знать: алгоритмы построения перпендикуляра к прямой; деления отрезка пополам; треугольника, равного данному; угла, равного данному; биссектрисы угла; прямой, параллельной данной; касательной к окружности;
уметь: применять изученные алгоритмы при решении конкретных задач на построение.
Урок 49.
Этот урок готовит учащихся к решению задач на построение. Как замечено в учебнике, цель решения задач на построение заключается в нахождении способа построения, и желательно наиболее экономного. Этой цели подчинена та часть решения, которая называется анализом. Предполагая, что задача решена, делают приблизительный чертеж искомой фигуры и пытаются выяснить такие соотношения между данными задачи, которые позволят свести ее решение к другим, известным ранее, или основным задачам на построение. Целью этапа анализа является составление плана решения.
Вторая часть решения — это само построение, которое выполняется соответственно выбранному плану решения.
Для того чтобы убедиться в правильности построения, проводится доказательство (на основании известных теорем) того, что построенная фигура обладает требуемыми свойствами.
Вообще говоря, должен быть проведен еще один этап решения — исследование, где решается вопрос, при каких данных задача имеет решение, сколько решений имеет задача, нет ли каких-либо частных случаев, требующих особого рассмотрения.
Во всех задачах, приведенных в учебнике, этапы анализа и исследование отсутствуют. Поскольку основные задачи на построение являются сравнительно простыми задачами, отсутствие анализа при ее решении вполне оправдано, однако в учебнике есть задачи, при решении которых проведение анализа обеспечивает построение. При наличии времени учитель может продемонстрировать указанный этап решения на примере решения нескольких задач. Этап исследования опускается здесь потому, что к данному моменту у учащихся еще отсутствуют в полном объеме нужные теоретические знания.
Как отмечено в учебнике, когда речь идет о задачах на построение, то, если не сделано никаких оговорок, построение должно быть выполнено с помощью циркуля и линейки. Заметим, что почти во всех задачах на построение решение в конечном счете сводится к построению отдельных точек. Учащимся уже известно, что прямая определяется любыми своими двумя точками, треугольник — вершинами, окружность — центром и любой ее точкой и т. д. Инструменты, которые используют при решении задач на построение (циркуль и линейка), позволяют проводить линии — прямые и окружности, а значит, точки строятся как пересечение двух линий: двух прямых, двух окружностей, окружности и прямой. Когда говорится о инструментах построения, следует обратить внимание, какие именно действия (построения) можно производить каждым из них. Для этого можно воспользоваться анимацией «Инструменты построения».
Все сказанное выше диктует настоятельную необходимость провести систематизацию знаний учащихся о взаимном расположении окружностей и прямых.
1) Взаимное расположение прямых. Из первого основного свойства плоскости учащимся известно, что через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну; любые две различные прямые плоскости пересекаются не более чем в одной точке (§ 2.2). Кроме того, они знают, что существуют параллельные прямые, которые не имеют точек пересечения (§ 2.2 и § 2.3, следствие из теоремы 2.4), и перпендикулярные прямые, причем для каждой точки плоскости перпендикулярная прямая к данной прямой единственна (§ 2.3, теоремы 2.3 и 2.4).
2) Взаимное расположение окружностей и прямых. Очевидно, что возможны случаи, когда окружность и прямая не имеют общих точек; имеют только одну общую точку, т. е. прямая является касательной к окружности (теорема 3.8); имеют две общие точки, т. е. прямая пересекается с окружностью, причем прямая может проходить через центр окружности (теорема 2.5) и не проходить (теоремы 3.2 и 3.3).
3) Взаимное расположение окружностей. Очевидно, что возможны случаи, когда две окружности не имеют общих точек; имеют только одну общую точку, т. е. касаются (§ 3.3), и общую касательную в этой точке к этим окружностям, причем касание может быть внутренним и внешним; имеют две общие точки, т. е. пересекаются (теорема 3.3).
Вопросы к домашнему заданию:
1. Объясните, что такое задачи на построение.
2. Назовите стандартные инструменты построения. Какие (элементарные) построения можно выполнить с их помощью.
Урок 50.
Начать урок следует с разбора задачи 1. Это можно с делать с помощью соответствующей анимации, но можно предложить школьникам и самостоятельно выполнить построение перпендикуляра к прямой, используя соответствующий интерактивный модуль. Сразу после разбора задачи 1 полезно выполнить с учащимися следующие построения, используя при этом фронтальную форму работы:
1. Дан треугольник. Постройте одну из его высот.
2. Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.
При разборе задачи 2 можно поступить аналогично (разобрать, используя анимацию «Деление отрезка пополам» или предложить школьникам и самостоятельно выполнить построение, используя соответствующий интерактивный модуль). Доказательство того факта, что построена середина отрезка, следует из свойства равнобедренного треугольника: высота равнобедренного треугольника совпадает (является) с медианой.
Для закрепления изученного приема построения после разбора задачи 2 полезно выполнить с учащимися следующие построения, используя при этом фронтальную форму работы:
1. Дан треугольник. Постройте одну из его медиан.
2. Разделите данный отрезок на четыре части.
Построение треугольника, равного данному, уже рассматривалось в задаче № 9 к § 3.2. Поэтому в полезно предложить школьникам самостоятельно решить эту задачу. Доказательство того факта, что построен треугольник, равный данному, следует из третьего признака равенства треугольников.
Здесь полезно сделать замечание для учащихся, что в курсе геометрии принято обозначать сторону, лежащую против ë A, через a, против ë B — через b, против ë C — через c.
Также полезно показать учащимся, что стороны треугольника могут быть заданы геометрически — данными отрезками a, b, c.
Для закрепления изученного приема построения полезно выполнить с учащимися следующее построение, используя при этом фронтальную форму работы.
Постройте равносторонний треугольник по его стороне.
Построение угла, равного данному, также уже рассматривалось в задаче № 10 к § 3.2. Его школьникам тоже полезно выполнить самостоятельно. Доказательство того факта, что построен угол, равный данному, следует из третьего признака равенства треугольников.
Сразу после разбора задачи 3 полезно выполнить с учащимися следующие построения, используя при этом фронтальную форму работы:
Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, прилежащему к основанию.
Стоит отметить, что все предлагаемые в ходе урока задачи, можно решать используя графический планшет.
На дом: задачи № 1, 6, 12 из параграфа 4.2
Вопросы к домашнему заданию:
1. Объясните, как построить перпендикуляр к прямой.
2. Объясните, как построить серединный перпендикуляр.
3. Объясните, как построить треугольник по трем сторонам.
4. Объясните, как построить угол, равный данному.
Урок 51.
На этом уроке следует завершить разбор простейших задач на построение. Как и во всех предыдущих, разбор каждой из них можно проводить, как с помощью соответствующей анимации, так и предлагая школьникам решить их самостоятельно, используя соответствующие интерактивные модули.
Доказательство того факта, что построена биссектриса угла, следует из третьего признака равенства треугольников.
На закрепление алгоритма построения биссектрисы угла можно выполнить с учащимися следующее построение, используя при этом фронтальную форму работы:
Разделите данный угол на четыре части.
Построение прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, основано на двух следствиях из теоремы 2.4. Первое: две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны; второе: для построения прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную точку, надо построить точку, симметричную данной. Доказательство того факта, что построена прямая, параллельная данной, следует из теоремы 2.5.
На закрепление алгоритма построения прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, можно выполнить с учащимися следующее построение, используя при этом фронтальную форму работы.
Постройте прямую, параллельную основанию равнобедренного треугольника и проходящую через середину боковой стороны.
Построение касательной к окружности основано на признаке равенства прямоугольных треугольников.
На закрепление алгоритма построения касательной к окружности можно выполнить вместе с учащимися задачу № 11.
В результате доказательных рассуждений, проведенных в ходе решения задачи 6, получены два утверждения: первое — «из данной точки к данной прямой можно провести ровно две касательные»; второе — полученные касательные равны.
Все предлагаемые в ходе урока задачи, можно решать используя графический планшет.
В конце урока стоит отметить, что при решении последующих задач не обязательно воспроизводить подробно уже разобранные построения (например, можно просто сказать «построим биссектрису угла», не производя вспомогательных построений). При решении задач на построение с использованием планшета, все эти построения можно будет выбрать в меню. Целесообразно при объяснении использовать анимации, построения производить с помощью интерактивных модулей или, если учитель сам формирует задачу, использовать графический планшет.
На дом: задачи № 2, 3, 10 из параграфа 4.2
Вопросы к домашнему заданию:
1. Объясните, как построить биссектрису угла.
2. Объясните, как построить прямую, параллельную данной.
3. Объясните, как построить касательную к окружности.
4. Сколько касательных можно провести из данной точки к данной прямой?
Урок 52.
Этот урок следует посвятить подготовке к контрольной работе. В начале урока необходимо повторить весь теоретический материал главы, элементарные построения, обратить внимание на то, что в задачах на построение требуется не только выполнить необходимое построение, но и обосновать его. На второй половине урока предложить школьникам решить задачи, сходные с заданием контрольной работы.
Урок 53.
Контрольная работа
Вариант 1.
1. Найти геометрическое место центров всевозможных окружностей, проходящих через две данные точки плоскости.
2. Разделить данный отрезок в отношении 1:3.
3. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Вариант 2.
1. Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся сторон данного угла.
2. Разделить данный угол в отношении 3:1.
3. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Урок 54.
Урок посвящен анализу контрольной работы. Следует разобрать задачи, указать школьникам на наиболее распространенные ошибки. В конце урока можно оставить время на решение задач (работы над ошибками).
4.3. Кратчайшие пути на плоскости (1 ч)
Как уже было замечено, начиная с этого параграфа содержание всех оставшихся параграфов составляет материал, совершенно не традиционный для курса планиметрии.
В результате изучения параграфа учащиеся должны:
понимать: метод кратчайшего пути;
уметь: решать задачи методом кратчайшего пути.
Урок 55
На этом уроке следует рассмотреть весь материал параграфа и решить задачу №3 из него. Разбор задачи о кратчайшем пути можно провести используя анимацию «кратчайшие пути на плоскости». Следует обратить внимание школьников, на то что понятие кратчайшего пути на плоскости между двумя точками им уже давно известно (отрезок). Можно посвятить часть урока кратчайшим путям на различных геометрических телах: цилиндре, сфере, конусе.
На дом: задачи №2 и 3 из параграфа 4.3 (обе они реализованы в виде интерактивных модулей).
4.4. О решении геометрических задач (2 ч)
Данный параграф позволяет начать работу по обучению учащихся самостоятельной работе с учебной литературой.
В результате изучения параграфа учащиеся должны:
понимать: роль чертежа в решении задачи; роль дополнительного построения; роль треугольника при решении некоторых задач;
уметь: решать задачи на вычисление.
Урок 56.
Этот параграф можно разделить на две части: первую, в которой рассматриваются некоторые общие положения, касающиеся процесса решения задач; вторую, в которой рассматриваются примеры решения задач. Первую часть можно порекомендовать для самостоятельной работы учащихся: прочитать и ответить на вопросы к домашнему заданию. Этому и стоит посвятить первый урок.
Вопросы к домашнему заданию:
1. Объясните роль чертежа при решении задачи.
2. Объясните, что такое дополнительное построение.
3. Объясните, какая геометрическая фигура используется в качестве «ключевой» фигуры.
Урок 57.
Изучение второй части рекомендуется построить в форме собеседования. При этом решение задач полезно записать на доске и в тетрадях.
В сильном классе, можно предложить учащимся самостоятельно решить задачи, разбирающиеся в параграфе. Все они реализованы в виде интерактивных модулей с автоматической проверкой.
На дом: задачи №8, 9, 12, 14 из параграфа 4.4
Вопросы к домашнему заданию:
1. Объясните, что такое многовариантность решения задачи.
4.5. Доказательства в геометрии (6 часов).
Материал этого параграфа является повторением курса геометрии седьмого класса. На повторение отводится все оставшееся время. В рамках этого учебного времени необходимо провести повторение и годовую контрольную работу, а также решить задачи, рекомендованные к данному параграфу. Непосредственно пред итоговой контрольной работой необходимо посвятить урок подготовке к ней
При разборе методов доказательства, очень удобно воспользоваться интерактивным модулем «доказательства в геометрии», так как с его помощью, можно быстро проиллюстрировать соответствующей теоремой и ее доказательством необходимый метод.
Стоит также напомнить школьникам отличия между свойствами и признаками, а также проиллюстрировать их примерами, как из геометрии, так и просто из жизни.
Примерное планирование:
Урок 58.
Теоремы и доказательства, методы доказательства теорем (с примерами).
Урок 59.
Прямые и обратные теоремы, свойства и признаки.
Урок 60.
Примеры ошибок при доказательствах.
Уроки
Решение задач, подготовка к контрольной работе.
Урок 63.
Годовая контрольная работа.
Урок 64.
Разбор контрольной работы, анализ наиболее распространенных ошибок.
Годовая контрольная работа.
Вариант 1
1°. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.
2°. Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра.
3°. На биссектрисе угла A отмечена точка B, а на сторонах угла — точки C и D такие, что F ABC и F ABD равны. Докажите, что AC = AD.
4. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Вариант 2
1°. На высоте, проведенной к основанию AC равнобедренного треугольника ABC, отмечена точка M. Докажите, что треугольник BMC равнобедренный.
2°. Докажите, что если две стороны треугольника не равны, то медиана, проведенная к третьей стороне, составляет с меньшей из этих сторон угол больший, чем с другой стороной.
3°. Отрезки AB и CD равны и пересекаются в точке O так, что AO = DO. Докажите, что отрезки AC и BD равны.
4. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
Резерв времени 4 часа.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
