Методика реализации принципа единства теории и практики в обучении математике на уровне предвузовского образования (стр. 4 )

Задача. Можно ли и всегда ли через любые три точки (xн; yн), (xc; yc), (xк; yк), заданные в некоторой системе координат xOy и имеющие различные абсциссы, удовлетворяющие условию xн < xc < xк (см. (3.4.3)), провести параболу?

Р е ш е н и е. Вспомним выражение (3.4.4), из которого видно, что парабола существует (т. е. можно вычислить коэффициенты a, b, c для ее уравнения), если D ≠ 0. Воспользуемся в своих дальнейших рассуждениях методом от противного: предположим, что D = 0. Тогда должно выполняться следующее равенство:

xнxс(xн – xс) + xсxк(xс – xк) + xнxк(xн – xк) = 0.

Сделав замену xн – xк = xн – xс + xс - xк в последнем слагаемом, приходим к равенству

(xн – xс)(xк - xс)(xк - xн) = 0,

откуда видно, что хотя бы две абсциссы рассматриваемых точек должны равняться между собой. А это противоречит условию нашей задачи (3.4.8). Следовательно, наше предположение о том, что D = 0, неверно. Итак, D ≠ 0 и, следовательно, всегда существуют числа a, b, c, вычисляемые по формулам (3.4.4), при которых график функции (3.4.2) – искомая парабола. Задача решена.

Таким образом, квадратичное приближение в рассматриваемых нами задачах возможно всегда.

Предлагаем читателям исследовать «вырожденный» случай – когда вместо параболы получается прямая (а = 0).

4. Учитывая замечание в п. 3.5.3 о том, что воспроизвести на листе бумаги квадратичное приближение профиля сосуда, в отличие от конусного, сложно (а это желательно, так как визуальное представление приближения тоже очень важно), попробуем теперь с помощью компьютера изобразить профиль сосуда, предварительно описав его квадратичной функцией (можно и линейной).

4.1. Опишем компьютерный вариант (как более рациональный) процесса воспроизведения профиля кувшина рис. 10, воспользовавшись разработанным нами в п. 3.4.8 квадратичным приближением, значения коэффициентов которого можно взять из результатов запуска Программы 11.4 для различных наборов опорных точек – первоначального набора из 16 точек, набора из 8 точек (значения коэффициентов для этого случая приведены в табл. 1 (п. 3.5.2)), набора из 5 точек (значения коэффициентов для этого случая см. табл. 2 (п. 3.5.3)). При составлении программы используем также оператор SELECT CASE и графические операторы SCREEN и LINE.

Рис. 14

Приведем такую программу для среднего случая (8 точек):

ПРОГРАММА 12:

10 REM ПРОФИЛЬ СОСУДА (С КВ. ПРИБЛИЖЕНИЕМ)

20 SCREEN 12

30 Y=4

40 LINE (0, 4, 0)

50 FOR X=0 TO 30 STEP.01

60 Y1=Y

70 SELECT CASE X

CASE IS < 8:Y= -.X^2+1.5125X+4

CASE 8 TO 12:Y= -.X^2+1.775X+3.300001

CASE 12 TO 16:Y=-.134375X^2+2.7125X-1.200002

CASE 16 TO 20:Y=.X^2-2.275X+33

CASE 20 TO 24:Y=.X^2-3.7375X+46

CASE 24 TO 30:Y=.X^2-2.261667X+29.9

END SELECT

80 LINE (X110, Y1X10, Y10)

90 LINE (X110,X10, 0)

100 X1=X

110 NEXT K

120 LINE (X10, 0) – (X110, Y110)

130 END

В этой программе описывается вычерчивание криволинейной трапеции, в результате вращения которой и образуется «приближение» кувшина: строка 80 описывает вычерчивание квадратичного приближения бокового профиля кувшина, оператор LINE в строке 40 – радиуса дна, в строке 90 – ось вращения, в строке 120 – радиус горла. Программы для всех трех рассматриваемых разбиений отличаются друг от друга только наполнением оператора SELECT CASE.

На рис. 14 приведен рисунок, полученный в результате запуска такой программы для первого случая - для 16 опорных точек.

