Теория вероятностей (стр. 10 )

,

или, учитывая, что , получим:

. (4.6)

Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всевозможных ее значений на вероятности этих значений.

Очевидно, что с механической точки зрения математическое ожидание М(Х), определяемое формулой (4.6), характеризует положение центра тяжести системы материальных точек xi (i = 1, 2, …, n), в которых сосредоточены соответственно массы pi (I = 1, 2, …, n).

Из наличия своеобразной связи между частотой и вероятностью можно вывести как следствие наличие подобной связи между средним арифметическим и математическим ожиданием. Действительно, пусть производится N независимых опытов, в каждом из которых величина Х принимает определенное значение. Предположим, что значение х1 появилось m1 раз, значение х2 – m2 раз, вообще значение xi появилось mi раз. Очевидно, что Вычислим среднее арифметическое наблюдаемых значений величины Х, которое в отличие от математического ожидания М(Х) обозначим М*(Х):

.

Но есть частота (или статистическая вероятность события Х = хi); эту частоту мы условились обозначать . Тогда

,

то есть, среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на частоты этих значений.

При увеличении числа опытов N частоты будут приближаться (сходиться по вероятности) к соответствующим вероятностям pi. Следовательно, и среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины М*(Х) при увеличении числа опытов будет приближаться (сходиться по вероятности) к ее математическому ожиданию М(Х).

Сформулированная нами связь между средним арифметическим и математическим ожиданием составляет содержание одной из форм закона больших чисел.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, имеющей распределение Паскаля.

Решение. Случайная величина Х может принимать целые неотрицательные значения (xi = m (m = 0, 1, 2, …)) с вероятностями

.

По формуле (4.6) вычислим математическое ожидание.

Пусть тогда

Ряд является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член и знаменатель равны Поэтому Дифференцируя это равенство по r, получим Ф(r) = 1.

Итак, М(Х) = r×Ф(r) = r. Таким образом, параметр r представляет собой математическое ожидание случайной величины.

Пример 2. Определить математическое ожидание случайной величины Х распределенной по закону Пуассона.

Решение. По определению математического ожидания

Первый член суммы (как и в примере 1) равен нулю. Следовательно, суммирование начнем с m = 1:

Обозначим m – 1 = k, тогда

Таким образом, параметр λ представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.

Перейдем к рассмотрению теорем, характеризующих свойства математических ожиданий.

Теорема 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной.

Доказательство. Постоянную величину (а) можно считать случайной, которая принимает лишь одно значение (а) с вероятностью p = 1. Поэтому математическое ожидание такой величины равно:

М(а) = а×1 = а.

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак (символ) математического ожидания, т. е.

M(KX) = KM(X). (4.7)

Доказательство. Пусть закон распределения случайной величины X характеризуется табл. 3. Тогда KX – это случайная величина, закон распределения которой задается табл. 5. Математическое ожидание такой случайной величины равно:

Теорема 3. Математическое ожидание суммы любого конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т. е.

M(X +Y + …+ Z) = M(X) + M(Y) + … + M(Z). (4.8)

Доказательство. Сначала докажем теорему для двух случайных величин X и Y, законы распределения которых приведены в табл. 3 и 4. Математическое ожидание случайной величины X + Y равно:

,

где через pij обозначена вероятность того, что случайная величина X + Y примет значение xi + y j (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m).

Так как в сумме не зависит от индекса j, то xi можно вы-

нести за знак суммы и двойную сумму записать в виде:

так как, очевидно, что

Аналогично можно получить:

Таким образом, Но а поэтому M(X + Y) = M(X) + M(Y), что требовалось доказать.

Теорему, доказанную для суммы двух случайных величин, легко распространить на сумму трех случайных величин. Действительно,

M(X + Y + Z) = M[(X + Y) + Z] = M(X + Y) + M(Z) = M(X) + M(Y) + M(Z).

Методом математической индукции теорема легко доказывается для суммы любого конечного числа слагаемых.

Следствие. Так как X - Y = X + (-1)Y, то по формуле (4.8) M(X - Y ) =

= M[X + (-1)Y] = M(X) + M[(-1)Y]. По теореме 2 имеем:

M[(-1)Y] = -1×M(Y) = -M(Y).

Из последних двух равенств получаем:

M(X-Y) = M(X) - M(Y). (4.9)

Теорема 4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.

M(XY … Z) = M(X)×M(Y) … M(Z). (4.10)

Доказательство. Первоначально докажем теорему для двух независимых случайных величин X и Y. Пусть табл. 3 и 4 определяют их законы распределения. Поскольку случайные величины X и Y независимые, то их произведение принимает значения xi y j (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) с вероятностями . Поэтому

Множители можно вынести за знак второй суммы, так как они не зависят от индекса j, по которому производится суммирование во второй сумме:

Так как, по определению, а то имеем: что и требовалось доказать.

Это доказательство можно легко распространить на произведение любого конечного числа независимых случайных величин.

Пример 3. Вычислить математическое ожидание случайной величины X – числа появления события А в n независимых испытаниях, т. е. найти M(X) биномиального распределения.

