаровому сегменту!

А монеты (см. [22], с. 65 и 161) – тонкие цилиндры?

А посуда? Посмотрите там же на рисунки с. 177, 183, 204, 206, 293. Сосуды, изображенные на них имеют сложные формы, однако некоторые их части можно идентифицировать с элементарными геометрическими телами. Так, об основной рабочей части вазы рисунка с. 206 можно сказать, что она имеет форму полусферы, об аргентинском кувшине, изображенном на рисунке с. 183 - что его можно рассматривать составленным из цилиндров и усеченных конусов, а основную часть кувшина, изображенного на рисунке с. 204, можно представить составленной из полусферы (нижняя часть) и усеченного конуса (горло). Что касается сосудов, изображенных на рисунках с. 293 и, тем более с. 177, то их формы свести к элементарным практически невозможно.

1.2. Возьмите в руки другие учебники истории, уже использованную нами ранее «Энциклопедию для детей» [23] («Издательский дом “Аванта+”»), рекомендованную Управлением развития общего среднего образования МО РФ как дополнительное пособие для учащихся, хотя бы тома, посвященные истории России (т. 5) и других стран (тт.1, 13), искусству (т. 7) и мировым религиям (т. 6). Обратите внимание, например, на рисунки и фотографии в томе «Искусство» (т. 7, ч. 1) на с. 88, 100, 105, 106, 109, 113 – 115, 129, 646 (сосуды), с. 183, 201, 216 – 217, 256, 260 – 322, 538 – 539, 571 –573, 580 – 582, 590 – 591, 602, 608 – 609, 614, 636, 655 (архитектура).

Рассмотрите внимательно рисунок на с. 299, а точнее – главный купол Архангельского собора в Московском Кремле. Перерисуйте его на кальку и постройте профиль того шара, который является его основой (если это вызывает затруднения, то прочитайте п. 2.3 – в нем мы Вам подробно напомним, как построить центр окружности в похожей ситуации). Построив круговой сегмент, измерьте его высоту и соотнесите ее с высотой всей «луковицы» купола – Вы получите дробь 3/5! Это приближенное значение числа φ, которое, как известно из литературы (см., например, [23], т. 11, с. 191), еще в V в. до н. э. было использовано древнегреческим скульптором Фидием при строительстве храма Парфенон в Афинах – число φ многократно присутствует в пропорциях этого храма.

Деление отрезка в отношении φ было описано Евклидом (см. там же) в его знаменитых «Началах» (III в. до н. э.), однако широкое использование этого числа в композиционном построении многих произведений искусства, главным образом, произведений архитектуры, началось с Леонардо да Винчи, жившего и творившего свои бессмертные произведения в Италии в конце XV в. – начале XVI в. (об этом см. еще «Математический энциклопедический словарь» [24], с. Именно Леонардо да Винчи назвал деление отрезка в отношении φ «золотым сечением». Таким образом, в основу построения купола Архангельского собора положен принцип «золотого сечения»! И это не удивительно, поскольку этот собор был построен в 1505 – 1508 гг. итальянским архитектором Алевизом Фрязиным вскоре после его прибытия из Италии.

Вообще, посмотрите вокруг себя дома, на улице … Постарайтесь максимально увидеть в окружающем вас мире знакомые вам из геометрии и черчения формы!

2. Теперь несколько ограничим поле нашего исследования - на сосудах, найденных при археологических раскопках. Возьмем т. 1 «Энциклопедии для детей» [23] и, посмотрев на сосуды, изображенные на с. 26, постараемся определить их форму: первый сосуд (Иран, IV тыс. до н. э.) состоит из цилиндра (верхняя часть) и усеченного конуса (нижняя часть); второй сосуд (Ирак, Иран, VI – V тыс. до н. э.) – из двух усеченных конусов; третий сосуд имеет форму шарового слоя; пятый сосуд (Китай, IV тыс. до н. э.) можно считать составленным из двух усеченных конусов (горло и нижняя часть) и шарового слоя (верхняя часть); последний сосуд (Сицилия, IV тыс. до н. э.) имеет форму усеченного шара. Аналогично мы можем исследовать сосуды, изображенные на с. 34, 35, 37, 47, 54, 57.