Рис. 15

4.2. Отпечатав рис. 14 на принтере, сравниваем его с рис. 10б. Если они не совпадают (ориентир – ось вращения), отрегулируем этот вопрос, вычислив коэффициент подобия kпод., равный отношению длин осей вращения на рис. 10б и на рис. 14 (в нашем случае он оказался равным 0,9). Затем этот коэффициент подставляем в графическую программу, домножив на него все координаты в строках 40, 80, 90 и 120. В нашем случае эти операторы примут следующий вид:

40 LINE (0, 49) - (0, 0)

80 LINE (X19, Y19) - (X9, Y9)

90 LINE (X19,X9, 0)

120 LINE (X9, 0) – (X19, Y19)

Отпечатав новый рисунок (рис. 15а), переводим его на кальку и прикладываем к рис. 10б (или рис.10а), пытаясь совместить их. Они обязательно «практически» совместятся (проверьте!).

Меняя в программе наполнение оператора SELECT CASE в соответствии с другими наборами опорных точек, можно получить соответствующие рисунки (см. рис. 15б – для 8 опорных точек и 15в – для 5 опорных точек). Совмещение этих рисунков с рис. 10б и между собой дает хорошие результаты – полученные профили визуально практически совпадают, несмотря на различия в количестве опорных точек. Это подтверждалось и исследованием полученных ранее численных значений объемов.

Проведенное исследование еще раз показывает, что квадратичное приближение достаточно точное.

Заметим, что проведенная в настоящем пункте работа очень трудоемкая, особенно это относится к переписыванию значений коэффициентов a, b и c из результатов запуска Программы 11.4 в Программу 12. Для ликвидации этой трудности можно совместить эти две программы, дважды вставив основную часть Программы 12 в Программу 11.4: после получения значений коэффициентов для первых трех опорных точек, а затем – в цикл тоже после получения значений коэффициентов по трем соответствующим опорным точкам, рассматриваемым в цикле. Затем, чтобы рисунок на экране не рисовался на тексте, рекомендуем перед первым оператором LINE очистить экран с помощью оператора CLS и зарезервировать определенное количество строк экрана для рисунка с помощью оператора LOCATE (в нашем случае достаточно зарезервировать 9 строк, т. е. использовать оператор LOCATE 9).

5. Выводы.

1. Настоящие разработки являются редким примером межпредметных связей математики, черчения, истории (на уровне Древней истории, искусствоведения, археологии) и информатики. При этом можно смело сказать, что эти связи выступают в настолько тесном виде, что их можно назвать не иначе, как интеграция.

Элементы черчения, используемые в настоящей работе, настолько органично связаны с остальными предметами, что порой их трудно выделить.

2. Конструирование линейки по заданному масштабу – тоже весьма нетривиальная задача, которая в полной мере, по крайней мере, номинально, присутствует в таком школьном предмете, как … география! Ведь именно на географических картах в обязательном порядке имеется масштаб, и учащиеся, впервые ознакомившись с географическими картами, наверняка получали задание определить по карте расстояние от одного пункта до другого, например, и, скорее всего, – от Москвы до Санкт-Петербурга! Почему скорее всего? Потому что это расстояние известно, и учащимся наверняка очень интересно получить его «своими руками» и сразу удостовериться, что ими получен верный результат. Так и для задач, решаемых в настоящей работе, в статьях [25] - [27] даны как размеры сосудов (по внешней стороне), так и масштабы, в которых выполнены их рисунки. Это дает возможность не только определить толщину стенок сосудов, но и уточнить некоторые размеры (см. п. 2.8) или подтвердить результаты своих измерений (см. п. 3.2).

3. Итак, конструирование специальной линейки и ее использование для измерения на соответствующих рисунках необходимых для вычисления объемов сосудов их геометрических элементов, - весьма нетривиальные процедуры, требующие определенных навыков, которые, как отмечалось ранее, можно почерпнуть, из географии, а также из номографии, если учащийся знаком с ней), умения сосредоточиться и наличия хорошего глазомера. Последнее очень важно для интерполяции между соседними делениями линеек, так как именно глазомер позволяет измеряющему различить, например, числовые значения 12,3, 12,5 и 12,6 радиусов блюда на рис. 1в – ведь на линейке (см. рис. 1б) нанесены штрихи, соответствующие только целым значениям (см. п. 2.1).

4. Для школьной математики – геометрии – для стереометрии – мы получили в рассматриваемой работе, как отмечалось ранее, не только ненадуманные приложения, и, конечно, возможность тренинга на использование формул для вычисления объемов программных тел вращения (см. пп. 2.1 –и их сочетаний (см. пп. 2.4 – 2.8), но и, что всегда естественно при решении практических – материализованных, а не абстрактных задач, - это примеры возникающих при этом проблем, решение которых приводит к постановке новых, уже теоретических, чаще всего геометрических проблем. Например, в п. 2.3 возникает проблема нахождения величины радиуса шара, определяющего форму котла; в п. 2.6 решается аналогичная задача, только для фляги; в п. 7, кроме аналогичной задачи, решается еще и нестандартная задача восстановления формы помятого котла – а для этого нужно выработать подход, который не связан четко ни с одной дисциплиной – ни с математикой, ни с историей, скорее, он связан с определенной практической сметкой человека, пытающегося решить задачу, более того, если пытаться выразиться «предметным» языком, - с физической смекалкой; в п. 2.4.2 с помощью планиметрических методов мы доказываем неточность определения формы чаши, данного авторами статьи [26], и предлагаем свою версию трактовки этой формы; в п. 2.8, кроме уточнения определения формы сосуда, данного авторами статьи [27], уточнение внутреннего радиуса дна приводит к решению прямоугольных треугольников.

5. А для прикладной математики здесь налицо естественное, практическое применение теории приближенных вычислений и оценок, включающие в себя такие понятия, которые можно со всей ответственностью назвать затеоретизированными в школьном курсе математики, так как практически не имеют приложений в школьном задачном материале. Мы имеем в виду такие важные для решения жизненных и, следовательно, приближенных, задач, как округление чисел, абсолютная и относительная погрешности и их практическая интерпретация, т. е. их использование для сравнения результатов решения задачи различными способами и выбора наиболее точного из всех приближенных результатов.

6. Для успешного нестандартного усвоения раздела математики, который чаще всего называется «Начала анализа» и является пропедевтическим курсом высшей математики, точнее, дифференциального и интегрального исчисления… Более широкий взгляд на тела вращения, изложенный в п. 3.4, потребует знание и начал анализа, а именно, выражение объема тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком какой-то непрерывной положительной на данном отрезке функции. Как отмечалось ранее, последний материал входит в школьную программу по математике (см. [29], с. , однако, в самом ее конце, и применяется только для вывода формул и вычисления объемов шара, шарового сегмента и сектора. Предлагаемый в п. 3.4 «дополнительный» материал может быть с легкостью воспринят интересующимися учащимися как обобщение и интересное приложение изучаемых в школе теории определения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла и теории пределов.

7. Как составную часть предыдущего пункта выделим методический момент, связанный с применением очень важного в пропедевтическом плане с активным использованием метода координат.

8. Достоинством исследования, проведенного в п. Является использование метода от противного, причем, не при доказательстве геометрической теоремы, что достаточно обычно для школьной математики, а при решении алгебраической задачи, что является большой редкостью для школьного курса алгебры.

9. Особо отметим, что эта работа существенно расширяет задачный материал для информатики – естественные, практические, ненадуманные задачи на подпрограммы, функцию пользователя, массивы, на использование графических операторов. Использование компьютера для построения профиля сосуда, продемонстрированное в п. 4. 1, дает пример осуществления обратной связи между предъявленным профилем сосуда (см. рис. 10) и профилями, полученными с помощью компьютера (и отпечатанными на принтере) по методике п. 4.2.

10. Настоящая работа, в которой все время говорится о приближении рассматриваемых сосудов «элементарными» формами, есть не что иное, как полноценное исследование, посвященное, говоря языком высшей математики, аппроксимации, т. е. замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими исходным (см. [24], с. 76).

10.1. В этом смысле эта работа в полной мере демонстрирует достоинства аппроксимации, а именно, позволяет исследовать числовые характеристики (объем) и качественные свойства (формы) объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов, которые мы назвали элементарными – цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шаровых сегмента и пояса (п. 2), короче, таких объектов, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны учащимся или достаточно легко выводятся из изученных ранее положений.

10.2. В п. 3 мы использовали элементы очень важного раздела математики, целиком посвященного аппроксимации, называемого «Приближение функций» (см. [24], с. 488), точнее, там мы применили приближение функции с помощью полинома (второй степени), что в высшей математике называется «интерполированием» функции и требует совпадения значений функции и приближающего ее полинома в определенных точках (узлах интерполирования). Заметим, что аппроксимация рассматриваемых сосудов с помощью конусов тоже использует интерполяцию функции, только простейшую - полиномом первой степени. Это соответствует приближенной замене (аппроксимации) кривой линии кусочно-квадратичной или кусочно-линейной линией.

Таким образом, исследование, проведенное в настоящей работе, показывает способы восстановления функции (точное или приближенное) по известным ее значениям. При этом в процессе изложения вопроса интерполирования рассуждения были проведены во всех основных направлениях, характерных для этого раздела математики (см. [24], с. 240): разрешимость задачи интерполирования (п. 3.5.4), построение интерполяционных формул (см., например, п. 3.4), изучение погрешностей приближенных интерполяционных формул (см., например, п. 3.5.1 – 3.5.3), и последнее - вся статья посвящена применению интерполирования для построения приближенных и численных методов решения некоторых задач математики (приближение функций, приближенное вычисление элементов геометрических тел, их объемов) и ее приложений в истории, археологии, истории искусств.

Отметим, что аппроксимация, использованная в настоящей работе, не всегда чисто математическая, если понимать ее в узком смысле этого слова, т. е. не всегда мы доводили наши рассуждения до численных, формульных характеристик – мы имеем в виду начало статьи (п. 1 и частично п. 2), где чисто визуально (а следовательно, приближенно «по-гуманитарному») определяется форма рассматриваемых объектов – архитектурных сооружений, головных уборов, сосудов. Такой подход методически можно рассматривать как «нулевое приближение» жизненных объектов геометрическими телами.

Заметим, что сами «нешкольные» термины «аппроксимация», «интерполяция», «узловая точка», «полином» в основной части работы мы не использовали, заменив их широко используемыми в школе терминами «приближение», «приближенное значение», «квадратичная функция». Ясно, что этот вопрос не принципиален – по желанию преподавателя он может рассказать и об аппроксимации, и об интерполяции, например, так, как эти термины описаны выше.

В заключение наших рассуждений об аппроксимации и приближении функций отметим, что процедуры, проведенные нами по восстановлению форм, есть не что иное, как их моделирование с помощью доступных для учащихся методов.

Б И Б Л И О Г Р А Ф И Я

Брадис преподавания математики в средней школе / Под ред. . – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1954. К вопросу о принципе единства исторического и логического в преподавании повторительного курса математики в условиях предвузовского образования // Вестник ЦМО МГУ, № 3. Кузнецова модели функциональных зависимостей в обучении математике в школе: Дисс. … канд. пед. наук. – М., 1976. – 185 с. Кузнецова условия разработки номографических методов в среднем образовании. – В кн.: Углубленное изучение математики в VIII – X классах: Сборник научн. трудов. – М.: НИИ СиМО АПН СССР, 1976, с. 59 – 60. Кузнецова методики изучения номографии на факультативных занятиях. – В кн.: Пути совершенствования методики факультативных занятий: Тезисы докладов Всесоюзного совещания (Ташкент, ноябрь 1976) . – М.: НИИ СиМО АПН СССР, 1976, с. 81 – 83. Кузнецова значение номографических методов в среднем образовании. – В кн.: Воспитание учащихся в процессе изучения основ наук: Сборник научных трудов. – М.: НИИ СиМО АПН СССР, 1977, с. 67 – 73. Кузнецова номографии на факультативных занятиях. – В кн.: Вопросы обоснования содержания школьного математического образования: Сборник научных трудов. - М.: Мин-во просвещения РСФСР-НИИ школ: Ротапринт НИИ школ МП РСФСР, 1981, с. 123 –134. Кузнецова методы в линейном программировании. – В кн.: Тезисы докладов по алгебре, математической логике и вычислительной математике конференции педагогических вузов центральной зоны РСФСР (Иваново, июнь 1970). – Иваново: Мин-во просвещения РСФСР. Ивановский ГПИ. Ивановское математическое общество: Ротапринт Ивановского ПГИ, 1970, с. 194. , Хованский метод решения основной задачи линейного программирования для случая двух переменных. – В кн.: Номографический сборник № 8. – М.: ВЦ АН СССР, 1971, с. 94 – 107. Кузнецова методы решения основной задачи линейного программирования для трех и большего числа переменных. – В кн.: Номографический сборник № 10. – М.: ВЦ АН СССР, 1975, с.Кузнецова ромбоидальных и транспарантных номограмм в расчете точечного взрыва в газе. – В кн.: Номографический сборник № 10. – М.: ВЦ АН СССР, 1975, с. 8 – 18. О номографировании системы линейных неравенств с тремя переменными. - В кн.: Номографический сборник № 12. – М.: ВЦ АН СССР, 1978, с. 17 – 25. Кузнецова методы решения одной задачи распределения ресурсов. - В кн.: Номографический сборник № 13. – М.: ВЦ АН СССР, 1982, с. 35 – 46. Кузнецова геометрических моделей функциональных зависимостей для интенсификации преподавания физики. – В кн.: Повышение эффективности учебно-воспитательного процесса на подготовительных факультетах для иностранных граждан: Тезисы докладов VII Всесоюзного совещания-семинара преподавателей физики и химии подготовительных факультетов для иностранных граждан (Кишинев, октябрь 1982). – Киев-Кишинев: КГУ-КишГУ: Отдел печати Киш ГУ, 1982, с. 50 – 52. , Кузнецова геометрического моделирования в школьном курсе географии // Новые исследования в педагогических науках, 1984, № 1, с. 41 – 47. , Озерицкая принцип организации содержаний учебных предметов на подготовительном факультете. – В кн.: Современные методы обучения на подготовительных факультетах для иностранных граждан. Тезисы докладов межвузовской научно-методической конференции (Волгоград, декабрь 1989). – Волгоград: Волгогр. политехн. ин-т, 1990, c. 21. , , Озерицкая учебных предметов как средство решения задач образования иностранных студентов на подготовительном факультете (на примере геометрии и черчения).- В кн.: Пути оптимизации обучения иностранных студентов на подготовительных факультетах: Сборник научных трудов. – М.: УДН, 1990, с. 104 – 110. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / , , . – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1980. – 368 с. Кузнецова электронной вычислительной техники при построении геометрических моделей функциональных зависимостей. – В кн.: Совершенствование процесса обучения на основе использования вычислительной техники: Межвуз. сборник научных трудов. – Саранск: Мордов. ГУ: Изд-во Мордов. ун-та, 1987, с. 117 – 124. Кузнецова математики и информатики в предвузовском образовании. – В кн.: Проблемы учебного процесса в инновационных школах. Вып. 3: Сборник научных трудов. – Иркутск: Иркут. ГУ. Лаборатория педагогического творчества: Ред.-изд. Отдел Иркут. ГУ, 1998, с. 70 – 77. Кузнецова использования информатики для активизации усвоения математического материала в предвузовском образовании // Вестник ЦМО МГУ, № 2, ч. 3. - М.: Изд. отдел УНЦ ДО МГУ, 1999, с. 54 – 86. , Бурин история зарубежных стран. Учеб. для 7 – 8 кл. общеобразоват. учеб. заведений. В 2-х частях. Ч. 2. 8 кл. – М.: Издательский дом «Новый учебник»; Образовательный центр «Веди-М», 2000. – 304 с. Энциклопедия для детей / Глав. ред. . – М.: Аванта+, т. 1 (Всемирная история) / Сост. . – 1994. – 704 с.; т. 5 (История России), ч. 1. – 1995. – 670 с.; ч. 2. – 1997. – 704 с.; ч. 3. – 1996. – 672 с.; т. 6 (Религии мира), ч.2. – 19с.; т. 7 (Искусство), ч. 1. – 19с.; ч. 2. – 19с.; т. 11 (Математика). – 1998. – 688 с.; т. 13 (Страны. Народы. Цивилизации). – 1999. – 704 с. Математический энциклопедический словарь. – М.: СЭ, 1988. – 848 с. , , «Круглый курган» из раскопок . - В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. , . – М.: ГИМ – МГУ им. , 1997, с. 186 – 215. Журавлев керамика группы Eastern sigillata B из могильника Бельбек IV в Юго-Западном Крыму. – В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. , . – М.: ГИМ – МГУ им. , 1997, с.227 – 260. , Мамонтов могильник - В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. , . – М.: ГИМ – МГУ им. , 1997, с. 169 – 185. Демиденко литых котлов савромато-сарматского времени с территории Нижнего Поволжья, Подонья и Северного Кавказа. - В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. , . – М.: ГИМ – МГУ им. , 1997, с. 120 – 159. Погорелов : Учебник для 7 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 1998. – 383 с. Алгебра: Учебник для 8 кл. сред. шк. / , , / Под ред. . – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1994. – 239 с. , Кузнецова в информатику: Учебное пособие для студентов-иностранцев высших учебных заведений / Под общ. ред. . – М.: УРСС, 1997. – 208 с. Математика. Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Пер. с нем. – М.: Дрофа, 1999. – 368 с. и др. Справочник по математике. – 3-е изд. – М.: Высш. шк., 1975. – 554 с. Пулькин математика: Пособие для учащихся 9 – 10 кл. по факультативному курсу. – М.: Просвещение, 1974. – 239 с.