Руководство пользователя по работе с набором ЦОР «Геометрия» для 7-9 классов, к УМК (стр. 1 )

Руководство пользователя
по работе с набором ЦОР «Геометрия»
для 7-9 классов, к УМК

В состав ЦОР включены анимации, содержащие доказательства теорем и различного рода демонстрации, интерактивные модули, графический планшет.

Демонстрация, входящая в набор ЦОР, может быть запущена кнопкой , расположенной внизу справа. С помощью кнопки демонстрацию можно перевести в отдельное окно и при необходимости развернуть на весь экран.

Интерактивные модули предполагают ввод ответов на содержащиеся в них вопросы и выполнение заданных построений. Работа с интерактивным документом должна заканчиваться нажатием кнопки , вызывающей проверку введенных ответов и построенных чертежей и находящейся, как правило, в нижней части документа.

При нажатии на кнопку производится автоматическая проверка результатов выполнения задания.

Графический планшет.

Планшет предназначен для создания интерактивных планиметрических чертежей. Планшет снабжен необходимым набором инструментов для построения, модификации и измерения различных геометрических фигур и конструкций.

Построение точек и фигур Геометрические преобразования
Перемещение точек и фигур Удаление точек и фигур
Оформление чертежа Изменение масштаба
Измерение расстояний и углов Настройки

Построение точек и фигур

В набор инструментов входят стандартные плоскостные фигуры:

а также некоторые "макропостроения":

Для построения фигуры ее следует выбрать из меню, вызываемого по кнопке "Фигура". Меню появится, если ненадолго прижать эту кнопку мышью:

Затем необходимо последовательно щелкнуть левой кнопкой мыши по определяющим ее точкам или фигурам:

· точка - в одной точке;

· прямая, луч, отрезок - в двух точках;

· окружность - в центре, а затем в любой точке, через которую она проходит;

· окружность данного радиуса - в центре, а затем в концах отрезка, которому равен ее радиус;

· многоугольник - последовательно во всех его вершинах, пока он не замкнется;

· вектор - в двух точках.

Аналогично для макропостроений:

· перпендикуляр - по точке, через которую он проходит, и прямой, которой он перпендикулярен;

· середина отрезка - по отрезку;

· биссектриса - по трем точкам, которые определяют угол (сторона-вершина-сторона);

· параллельная прямая - по точке, через которую она проходит, и прямой, которой она параллельна.

Отметим, что при наведении курсора мыши на точку или фигуру они становятся активными и подсвечиваются ярко-зеленым цветом. При этом все, создаваемые во время построения точки, делятся на три категории:

· свободные на плоскости (синего цвета) - получаются при щелчке на свободном месте плоскости;

· свободные на фигуре (красного цвета) - получаются при щелчке на активной, подсвеченной в этот момент фигуре;

· связанные (серого цвета) - получаются как точки пересечения двух активных фигур или образы исходных точек при геометрических преобразованиях.

Перемещение точек и фигур

Любой построенный в лаборатории чертеж можно "оживить", перемещая полученные на нем точки и фигуры. Для этого служит режим "Рука":

Если в этом режиме подвести курсор к любой свободной точке (синего или красного цвета) - она будет подсвечена; теперь за нее можно зацепиться мышью и передвинуть:

Вместе с точкой будут передвигаться те фигуры, которые она определяет (если таковые имеются), а также поддерживаться все ранее заданные отношения (перпендикулярность, параллельность, пересечения и т. д.).

Если точка была расположена на уже построенной фигуре, то и перемещаться она будет только по ней ("свободная на фигуре"). Если точка была задана как точка пересечения двух фигур или как образ при геометрическом преобразовании, то перемещать ее нельзя - она будет перемещаться сама при перемещении соответствующих фигур или прообразов.

Таким образом, построенные в лаборатории чертежи являются интерактивными и позволяют следить за выполнением определенных закономерностей, сохранением свойств и соотношений, наблюдая их непосредственно на чертеже во время перемещения его элементов.

Оформление чертежа

В набор инструментов для оформления чертежа входят Авторучка, Кисть и Фломастер:

Режим Авторучка служит для подписи точек. Включив этот режим, нужно щелкнуть мышью по любой точке чертежа и ввести ее имя:

В режиме Кисть можно изменять цвет построенных линий. Для этого достаточно выбрать нужный цвет линии через соответствующий пункт в меню Настройки:

и щелкнуть мышью по линии, цвет которой необходимо изменить.

В режиме Фломастер можно выделить любую точку или фигуру, щелкнув по ней мышью. Сразу после этого выделенный элемент начнет "мигать". Выделение элементов чертежа может понадобиться при решении некоторых задач

Измерение расстояний и углов

Лаборатория снабжена двумя измерительными инструментами - линейкой и транспортиром:

Чтобы провести измерение, необходимо прежде всего выбрать нужный инструмент из соответствующего меню:

Для вычисления расстояния между двумя точками достаточно поочередно щелкнуть по ним мышью - расстояние появится на экране:

Для вычисления угла необходимо иметь три точки - вершину угла и по одной точке на его сторонах. Щелкнув по ним в очередности вершина-сторона-сторона, вы получите на экране величину угла в градусах:

Расстояние и угол выводятся округленно. При изменении чертежа они будут автоматически пересчитываться

Геометрические преобразования

К любой точке или фигуре в целом может быть применено одно из следующих преобразований плоскости:

Для этого необходимо прежде всего выбрать нужное преобразование из соответствующего меню:

После этого задать параметры преобразования (ось, центр, угол и т. д.) и щелкнуть по точке или фигуре, к которой это преобразование необходимо применить.

При изменении в дальнейшем параметров преобразования или прообразов соответствующие им образы будут автоматически изменяться.

Удаление точек и фигур

Инструмент Ластик служит для удаления любых элементов чертежа:

Выбрав этот режим, щелкните по любой точке или фигуре - они исчезнут.

Учтите, что даже после их удаления с чертежа продолжают сохраняться все соотношения, в которых они участвовали. Это дает возможность создавать интересные конструкции с невидимыми геометрическими связями.

Изменение масштаба

Для изменения масштаба служат режимы Увеличить и Уменьшить:

Включив любой из этих режимов, достаточно прижать мышь в любой точке чертежа, и масштаб начнет изменяться.

Настройки

Для изменения основных настроек лаборатории нужно вызвать соответствующее меню:

Выбор соответствующего пункта меню позволяет:

· менять текущий цвет линий;

· менять текущий цвет заливки (используется для многоугольников);

· изменять толщину линий (задается в пикселах);

· выбирать шрифт для подписи точек;

· включать и отключать сетку на чертеже.

Отметим, что при включенной сетке точки чертежа будут "прилипать" к ее узлам, что используется при решении некоторых задач.

Методические рекомендации по использованию набора ЦОР «Геометрия» к УМК

7 класс ( 4 четверть)

Еще в начале XX века математики и методисты вели оживленную дискуссию о роли геометрии в системе математических дисциплин, о том, каким должен быть школьный курс геометрии. И сегодня, в XXI веке, математики и методисты, теоретики и практики вновь и вновь пытаются ответить на старые вопросы. По-прежнему широк разброс мнений: от полного неприятия геометрии как устаревшего предмета, не соответствующего реалиям компьютерного века, до предложения геометризациии всего школьного курса математики.

Данный учебник по геометрии для общеобразовательных школ реализует авторскую, наглядно-эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Это прежде всего выражается в отказе от аксиоматического подхода. Больше внимания по сравнению с другими учебнику уделено методам решения задач. Сама система задач дифференцирована по сложности.

Появление цифровых образовательных ресурсов открывает новые возможности при изучении курса геометрии. Перечислим основные из них:

Формулировки теорем и определения можно сделать интерактивными. Таким образом учащиеся меняя чертеж, могут убедиться, что соответствующие свойства остаются неизменными, что позволяет им лучше понять сущность соответствующего утверждения и даже, в некотором смысле, убедиться в его правильности. Анимированные доказательства, становятся более наглядными, кроме того в них акцентируется внимание, на важнейшие моменты. Это позволяет экономить время на уроках, и делает уроки более яркими. Многие ключевые задачи выполнены в качестве интерактивных модулей, включающих в себя автоматическую проверку. Это позволяет использовать их как для решения на уроках, так и при составлении контрольных и самостоятельных работ.

В целом, появление цифровых образовательных объектов полностью соответствует авторской наглядно-эмпирической концепции построения курса школьной геометрии.

Кроме того, в связи с появлением цифровых ресурсов несколько изменилось распределение часов. В частности, теперь можно уделить несколько больше времени изучению первой главы и решению красивых задач.

Введение

Основными особенностями авторского подхода к изложе­нию учебного материала являются: опора на наглядность, снижение уровня строгости логических рассуждений при обосновании утверждений, очевидных с точки зрения уча­щихся. В рамках этого подхода автор даже отказывается от принятого в математике термина аксиома, заменяя его бо­лее естественным для учащихся — основное свойство. Новационна для школьных учебников попытка создания, по терминологии автора, «трехмерного интерьера».

Весь учебный материал курса геометрии VII класса мож­но разделить на три части.

Первая часть, включающая в себя первую главу, служит введением, если можно так сказать, в «природу геометрии».

Геометрия, как и каждая наука, изучает некоторый ас­пект реального мира, а именно его пространственные фор­мы. Все предметы окружающего мира с этой точки зрения образуют так называемые геометрические фигуры: геомет­рические тела, ограниченные поверхностями, ребрами — линиями их пересечения и вершинами — точками пересече­ния ребер. С другой стороны, окружающий нас мир не ста­тичен, он находится в непрерывном движении. Движущаяся точка создает линию, а движущаяся линия — поверхность. Геометрические объекты, формы рассматриваются как бы с двух точек зрения: как готовая форма (статический подход) и как результат — траектория — некоего движения (кинема­тический подход). Такой двойственный подход к абстраги­рованию от реального мира к пространственным формам и предлагается автором.

Во второй части (главы 2, 3 и 4, § 4.1, 4.2) излагается учеб­ный программный материал. Концептуальной особенно­стью авторского подхода к изложению материала этой час­ти является акцентирование внимания на изучении фигур — треугольников и окружности — и инструментария сим­метрии.

Третья часть (глава 4, § 4.3—4.5) посвящена систематиза­ции методов геометрии, с помощью которых уже проводи­лись доказательства во второй части и которые в дальнейшем будут использоваться при изучении теории и решении задач.

В основе выбранной систематизации лежит специфика поиска решения задач, что позволит установить новые свя­зи между разными темами курса и углубить знания учащих­ся о свойствах изучаемых фигур и умения применять их при решении задач.

Изучение материала, излагаемого в каждой части учеб­ника, формирует три различных этапа обучения, которые, в силу специфики заложенных целей, требуют соответствую­щих форм организации урока.

Основная цель первого этапа — создание у учащихся устойчивого представления о предмете изучения геомет­рии и об основных фигурах геометрии: поверхности, линии, точке — как о естественной абстракции. Поэтому основной формой работы является беседа. Учитель рассказывает ма­териал первой главы, привлекая учащихся к участию в ней через вопросы. Можно порекомендовать не проводить про­верку домашнего задания.

На втором этапе основная часть уроков — это стандарт­ные уроки с этапом объяснения нового материала и уроки решения задач.

Однако задачный материал учебного пособия не обеспе­чивает полностью отработку всего учебного материала по­собия. Как правило, для решения основной массы задач, рекомендованных к параграфу, необходимо знать значи­тельную часть теоретического материала параграфа. Эта особенность построения учебника диктует необходимость «плотного» изучения теории и привлечения дополнитель­ных задач.

На третьем этапе все уроки являются уроками система­тизации и обобщения знаний, а значит, на каждом из них ведется повторение пройденного и основная часть учебной деятельности учащихся является самостоятельной.

Чрезвычайно важная роль отводится в учебнике зада­чам: некоторые из них содержат интересные геометриче­ские факты и служат дополнением к теоретическому мате­риалу учебника. Другие в определенном смысле можно считать типовыми, а умение решать их — обязательным для всех учащихся. Третьи являются задачами повышенной трудности, их решение позволяет раскрыть красоту и непо­вторимость геометрии.

В систему задач учебника входит значительное число за­дач, которые в рубрике «Методические рекомендации к изучению материала» рекомендуется решать устно, что со­вершенно не означает, что они просты. Это, как правило, задачи, в ходе решения которых необходимо привлекать как можно больше учащихся для поиска их решения. Такие за­дачи позволяют рассмотреть несколько разных подходов к решению, отвергнуть неверные, другими словами, создать на уроке атмосферу творчества. Среди этих задач много на­столько нестандартных и интересных, что поиск их реше­ния и само решение запомнится учащимся и без записи в тетрадях. При необходимости можно сделать чертеж или серию рисунков, иллюстрирующих решение или краткую запись.

Основное назначение данной книги — помочь учителю в организации учебной деятельности школьников. В ней даются:

по каждой главе — общая характеристика содержания, места и роли в курсе; контрольная работа;

по каждому параграфу — комментарий для учителя, включающий, если необходимо, общую характеристику со­держания и требования к знаниям и умениям учащихся, ме­тодические рекомендации к изучению материала с разбив­кой по отдельным урокам.

Так как в учебном пособии нет рубрики «Вопросы для повторения», то, для того чтобы помочь учителю сориенти­ровать учеников, на что обратить внимание при работе с учебником дома, введена рубрика «Вопросы к домашнему заданию».

Целью контрольных работ является проверка усвоения учащимися основного материала изученной темы (иногда части темы). При этом результаты проверки контрольной работы позволяют зафиксировать не только достижение или недостижение учащимися уровня обязательной подго­товки, но также достижение повышенного уровня обучен­ности. В работах проверяются следующие умения: пони­мать условие задачи, владеть соответствующей термино­логией и символикой; делать чертежи, сопровождающие условие задачи, выделять на чертеже необходимую при ре­шении задачи конфигурацию. Перед каждой контрольной работой целесообразно посвятить один урок подготовке к ней, решению соответствующих задач, как на доске, так и самостоятельно. При этом можно использовать графический планшет. На следующем после контрольной работы уроке необходимо ее разобрать, указав школьникам основные ошибки.

Варианты каждой работы содержат четыре задания. За­дания 1—3 направлены на проверку достижения учащими­ся уровня обязательной подготовки. Они отмечены в тексте знаком °. Задание 4 — более сложное.

Глава 1

Чем занимается геометрия. Первые понятия геометрии (9 часов).

Данная глава носит вводный характер. В силу авторской концепции, главная цель этой главы – заинтересовать учащихся новым предметом, показать им красоту геометрии. Для наглядности в этой главе особенно удобно использовать цифровые образовательные ресурсы.

1.1 Геометрическое час).

1.2 Поверхность (2 часа).

В результате изучения этих двух параграфов учащиеся должны:

знать, сколько измерений имеет геометрическое тело, а сколько поверхность;

понимать, что значит геометрическое тело, поверхность тела, плоскость;

уметь изображать и распознавать на рисунке известные им геометрические фигуры, устно их описывать, делать развертки известных им многогранников.

Урок 1.

Изучается весь материал параграфа 1.1.

Этот урок начинается с введения понятия геометрического тела. В качестве примеров удобно использовать реальные физические тела, хорошо знакомые любому школьнику. В случае использование цифровых образовательных ресурсов, урок следует начать с анимации «Геометрические тела», в которой показывается соответствие между реальными физическими объектами и геометрическими телами. Необходимо обратить внимание школьников на то, что различные физические объекты могут являться одним и тем же геометрическим объектом (например, что дом и кирпич имеют одинаковую форму - форму параллелепипеда и отличаются только размерами). Для демонстрации общности геометрических форм различных геометрических убъектов целесообразно использовать анимацию. Второй ключевой момент данной анимации, на котором следует заострить внимание – различие между физическим телом и его геометрической формой. Это делается на примере кирпича и параллелепипеда. Учащиеся должны понимать, что геометрическое тело – это в некотором роде абстракция и реальные тела мы можем рассматривать как геометрические лишь приближенно.

Для закрепления данного материала и привлечения школьников к самостоятельной работе можно использовать интерактив «Бытовые предметы», в котором школьникам необходимо самостоятельно установить соответствие, между реальными предметами и их геометрическими описаниями. При этом проверка правильности ответа учащегося производится автоматически.

Вторую часть урока необходимо посвятить уточнению понятия геометрическое тело. Используя анимацию «Геометрическое тело» необходимо обратить внимание учащихся на то, что говоря «геометрическое тело», мы тем самым подчеркиваем, что нас не интересуют физические свойства тела: масса, цвет, материал и др., что рассматривать и изучать мы будем лишь его форму и размеры.

Последнее, на что нужно обратить внимание на этом уроке – количество измерений геометрического тела. При этом нужно начать с числа измерений параллелепипеда (анимация, «Длина, ширина и высота», интерактив «Параллелепипед») и только после этого объяснить, что говоря о том, что геометрическое тела имеет три измерения мы на самом деле имеем в виду то, что внутри него можно поместить параллелепипед, пусть очень небольшой, у которого, однако, все три измерения отличны от нуля. Данный момент иллюстрируется в анимации «Три измерения».

Если время на уроке осталось, можно предложить школьникам решить задачу «Невозможные тела» (или дать ее в качестве домашнего задания). В этой задаче иллюстрируется, что не все изображенное на бумаге, существует на самом деле. Эту задачу можно также дополнить, предложив школьникам самим изобразить какие-нибудь несуществующие объекты.

На дом: задачи 3, 4, 6 из параграфа 1.1

Вопросы к домашнему заданию:

1. Что такое геометрическое тело?

2. Что означает, что тело имеет три измерения?

Урок 2.

На этом уроке изучается весь материал параграфа 1.2 за исключением замечательных поверхностей.

По итогам этого урока школьник должен понимать, что такое «поверхность», сколько измерений она имеет. Начать урок можно с показа анимации «Поверхность». При показе следует обратить особое внимание на следующие моменты:

1) граница любого геометрического тела является поверхностью;

2) поверхность, ограничивающая тело, делит пространство на две части: внутреннюю и внешнюю по отношению к этому телу;

3) поверхность может существовать и отдельно от тела (не быть ничьей границей);

4) поверхность, в отличие от тела, имеет лишь два измерения: длину и ширину. Иными словами, никакое тело, каким бы маленьким оно ни было, нельзя расположить так, чтобы оно целиком принадлежало поверхности

После этого необходимо ввести понятие плоскости. При показе анимации «Плоскость» следует обратить внимание, что именно ее свойства и будут в дальнейшем изучаться в курсе планиметрии. Полезно предложить школьникам самим привести примеры плоскости в жизни (лед катка, лист бумаги), при этом нужно пояснить, что на самом деле в реальной жизни плоскость (как и любая другая поверхность) не существует, а является математической абстракцией.

Оставшуюся часть урока следует посвятить изучению разверток различных геометрических тел. При этом определение развертки можно и не вводить (оно интуитивно понятно), достаточно просто привести примеры тел и их разверток. При изучении этого материала, удобно использовать «Складывание листа бумаги», при этом часть задание учитель должен выполнить сам, чтобы учащиеся лучше поняли, что такое развертка, а часть дать для самостоятельной работы (в сильном классе можно предложить школьникам выполнить все задание самостоятельно).

В конце урока (если осталось время) можно дать школьникам самостоятельную работу пол теме развертки. Учащиеся должны выбрать из предложенных разверток те, из которых можно сложить куб (проверка правильности ответа, при использовании интерактива «Развертки куба», происходит автоматически, при этом, для большей наглядности, показывается как именно из данной развертки можно склеить куб). В качестве домашнего задания можно использовать подобное задание для других геометрических тел (в сильном классе можно предложить учащимся придумать геометрическое тело, с самопересекающейся разверткой).

На дом: задачи 1, 3, 4, 10 из параграфа 1.2

Вопросы к домашнему заданию:

1. Что такое поверхность тела?

2. Сколько измерений имеет поверхность?

3. Что такое плоскость?

Урок 3.

Этот урок следует целиком посвятить изучению замечательных поверхностей и их свойств. Основная цель данного урока не учебная. Главное показать учащимся разнообразие поверхностей, красоту и необычность их свойств, заинтересовать учащихся.

На первой половине урока, можно показать учащимся анимацию «Замечательные поверхности». Особое внимание следует обратить на лист Мебиуса (простейшую одностороннюю поверхность, которую легко склеить из листа бумаги). Следует аккуратно объяснить, что означает односторонность поверхности (это учень хорошо проиллюстрировано в данной анимации).

Вторую часть урока нужно посвятить практическому изучению замечательных поверхностей. Можно предложить учащимся самостоятельно склеить из листа бумаги различные поверхности (тор, конус, лист Мебиуса …), определить (и проверить), какие из них односторонние, а какие нет. Можно предложить учащимся проверить свою геометрическую интуицию, задав им вопрос, что получится, если лист Мебиуса разрезать вдоль его центральной линии. Чтобы лучше проиллюстрировать ответ, можно как предложить сделать это самостоятельно, так и использовать интерактив «Лист Мебиуса».

Если останется время, можно предложить учащимся придумать другие варианты разрезания листа Мебиуса.

На дом: задача 7 из параграфа 1.2 (интерактив «Лист Мебиуса»).

Вопросы к домашнему заданию:

1. Приведите примеры поверхностей, имеющих только одну сторону.

1.3 Линия (1 час).

1.4 Точка (1 час).

В результате изучения этих параграфов учащиеся должны:

знать, сколько измерений имеет линия;

понимать, что означает линия, прямая линия;

уметь изображать и распознавать на рисунке известные им линии.

Урок 4.

На уроке изучается весь материал параграфа 1.3.

По итогам этого урока, урока школьник должен понимать, что такое линия сколько измерений она имеет. Начать урок можно с анимации "Линия". Следует обратить внимание школьников на следующие моменты:

4. Линия как пересечение двух поверхностей.

5. Линия как граница поверхности.

6. И просто линия как объект, имеющий только одно измерение.

Школьник должен понимать, что линия, как и поверхность, математическая абстракция.

Стоит особенно отметить на уроке две важнейшие линии - прямую и окружность. Школьник должен знать, что окружность - линия получающаяся при пересечении сферы и плоскости (или двух сфер), и что при пересечении двух плоскостей образуется прямая линия. Это можно проиллюстрировать при помощи анимации "Пересечение поверхностей - линия". Для привлечения учащихся к самостоятельной работе можно использовать интерактив "Пересечение поверхностей - линия", при работе с которым, учащиеся смогут увидеть, какие линии могут получаться при пересечении двух плоскостей.

В конце урока можно задать учащимся вопрос, где в реальной жизни можно встретить прямую. Для иллюстрации ответа на этот вопрос удобно использовать анимацию "Прямая".

На дом: задачи 4, 5, 6 (интеракив "Проволока") к параграфу 1.3

Вопросы к домашнему заданию:

1. Что такое линия?

2. Сколько измерений имеет линия?

3. Что такое прямая линия?

Урок 5.

На уроке изучается весь материал параграфа 1.4

При обсуждении понятия точка следует обратить внимание учащихся на то, что точка есть последний шаг на пути от реальных тел к математическим абстракциям, путь последовательного уменьшения числа измерений от трех (тело) до нуля (точка).

Начать изучение можно с показа анимации "Точка в реальной жизни". По итогам урока учащиеся должны понимать?

1. Точка - пересечение двух линий (можно использовать соответствующую анимацию).

2. Точка - математическая абстракция - объект имеющий ноль измерений (не имеющий измерений).

На второй половине урока можно предложить учащимся определить сколько общих точек могут иметь различные линии (при этом можно использовать интерактивный модуль "Число точек пересечения линий") или геометрические тела (модуль "Число точек пересечения тел").

Вопросы к домашнему заданию:

1. Что такое точка?

2. Сколько измерений имеет точка?

1.5 От точки к час).

В результате изучения параграфа учащиеся должны:

знать, что такое равенство фигур;

понимать как «статистический», так и «кинематический» подход к понятиям геометрическое тело, поверхность, линия, точка; что такое геометрическая форма, геометрическая фигура

уметь изображать и распознавать на рисунке равные геометрические фигуры.

Урок 6.

На уроке изучается весь материал параграфа 1.5.

В начале урока следует напомнить учащимся, что до этого начав рассмотрение с реальных тел мы получили представление о поверхностях, линиях, точках - геометрических формах, не существующих в природе, представляющих собой математические абстракции. После этого необходимо проиллюстрировать, как наоборот начав с точки можно прийти к геометрическому телу (линия - траектория движения точки, поверхность - область заметаемая линией, тело - область заметаемая поверхностью). При этом для большей наглядности можно воспользоваться анимацией "От точки к телу". Полезно так же рассмотреть важные частные случаи: точка - прямая - плоскость - пространство и окружность - сфера - шар (при этом также можно воспользоваться соответствующими анимациями).