А теперь поставим перед собой задачу вычислить объемы некоторых из старинных сосудов. Для этого рассмотрим статьи [25] - [28], посвященные раскопкам на территории Евразии и написанные археологами Московского университета. Многие из этих сосудов повреждены, сохранились только частично, и только благодаря квалифицированной работе археологов удалось восстановить их формы. На рисизображены сосуды, объемы которых мы попытаемся вычислить, хотя бы приближенно, при этом будем вычислять внутренний объем, т. е. вместимость этих сосудов. Напомним терминологию, которую будем использовать: каждый сосуд состоит их трех частей – тулова (основная, центральная часть сосуда), горла – устья и дна. Иногда сосуд имеет подставку, выполненную вместе с сосудом, которая называется поддоном.

Все сосуды будем рассматривать как тела вращения, поэтому каждый сосуд можно представить состоящим из цилиндров, конусов, усеченных конусов, шаровых сегментов, шаровых слоев или в более сложных случаях как фигуры, полученные в результате вращения вокруг оси неких «криволинейных трапеций».

Таким образом, нам понадобятся знания из геометрии – нужно будет вспомнить формулы для вычисления объемов тел вращения, известные из школьного курса стереометрии (см., например, учебник [29], с. Проблемы, возникающие попутно в связи с определением числовых значений некоторых необходимых параметров (например, радиуса шара, определяющего форму рассматриваемого сосуда), потребуют вспомнить и отдельные разделы из планиметрии.

Чтобы вычислить объем сосуда, необходимо измерить его размеры. Для этого надо сначала изготовить линейку по масштабу, изображенному рядом с сосудом, и только после этого этой линейкой измерить необходимые параметры (радиусы дна, горла, промежуточные радиусы тулова, высоты). Кроме того, всегда будем иметь в виду, что наша задача – вычислить объем сосуда приближенно, но все-таки «достаточно хорошо», т. е. с учетом индивидуальных масштабов и характерных особенностей рассматриваемых геометрических форм.

Потребуется вспомнить и приближенные вычисления, причем, с естественной необходимостью, поскольку, как конструирование линейки, так и измерения, которые мы будем производить, практически не будут точными. Для этого достаточно заглянуть в учебник алгебры для 8 класса, например, под ред. (см. [30], с. 192 – 202).

Для каждой схемы вычислений мы будем предлагать программу, дающую возможность получить искомые результаты с помощью компьютера, при этом представленные программы совместимы с Microsoft Quick-Basic 4.5 и при их составлении используется методика пособия автора [31].

2.1. Цилиндрические сосуды. Рассмотрим глиняное блюдо рис. 1а найденное в «Круглом кургане» в окрестностях станицы Нижне-Тиловской, расположенной на Дону недалеко от Ростова (см. [25], с. 213, рис. 4,7). Блюдо датируется серединой I в. н. э. На с. 196 авторы так описывают форму этого блюда: «невысокое, форма близка к полусферической, однако стенки тулова практически прямые».

Из рис. 1а видно, что соединение дна со стенкой тулова закруглено – именно поэтому авторы статьи сказали о полусферической форме, однако поскольку закругление невелико, мы можем его не учитывать, т. е. можем считать, что рассматриваемое блюдо имеет цилиндрическую форму.