Решение. Первоначально найдем математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р. Случайная величина Х – число появлений события А в одном испытании может принимать только два значения: х1 = 1 событие А наступило) с вероятностью р и х2 = 0 (событие А не наступило) с вероятностью q = 1 - p. Искомое математическое ожидание M(X) =1×p + 0×q = p.

Итак, математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании равно вероятности этого события.

Теперь решим основную задачу.

Пусть X – число появлений события А в n испытаниях. Очевидно, что общее число X появлений события А в этих испытаниях складывается из числа появлений события в каждом испытании. Поэтому, если X1 – число появлений события в первом испытании, X2 – во втором, … Xn – в n-ом, то общее число появлений события По теореме 3 имеем:

Так как то M(X) = np.

Итак, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами n и p равно произведению np.

Кроме важнейшей из характеристик положения – математического ожидания – на практике иногда применяются и другие числовые характеристики положения, в частности мода и медиана случайной величины.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятностное значение. Обозначается мода буквой Мo.

Медианой Ме распределения случайной величины X называется такое число xm, для которого и . Другими словами, xm выбрано таким образом, чтобы вероятность того, что X меньше или больше чем xm, была возможно более близка к 0,5.

4.6. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение

Выше отмечалось, что математическое ожидание случайной величины является постоянной величиной. Оно связано с ней и характеризует ее в среднем. Иногда математическое ожидание дает необходимое представление о случайной величине, тогда отпадает необходимость детального изучения закона распределения.

Однако в большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени охарактеризовать случайную величину. Бывает так, что математические ожидания случайных величин одинаковы, но по характеру распределения они совершенно различны.

Пусть случайные величины X и Y заданы законами распределения:

X P	xi	-0,2	-0,1	0	0,1	0,2
pi	0,05	0,2	0,5	0,2	0,05

Y P	yj	-30	-10	0	10	30
pj’	0,2	0,15	0,3	0,15	0,2

Математические ожидания их одинаковы – равны нулю:

M(X) = (-0,2)×0,05 + (-0,1)×0,2 + 0×0,5 + 0,1×0,2 + 0,2×0,05 = 0;

M(Y) = (-30)×0,2 + (-10)×0,15 + 0×0,3 + 10×0,15 + 30×0,2 = 0.

Характер распределений случайных величин Х и Y различный. Действительно, случайная величина X принимает значения, близкие к математическому ожиданию, а случайная величина Y принимает значения, отклоняющиеся от математического ожидания, причем вероятности этих значений не малы. Так, при одинаковой средней величине выпадающих в двух местностях осадков за год нельзя сказать, что эти местности одинаковы по климату (при прочих равных условиях). Аналогично одна средняя заработанная плата не дает возможности судить об удельном весе высоко - и низкооплачиваемых рабочих. Эти примеры показывают, что умение давать оценку рассеивания значений случайной величины имеет весьма важное значение.

Оценивать рассеивание можно по-разному. Наиболее распространенной мерой рассеивания является так называемая “дисперсия” и непосредственно полученное из нее “среднее квадратическое отклонение” (СКО).

Пусть задан закон распределения случайной величины X (см. табл. 3), математическое ожидание этой величины равно mx. Разброс значений случайной величины X около математического ожидания mx могут характеризовать квадраты отклонений значений случайной величины от m: (х1 – mx)2, (x2 – mx)2, …, (xn – mx)2. Квадраты этих отклонений можно рассматривать как значения новой случайной величины Вероятность того, что она примет значение, очевидно, та же, что и т. е. равна Рi (i = 1, 2, …, n). Это означает, что случайная величина (X-mx)2 имеет следующий закон распределения:

Значение	(x1-mx)2	(x2-mx)2	. . .	(xn-mx)2
Вероятность	р1	р2	. . .	рn

Математическое ожидание этой случайной величины называется дисперсией случайной величины X, которая обозначается символом D(X) или s2(X). Следовательно,

(4.11)

Определение. Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения ее от математического ожидания:

(4.12)

Определение. Арифметическое значение корня квадратного из дисперсии случайной величины называется ее средним квадратическим отклонением. СКО обозначается s(X) или sx, т. е. по определению

. (4.13)

Среднее квадратическое отклонение (иначе “стандарт”) случайной величины X имеет размерность, совпадающую с размерностью случайной величины X.

Полезно иметь в виду следующее: если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Далее перейдем к рассмотрению теорем, характеризующих свойства дисперсии.

Теорема 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Так как математическое ожидание постоянной равно этой постоянной и она принимает только одно значение с вероятностью. равной 1, то D(c) = (a-a)2×1 = 0.

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

D(KX ) = K2D(X). (4.14)

Доказательство. Пусть закон распределения случайной величины X определяется табл. 3. Тогда табл. 5 характеризует закон распределения величины KX. Из формулы (4.7) следует, что M(KX) = KM(X) = Kmx. Применяя формулу (4.11), получим:

так как, по определению, Теорема доказана.

Теорема 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата ее без квадрата ее математического ожидания:

D(X) = M(X2) – M2(X). (4.15)

Доказательство. Для упрощения записи обозначим математическое ожидание случайной величины X через mx. Применяя свойства математического ожидания, получим:

Теорема доказана.

Формула (4.15) упрощает вычисление дисперсии.

Теорема 4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y независимы. Тогда, применяя формулу (4.15) и свойства математического ожидания, получим: