4. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
Урок 38
Урок посвящен анализу контрольной работы. Следует разобрать задачи, указать школьникам на наиболее распространенные ошибки. В конце урока можно оставить время на решение задач (работы над ошибками).
3.3. Неравенства в треугольнике. Касание окружности с прямой и окружностью (4 ч)
Содержание параграфа составляет материал, являющийся традиционным для курса планиметрии: соотношение между сторонами и углами треугольника, определение касательной и теорема о перпендикулярности радиуса и касательной.
Теоретический материал этого параграфа значительно расширяет геометрические возможности учащихся.
В результате изучения параграфа учащиеся должны:
знать: определение внешнего угла треугольника, касательной к окружности; теорему 3.5 о внешнем угле треугольника, теоремы 3.6, 3.7, 3.8, неравенство треугольника;
уметь: изображать, обозначать и распознавать на рисунке внешние углы треугольника, касательную к окружности; применять изученные теоремы и определения при решении конкретных задач.
Урок 39.
Этот урок следует начать с определения внешнего угла треугольника. Введя его, необходимо предложить учащимся несколько упражнений на его распознавание и построение. Внешний угол — это угол, смежный с внутренним, поэтому его построение сводится к построению луча, дополнительного к лучу с началом в вершине треугольника, т. е. к продолжению стороны треугольника за его вершину. При этом следует обратить внимание на то, что при каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, они представляют собой пару вертикальных углов и, значит, равны между собой.
В качестве упражнения, направленного на отработку понятия внешнего угла треугольника можно использовать интерактивный модуль «Внешний угол треугольника». Кроме того можно предложить школьникам по готовым чертежам указать внешние углы, построить внешние углы при заданных вершинах. Следует также обратить внимание, на то что понятие внешний угол» распространятся и на произвольные многоугольники (это демонстрируется в интерактивном модуле «Внешний угол треугольника»).
В доказательстве теоремы 3.5 о внешнем угле треугольника (анимация «Теорема о внешнем угле треугольника») используется известный прием: продолжение медианы за точку пересечения медианы со стороной, к которой она проведена, и определение внешнего угла треугольника.
Формулируя теорему 3.6, следует обратить внимание учащихся на то, что в ней содержатся два утверждения: прямое: против большей стороны лежит больший угол и обратное: против большего угла лежит большая сторона.
Теорема 3.6 доказывается прямой ссылкой на теорему о внешнем угле треугольника. Ее доказательство воспроизводится в соответствующей анимации.
После доказательства теоремы 3.6 полезно напомнить учащимся, что в равнобедренном треугольнике против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны.
Для первичного закрепления теоремы 3.6 полезно устно выполнить следующие упражнения:
1. Для углов треугольника ADE выполняется неравенство ë A < ë D < ë F. Назовите в порядке убывания стороны треугольника.
2. Для сторон треугольника ADE выполняется неравенство AD < DF < AF. Назовите в порядке возрастания углы треугольника.
При этом можно выполнить необходимые чертежи с помощью планшета и предложить школьникам еще раз убедиться в правильности утверждений, выполнив необходимые измерения.
После этого можно предложить решить задачу № 15 из учебника с записью решения в тетради.
На дом: задача 2 из параграфа 3.3.
Вопросы к домашнему заданию:
1. Какой угол называется внешним углом треугольника?
2. Сформулируйте и докажите теорему о внешнем угле треугольника.
3. Сформулируйте и докажите теорему 3.6.
Урок 40.
В начале урока, прежде чем сформулировать основное свойство перпендикуляра, можно предложить учащимся поработав с соответствующим интерактивным модулем сформулировать его самостоятельно. Сама теорема 3.7 является прямым следствием из теоремы 3.6. Рассмотрев доказательство теоремы 3.7, желательно поработать с формулировкой теоремы. В учебнике приведена следующая формулировка: если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше любой наклонной. Обратимся к рисунку 94 учебника: AB — перпендикуляр, AC — наклонная, ABC — прямоугольный треугольник, для которого AB — катет, а AC — гипотенуза. Значит, для прямоугольного треугольника справедливо утверждение: в прямоугольном треугольнике любой катет меньше гипотенузы. Изучить вопрос неравенства второго катета и гипотенузы можно предложить учащимся в качестве домашнего задания.
В последующем изучении курса важное место займет следующее утверждение: перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, является кратчайшим путем от точки к прямой. Поэтому на этот факт следует обратить внимание учащихся.
После этого можно перейти к неравенству треугольника.
В учебнике приведены два обоснования неравенства треугольника: с одной стороны, оно является прямым следствием понятия кратчайшего пути, с другой — следует из теоремы 3.7. Второе обоснование подробно разобрано в анимации «Неравенство треугольника».
Неравенство треугольника находит широкое применение при решении задач. Подтверждением этого служит система упражнений к данному параграфу.
Для закрепления неравенства треугольника можно выполнить упражнения типа № 6 и 23 из учебника.
На дом: задачи № 11, 12, 16.из параграфа 3.3.
Вопросы к домашнему заданию:
1. Объясните, что такое наклонная.
2. Объясните, что такое проекция точки на прямую.
3. Сформулируйте и докажите теорему 3.7.
4. Объясните, что такое кратчайший путь.
5. Сформулируйте неравенство треугольника.
Урок 41.
Определение касательной к окружности, данное в учебнике, носит конструктивный характер. Сначала, как следствие из теоремы 3.7, обосновывается существование прямой, имеющей единственную общую точку с окружностью, а затем дается определение касательной к окружности. В результате получаем классическую теорему геометрии о касательной к окружности. Это определение проиллюстрировано анимацией «Касательная»
Основное внимание при отработке понятия касательной к окружности должно быть направлено не на запоминание учащимися формулировки определения, а на его понимание. Другими словами, учащиеся должны при решении задач понимать, что наличие в условии задачи касательной к окружности влечет и существование перпендикулярного ей радиуса.
В последнем пункте данного параграфа заканчивается рассмотрение вопроса о взаимном расположении двух окружностей. Здесь полезно вспомнить теорему 3.3 и свойство хорд окружности. Затем вводится понятие касающихся окружностей и рассматривается вопрос о расстоянии между центрами двух касающихся окружностей. Целесообразно, используя интерактивный модуль «Касание двух окружностей» предложить школьникам самостоятельно сделать вывод о том, каким будет взаимное расположение двух окружностей при различных соотношениях между их радиусами и расстоянием между их центрами.
Для закрепления понятия касающихся окружностей можно предложить устно выполнить задачу № 13 из учебника.
На дом: задачи №5, 14, 18 из параграфа 3.3.
Вопросы к домашнему заданию:
1. Объясните, что такое касательная к окружности.
2. Сформулируйте теорему 3.8.
3. Объясните, какие окружности называются касающимися. Как определяется расстояние между центрами двух касающихся окружностей?
Урок 42.
Этот урок посвящен обобщению и систематизации материалов параграфа; решению задач. В ходе урока следует решить задачи № 11, 17, 19, 22 из учебника. При их решении можно воспользоваться графическим планшетом.
На дом: решить задачи № 7, 12, 18.
Проверить знания, отработать навыки можно с помощью интерактивных модуле «Оцени расстояние», «Вини Пух и Пяточок» и «Колодец».
Урок 43.
Этот урок следует посвятить подготовке к контрольной работе. В начале урока необходимо повторить весь теоретический материал главы. На второй половине урока предложить школьникам решить задачи, сходные с заданием контрольной работы.
Урок 44.
Контрольная работа по третьей главе.
Вариант 1.
В треугольнике ABC сторона АВ равна 6 , а ВС - 8. Медиана BD делит этот треугольник на два. Найдите разность периметров треугольников ABD и BCD. АВС и АРК — два равных треугольника. Известно, что АВ = 7, АС = АР = 8, АК = 9. Чему равны стороны ВС и РК? На плоскости даны две окружности с радиусами 3 и 2, 7 — расстояние между их центрами. Пусть A — точка на одной из окружностей, B — на другой. В каких пределах может меняться расстояние между A и B? На плоскости имеются две окружности. Чему равен радиус окружности, касающейся данных окружностей и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояние между их центрами соответственно равны: 1, 5, 2? Указать все возможности.Вариант 1.
В треугольнике ABC сторона АВ равна 6 , а ВС - 8. Медиана BD делит этот треугольник на два. Найдите разность периметров треугольников ABD и BCD. KLM и KPL — два равных треугольника. Известно, что KM = 4, LP=5, KL=2. Чему равны стороны ML и KР? На плоскости даны две окружности с радиусами 9 и 2, 3 — расстояние между их центрами. Пусть A — точка на одной из окружностей, B — на другой. В каких пределах может меняться расстояние между A и B? На плоскости имеются две окружности. Чему равен радиус окружности, касающейся данных окружностей и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояние между их центрами соответственно равны: 2, 3, 8? Указать все возможностиУрок 45.
Урок посвящен анализу контрольной работы. Следует разобрать задачи, указать школьникам на наиболее распространенные ошибки. В конце урока можно оставить время на решение задач (работы над ошибками).
Глава 4
Виды геометрических задач и методы их решения (16 часов).
В данной главе систематизируются и обобщаются знания учащихся по курсу 7 класса. Систематизация проводится на основе обсуждения методов и приемов, используемых при решении геометрических задач и доказательстве теорем.
Начиная с § 4.3 «Кратчайшие пути на плоскости» содержание всех остальных параграфов составляет материал, нетрадиционный для курса планиметрии. Довольно часто в методической литературе встречаются рекомендации по организации обобщения и систематизации знаний учащихся на основе систематизации методов, используемых в процессе изучения курса. Однако такой полной и глубокой систематизации методов, как в данном учебном пособии, не было проведено ни в одном исследовании по проблемам обобщения и систематизации знаний. Предложенная автором методика повторения позволяет объединить теоретические и практические аспекты курса, способствует установлению новых связей между отдельными частями учебного материала, более широким выводам и обобщениям, активизирует процесс повторения и повышает к нему интерес ученика.
При повторении следует применить и другие формы работы. В данном случае можно порекомендовать при работе с учебным материалом § 4.3—4.5 использовать следующие формы самостоятельной работы: самостоятельная работа с учебным пособием, самостоятельные работы по решению задач, составление конспектов.
4.1. Геометрические места точек (3 ч)
Содержание параграфа составляет материал, ставший в последнее время традиционным для курса планиметрии.
В результате изучения параграфа учащиеся должны:
понимать: термин геометрическое место точек;
уметь: решать задачи на построение методом геометрических мест точек.
Урок 46
Этот урок посвящен разбору понятия геометрическое место точек. В учебном пособии рассматриваются три утверждения: окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки; серединный перпендикуляр есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов; биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.
Все три утверждения рекомендуется рассмотреть на одном уроке. При объяснении нового материала полезно опираться на знания учащихся, полученные ими в процессе предыдущего изучения свойств фигур. При изучении нового материала целесообразно использовать анимации «Серединный перпендикуляр» и «Биссектриса угла».
Полезно сообщить учащимся, что в формулировках различных задач довольно часто вместо термина геометрическое место точек используется термин множество точек. И тот, и другой термин используется в формулировках задач: «геометрическое место точек (множество точек), обладающих данным свойством». Затруднение при разъяснении смысла понятия геометрическое место точек возникает в связи с тем, что учащиеся должны понять, что геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. При этом учащиеся должны четко понимать, что формулировка «фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством» предполагает необходимость доказать следующие два утверждения:
1. Все точки данной фигуры обладают указанным свойством.
2. Если некоторая точка плоскости обладает указанным свойством, то эта точка принадлежит данной фигуре.
При изучении пункта «Окружность и круг» § 2.4 была дана рекомендация привлечь внимание учащихся к тому факту, что все радиусы одной окружности равны. Теперь воспользуемся этим свойством для определения окружности как геометрического места точек.
При объяснении можно также более подробно рассмотреть и определение окружности как геометрического места точек.
1. Любая точка окружности удалена от центра на одно и то же расстояние, равное радиусу. Это следует непосредственно из определения окружности.
2. Пусть точка A находится от точки O на данном расстоянии, равном радиусу R. Проведем луч OA. На луче от точки O отложим отрезок OA1, равный R. По определению окружности точка A1 лежит на окружности. Отрезки OA и OA1 имеют равную длину, значит, они равны. Кроме того, они имеют один общий конец — точку O, значит, точки A и A1 совпадают, т. е. точка A принадлежит окружности.
Для закрепления восприятия окружности как геометрического места точек полезно устно выполнить следующие упражнения:
1. Найдите геометрическое место точек M, для которых расстояние до заданной точки A меньше или равно R.
2. Найдите геометрическое место точек M, для которых расстояние до заданной точки A больше R
Вопросы к домашнему заданию:
1. Объясните, что такое геометрическое место точек.
2. Дайте определение окружности, используя понятие «геометрическое место точек».
Урок 47
Урок посвящен нахождению важных геометрических мест точек и решению задач. В учебнике подробно рассматриваются определения серединного перпендикуляра и биссектрисы угла как геометрические места точек. Для обоснования решения задачи 1 (о серединном перпендикуляре) используются свойства и признаки равнобедренного треугольника (это доказательство приведено в анимации «Серединный перпендикуляр»).
В развитие задачи 1 можно устно решить задачу: найти геометрическое место точек, для которых расстояние до заданной точки А, меньше расстояния до заданной точки В.
Для обоснования решения задачи 2 используются признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету и свойство биссектрисы угла быть осью симметрии (это доказательство приведено в анимации «биссектриса угла»).
В развитие задачи 2 можно устно решить задачу: найти геометрическое место точек, для которых расстояние до одной из сторон угла, меньше чем расстояний до другой его стороны.
В конце урока следует решить задачи № 7, 8. Они реализованы в качестве отдельных интерактивных модулей, причем проверка решения может быть проведена автоматически.
При решении задач, как следует из замечания, сделанного автором в конце параграфа, подробная запись решения не обязательна. Достаточно сделать картинку, иллюстрирующую ответ, и уметь объяснить, как это решение получено.
Любые геометрические задачи, связанные спостроением, измерением величин целесообразно решать с помощью средств геометрического планшета.
На дом: задачи 5, 6, 7 из параграфа 4.1 (при их выполнении можно использовать графический планшет).
Вопросы к домашнему заданию:
3. Дайте определение серединного перпендикуляра, используя понятие «геометрическое место точек».
4. Дайте определение биссектрисы угла, используя понятие «геометрическое место точек».
Урок 48.
Этот урок посвящен обобщению и систематизации материалов параграфа; решению задач. В ходе урока следует решить задачи № 9, 11, 13 из учебника. При их решении можно воспользоваться графическим планшетом. Следует еще раз обратить внимание школьников на две части задач на геометрические места точек.
На дом: решить задачи № 10, 12
4.2. Задачи на построение (6 ч)
В параграфе изучаются основные задачи на построение, являющиеся традиционными для курса планиметрии: построение перпендикуляра к прямой, деление отрезка пополам; построение треугольника, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение прямой, параллельной данной; построение касательной к окружности.
В результате изучения параграфа учащиеся должны:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