Вычисление внутреннего объема блюда разобьем на следующие этапы:

1)  по масштабу, изображенному рядом с сосудом, на полоске бумаги изготавливаем линейку (см. рис. 1б);

2)  этой линейкой измеряем необходимые размеры сосуда – радиус его основания r и его высоту h;

3)  вычисляем искомый объем данного сосуда по формуле

Vцил.= πr2h. (1)

а

б

Рис. 1

В нашем случае измерения дают r = 12,6 см, h = 4 см. Ясно, что эти значения приближенные, причем, второе значение целесообразно записать как 4,0 см. Возникает вопрос: как «грамотно», с точки зрения теории приближенных вычислений, выполнить вычисления по формуле (1)? Для этого вспомним раздел «Приближенные вычисления», изученный в 8 классе (см., например, [30], с. Руководствуясь основными положениями теории приближений, определим относительную точность исходных данных, по необходимости записав их в стандартном виде: r = 1,26 ∙ 10 см, h = 4,0 см, откуда видно, что менее точным приближением является значение h, заданное с относительной точностью до десятых долей единицы, или, иными словами, имеющее две значащие цифры (под значащими цифрами числа мы понимаем все его цифры, за исключением нулей, стоящих перед первой цифрой, отличной от нуля, и тех нулей справа, которые заменяют отброшенные или неизвестные числа – об этом см., например, [33], с. 349).

Итак, сначала вычисляем r2 = 12,6 ∙ 12,6 = 158,76. Это число округляем до трех значащих цифр в соответствии с правилом для промежуточных вычислений (об этом см., например, [32], c. 68, или [33], c. 354, или [34], с. 40 – 41, или [1], c. 181) и таким образом получаем r2 ≈ 159. Далее, это число умножаем на 4,0 и получаем r2h = 636,0; округляя его до трех цифр (отмечаем этот шаг, хотя в данном случае он кажется тривиальным), имеем: r2h = 636. В заключение осталось умножить последнее число на приближенное значение числа . Очевидно, что для решения данной конкретной задачи в качестве приближенного значения достаточно взять число 3,14. Таким образом, получаем V = 1997,04. В соответствии с правилом округления окончательного результата, округляем это значение до десятых долей единицы в первом множителе его стандартной записи, или, что то же самое, до двух значащих цифр:

V = 1,99704 ∙ 103 см3 ≈ 2,0 ∙ 103 см3 = 2000 см3 = 2 дм3 = 2 л.

Задача решена.

Теперь составим программу для вычисления объемов цилиндрических сосудов:

ПРОГРАММА 1:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДР. СОСУДА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R И H»

30 INPUT R, H

40 PRINT «V=»; 3.14R^2H; «куб. см»

50 END

Запустив эту программу и введя исходные значения r и h из рассматриваемого примера, получаем:

V = 1994.026 куб. см

После округления, выполненного аналогично предыдущему, получаем:

V ≈ 1,994026 ∙ 103 см3 ≈ 2,0 ∙103 см3 = 2000 см3 = 2 дм3 = 2 л.

Это и есть окончательный результат.

2.2. Усеченно-конические сосуды. Рассмотрим керамическую чашу рис. 2, найденную при раскопках могильника Бельбек IV в Юго-Западном Крыму (см. [26], с. 259, рис. 5,4) и датированную III четвертью I в. н. э. Она имеет усеченно-коническую форму, что и отмечено в комментариях к рисунку в статье на с. 242.

Последовательность работы та же самая, что и в предыдущем случае:

Рис. 2

1)  по масштабу, изображенному рядом с тарелкой, изготавливаем линейку; заметим, что если Вы сравните масштабы рис. 1 и рис. 2, то увидите, что они одинаковые, поэтому при решении данной задачи можно воспользоваться линейкой из предыдущего пункта (см. рис. 1б);

2)  этой линейкой измеряем необходимые размеры тарелки – радиус его основания r1, максимальный радиус по краю горла r2 и его высоту h;

4)  вычисляем искомый объем данного сосуда по формуле

Vусеч. кон.= πh(r + r1r2 + r ). (2.1)

Для рассматриваемой чаши измерения дают

r1 = 2,0 см, r2 = 3,8 см, h = 3,6 см. (2.2)

Из полученных значений видно, что все они уже имеют стандартный вид и одну и ту же относительную точность – до десятых долей единицы. Поэтому, подставив эти значения в формулу (2) и руководствуясь правилами промежуточных округлений (см., например, [32], с. 68), получаем: r = 2,02 = 4,00; r = 3,82 = 14,44; r1r2 = 2,0 ∙ 3,8 = 7,60 – во всех результатах удерживаем две цифры после запятой, т. е. на одну больше, чем в исходных данных, поскольку следующее действие – сложение. Выполнив сложение, получаем: r + r1r2 + r = 26,04. Так как следующее действие – умножение, то удерживаем три значащих цифры, т. е. на одну больше, чем в исходных данных и приходим к числу 26,0.

Следующее действие – умножение полученного числа на значение h: 26,0 ∙ 3,6 = 93,60. Опять, так как следующее действие – умножение, удерживаем три значащие цифры и приходим к числу 93,6. Умножая это число на 3,14, получаем 293,904. Поскольку следующее действие – деление, округляем это число до третьей значащей цифры и приходим к числу 294. Деля его на 3, получаем число 98. Так как это число имеет две значащие цифры (такое же количество, как и исходные данные) и не имеет дробной части, можно считать, что это и есть окончательный результат. Задача решена. Итак, V ≈ 98 см3.

Составим программу для вычисления объемов усеченно-конических сосудов:

ПРОГРАММА 2:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-КОН. СОСУДА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2 И H»

30 INPUT R1, R2, H

40 PRINT «V=»; 3.14H(R1^2 + R1R2 + R2^2)/3; «куб. см»

50 END

Запустив эту программу и введя значения исходных данных (2.2), на экране дисплея получаем:

V = 98.16871 куб. см

Округлив это число до двух значащих цифр или, как предлагается в [30], записав это значение в стандартном виде и округлив его первый множитель до десятых долей (так как все исходные данные получены именно с такой точностью), приходим к следующему окончательному результату :

V ≈ 9,816871 ∙ 10 см3 ≈ 9,8 ∙ 10 см3 = 98 см3,

который, естественно, совпадает с полученным вручную.

2.3. Усеченно-сферические сосуды. Рассмотрим бронзовый котел рис. 3а, найденный при раскопках «Круглого кургана» (см. [25], с. 215, рис. 6, 2) и датированный I половиной I в. н. э. На с. 199 – 200 авторы статьи так описывают форму этого котла: «тулово котла полусферическое, с сужающимися к устью стенками». Перенесем на кальку очертания этого котла. Так как для вычисления объема усеченного шара необходимо знать размеры радиуса шара и высоту шарового сегмента, то необходимо выполнить некоторые построения (см. рис.3в):

а

б в

Рис. 3

1)  диаметр отверстия делим пополам и получаем точку K;

2)  через найденную точку K проводим перпендикуляр, являющийся осью вращения рассматриваемого шарового сегмента. Ее отрезок KL – искомая высота;

3)  чтобы найти радиус, необходимо найти центр предполагаемого шарового сегмента. Ясно, что он находится на построенной высоте KL. Проводим любую хорду, например, AL, делим ее пополам и из полученной середины восставляем перпендикуляр к этой хорде. Построенный перпендикуляр пересечет высоту в какой-то точке О. Эту точку мы можем принять за искомый центр, а отрезок OL – за искомый радиус. Для уточнения значения радиуса можно сделать дополнительные построения – провести еще одну хорду (или две) и построить соответствующий центр O1 (или два – O1 и O2).

Далее поступаем аналогично предыдущим случаям:

4)  по имеющемуся на рис. 3а масштабу изготавливаем линейку (см. рис. 3б);

5)  измеряем высоту и радиусы: |KL| = h, |OL| = r1, |O1L| = r2 (|O2L| = r3). Вычисляем значение радиуса r как среднее арифметическое значений r1 и r2 (и r3):

r = (или r = ). (3.1)

6)  Вычисляем искомый объем по формуле для шарового сегмента

V = πh(h2 + 3r

В нашей конкретной задаче измерения дают:

r1 = 20,5 = 2,05 ∙ 10 (см), r2 = r3 = 22,4 = 2,24 ∙ 10 (см), h = 31,0 = 3,10 ∙ 10 (см), (3.3)

откуда видно, что исходные данные заданы с абсолютной точностью до одного знака после запятой и с относительной точностью до трех значащих цифр. Значит, промежуточные вычисления по формуле (3.2) надо будет производить с двумя знаками после запятой (сложение) и с четырьмя значащими цифрами (умножение и деление):

1)  r1 + r2 + r3 = 20,5 + 22,4 + 22,4 = 65,3;

2)  r = 65,3/3 = 21,76(6) ≈ 21,77;

3)  r2 = 21,772 = 473,9329 ≈ 473,9;

4)  3r2 = 3 ∙ 473,9 = 1421,7;

5)  h2 = 31,02 = 961,00;

6) h2 + 3r2 = 961,00 + 1421,7 = 2382,70;

7)  h(h2 + 3r2) = 31,0 ∙ 2382,70 = 73863,700 ≈ 73860;

8)  h(h2 + 3r2) = 3,142 ∙ 73860 = 120 ≈ 232100;

9)  V = 232100/6 = 38683,(3) ≈ 38700.

Таким образом, задача решена и V ≈ 38700 см2 = 38,7 дм2 = 38,7 л.

Теперь составим программу для вычисления объемов усеченно-сферических сосудов:

ПРОГРАММА 3:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-СФЕРИЧ. СОСУДА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2, R3 И H»

30 INPUT R1, R2, R3, H

40 PRINT «V=»; 3.142H(H^2+3((R1+R2+R3)/3)^2)/6; «куб. см»

50 END

Запустив программу и введя значения (3.3) исходных данных, получаем:

V = 38674.49 куб. см

Округлив это значение до трех значащих цифр, получаем окончательный ответ:

V ≈ 38700 см3 = 38,7 дм3 = 38,7 л.

А теперь перейдем к более сложным сосудам, которые можно представить составленными из нескольких элементарных сосудов.

2.4. Два конуса. Рассмотрим керамические тарелку рис. 4.1 и чашу рис. 4.2, найденные при раскопках могильника Бельбек IV в Юго-Западном Крыму (см. [26], с. 256, рис.2,5 и с. 259, рис. 5,5).

2.4.1. Тарелка, датированная III – началом IV-й четверти I в. н. э., как отмечают авторы статьи на с. 237, имеет усеченно-коническое тулово, расширяющееся кверху. Действительно, тарелка практически состоит из двух конусов (см. рис. 4.1): нижнего - с радиусами r1, r2 и высотой h1, и верхнего - с радиусами r3 , r4 и высотой h2 .

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Ясно, что объем тарелки равен сумме объемов двух конусов, поэтому, дважды воспользовавшись методикой п. 2.2, получим искомый объем:

1)  линейкой п. 2.1 без труда измеряем необходимые размеры:

r1 = 4,9 см, r2 = 5,6 см, h1 = 1,8 см; r3 = 6,2 см, r4 = 6,4 см, h2 = 0,7 см,

откуда видно, что объем нижнего конуса надо будет рассчитывать с точностью до двух значащих цифр, промежуточные вычисления – с точностью до двух десятичных знаков (сложение) и до трех значащих цифр (умножение и деление), а верхний конус – с точностью до одной значащей цифры, промежуточные вычисления – с точностью до двух десятичных знаков (сложение) и до двух значащих цифр (умножение и деление);

2)  с помощью формулы (2.1) получаем:

Vнижн. кон.= (3,14 ∙ 1,8) ∙ (4,92 + 4,9 ∙ 5,6 + 5,62)/3 = 5,652 ∙ (24,01 + 27,44 + 31,36)/3 ≈ 5,65 ∙ 82,81/3 ≈ 5,65 ∙ 82,8/3 = 467,820/3 ≈ 468/3 = 156 ≈ 160;

V верх. кон.= (3,1 ∙ 0,7) ∙ (6,22 + 6,2 ∙ 6,4 + 6,42)/3 = 2,17 ∙ (38,44 + 39,68 + 40,96)/3 ≈ 2,2 ∙ 119,08/3 ≈ 2,2 ∙ 119/3 = 261,8/3 ≈ 260/3 = 86,(6) ≈ 90;

V = Vнижн. кон. + V верх. кон. ≈ 160 + 90 = 250 см3 = 0,25 дм3 ≈ 0,25 л.

Дважды воспользовавшись Программой 3, получаем: для нижнего конуса –

V = 156.014 куб. см

для верхнего конуса (заменив в строке 40 значение числа с 3.14 на 3.1) –

V = 86.13453 куб. см

Округлив первое значение до двух значащих цифр, а второе – до одной, а затем сложив полученные значения, получаем то же число, что и вручную.

2.4.2. Теперь перейдем к чаше рис. 4.2, датированной II половиной I в. н. э. Авторы статьи на с. 243 назвали ее чашей полусферической формы, на самом же деле она не очень похожа на часть сферы. Чтобы убедиться в этом, достаточно провести построения, описанные в предыдущем пункте 2.3, которые дадут достаточно далеко друг от друга расположенные «центры». Внимательно приглядевшись к этой чаше, поймем, что правдоподобнее рассматривать ее как сосуд, составленный из двух конусов, важно только выявить место их стыковки (см. рис. 4.2) и провести затем горизонтальный отрезок до пересечения с высотой и тем самым определить соответствующий радиус (стыковки) и высоты нижнего конуса и верхнего усеченного конуса.

Изготовив линейку (или воспользовавшись линейкой из примера п. 2.1 – масштаб в том примере такой же, как в рассматриваемом) и измерив с ее помощью соответствующие радиусы и высоты, получаем числовые значения r1, r2, h1, h2 и вычисляем объем чаши как сумму двух объемов:

V = V1 + V2 , где V1 = Vкон.= π r12h1 и V2 = Vусеч. кон.= πh2(r + r1 r2 + r

Для нашего конкретного примера имеем:

r1 = 4,1 см, h1 = 0,9 см, r2 = 5,0 см, h2 = 3,8 см, (4.2)

откуда видно, что объем нижнего конуса надо будет рассчитать с точностью до одной значащей цифры, промежуточные вычисления – с точностью до двух значащих цифр, а объем верхнего конуса – с точностью до двух значащих цифр, промежуточные вычисления – с точностью до двух десятичных знаков (сложение) и до трех значащих цифр (умножение и деление);

С помощью формул (4.1) после подстановки в нее значений исходных данных (4.2) приходим к следующему:

V кон.= 3,1 ∙ 4,12 ∙ 0,9/3 = 3,1 ∙16,81 ∙ 0,9/3 ≈ (3,1 ∙ 16,8) ∙ 0,9/3 = 52,08 ∙ 0,9/3 ≈ 52 ∙ 0,9/3 = 46,8/3 ≈ 47/3 = 15,(6) ≈ 20 – число, полученное с абсолютной точностью до десятков;

V усеч. кон.= 3,14 ∙ 3,8 ∙ (4,12 + 4,1 ∙ 5,0 + 5,02)/3 = (3,14 ∙ 3,8) ∙ (16,81 + 20,50 + 25,00)/3 = 11,932 ∙ 62,31/3 ≈ 11,9 ∙ 62,3/3 = 741,37/3 ≈ 741/3 = 247 ≈ 250 – число, полученное с абсолютной точностью тоже до десятков, поэтому, сложив числовые значения вычисленных объемов, мы должны округлить полученную сумму тоже до десятков:

V ≈ 20 см3 + 250 см3 = 270 см3 = 0,27 л.

Для вычисления искомого объема можно составить новую программу, частично переработав Программу 2: