Теория вероятностей (стр. 9 )

Р4(0) = 0,94 = 0,6561; Р4(1) = 4×0,1×0,93 = 0,2916; Р4(2) = 6×0,12×0,92 = 0,0486; Р4(3) = 4×0,13×0,9 = 0,0036; Р4(4) = 0,14= 0,0001.

Ряд распределения величины Х имеет вид:

X P	xi	0	10	20	30	40
pi	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Многоугольник распределения изображен на рис. 8.

р

1

 

 

0x

Рис. 8.

Пример 2. Вероятность появления события А в одном опыте равна р. Производится ряд независимых опытов, которые продолжаются до первого появления события А. Случайная величина Х – число проведенных опытов. Построить ряд распределения случайной величины Х.

Решение. Возможные значения величины Х: 1, 2, 3, 4, … (теоретически они ничем не ограничены). Для того, чтобы величина Х приняла значение, равное 1, необходимо, чтобы событие А произошло в первом же опыте; вероятность этого равна р. Для того, чтобы величина Х приняла значение, равное 2, нужно, чтобы в первом опыте событие А не появилось, а во втором появилось; вероятность этого равна qp, где q = 1 – p, и т. д. Ряд распределения величины Х имеет вид:

Х P	xi	1	2	3	…	n	…
pi	р	pq	pq2	…	pqn-1	…

Первые пять ординат многоугольника распределения для случая p = 0,5 показаны на рис. 9.

p

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

х

Рис. 9.

Ниже приведем примеры некоторых широко известных дискретных распределений, описываемых функцией дискретного аргумента.

1.  Распределение Паскаля

Случайная величина Х имеет распределение Паскаля с параметром r > 0, если она может принимать любые целые неотрицательные значения с вероятностями:

. (4.2)

Покажем, что .

Имеем: .

2.  Гипергеометрическое распределение

Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами N, М и n (N, M, n – натуральные числа), если она принимает конечное множество возможных значений {max (0, n + M - N) £ m £ min (M,n)} соответственно с вероятностями

. (4.3)

Гипергеометрическое распределение возникает в экспериментах по выбору без возвращения n шаров из урны, содержащей N черных и белых шаров, из которых М шаров белых.

Пример 3. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекаются три шара. Случайная величина Х – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения (в форме ряда распределения) случайной величины Х и показать, что сумма вероятностей Р(Х = m) равна единице.

Решение. Для решения задачи применим формулу (4.3), полагая N = 10, M = 4, n = 3, тогда , m = 0, 1, 2, 3. По этим данным составим ряд распределения

xi	0	1	2	3
p(Х = хi)	1/6	1/2	3/10	1/30

и вычислим сумму вероятностей Р(Х = хi): .

Используя формулу , можно переписать (4.3) в виде:

. (4.4)

Так как сумма вероятностей любого распределения вероятностей равна единице, то из (4.4) вытекает, что при любых целых и положительных N, M, и n

. (4.5)

Это тождество довольно часто оказывается полезным.

3.  Биномиальное распределение

Если возможные значения случайной величины Х определяют по формуле Бернулли то распределение величины Х называется биномиальным (или распределением Бернулли).

4.  Распределение Пуассона

Случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона с параметром l > 0, если ее возможные значения равны 0, 1, 2, …, а соответствующие вероятности определяются формулой (3.15)

.

Напоминаем, что распределение Пуассона может быть получено из биномиального распределения путем предельного перехода при n ® ¥, р ® 0 при условии np = l и в этом случае интерпретируется как закон «редких явлений». Если n достаточно велико, а р мало, то формулу Пуассона (3.15) часто используют в качестве приближения вместо точной формулы Бернулли (3.1).

4.3. Зависимость и независимость случайных величин.

Математические операции над случайными величинами

Важную роль в теории вероятностей играет понятие независимости случайных величин. Пусть закон распределения случайной величины Х характеризуется табл. 3, а закон распределения случайной величины Y задается следующей таблицей:

Таблица 4

Y P	yi	y1	y2	…	ym
pj¢	p1¢	p2¢	…	pm¢

Определение. Дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы при любых i и j события Х = хi и Y = yj

(i = 1, 2, … , n; j = 1, 2, … , m). В противном случае случайные величины X и Y называются зависимыми.

Таким образом, случайные величины X и Y независимы в том случае, когда закон распределения каждой из них не изменяется, если становится известным, что другая случайная величина приняла любое из своих значений. Понятие зависимости и независимости случайных величин легко распространяется на любое число случайных величин.

Предположим, что случайные величины X и Y выражают размер выигрыша на приобретенные два билета (соответственно на первый и второй денежно-вещевой лотереи различных выпусков). В этом случае X и Y – независимые случайные величины, так как если станет известным, что на первый билет выпал выигрыш (Х приняла некоторое значение), то закон распределения Y не изменится. Если же X и Y означают размер выигрыша на купленные два билета денежно-вещевой лотереи одного и того же выпуска, то в этом случае X и Y – зависимые случайные величины. В дальнейшем, если это не оговорено, случайные величины будем считать независимыми.

Операции умножения случайной величины на постоянный множитель, сложения, вычитания и умножения случайных величин весьма своеобразны. Пусть дана случайная величина Х, ряд распределения которой характеризуется табл. 3.

Определение. Произведение kX случайной величины Х на постоянный множитель k – это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина Х, принимает значения, равные произведениям на k значений случайной величины Х. Следовательно, ряд распределения kx имеет следующий вид:

Таблица 5

kX P	значение	kx1	kx2	…	kxn
значение	p1	p2	…	pn

Определение. Квадрат случайной величины Х, то есть Х2 – это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина Х, принимает значения, равные квадратам ее значений.

Пример 1. Составить ряд распределения случайной величины Х2, если ряд распределения величины Х задан таблицей:

X P	xi	-2	-1	0	1	2	3	5
pi	0,1	0,1	0,2	0,15	0,05	0,15	0,25

Решение. Квадраты значений случайной величины Х равны: (-2)2 = 4, (-1)2 = 1, 02 = 0, 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 52 = 25. Таким образом, случайная величина Х2 принимает пять различных значений: 0, 1, 4, 9, 25 с вероятностями, равными соответственно 0,2, 0,25, 0,15, 0,15, 0,25. Вероятность 0,25 для значения 1, как и вероятность 0,15 для значения 4, получены по теореме сложения как сумма вероятностей, с которыми случайная величина Х может принять значения –1 и 1, -2 и 2. Итак, ряд распределения случайной величины Х2 можем записать в виде:

X2 P	xi2	0	1	4	9	25
pi	0,2	0,25	0,15	0,15	0,25

Пусть заданы случайные величины X и Y, законы распределения которых представлены табл. 3 и 4 соответственно.

Определение. Суммой случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z = X + Y, которая принимает все значения вида: xi + yj (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) с вероятностями Pij, выражающими вероятность того, что случайная величина Х принимает значение xi, а Y – значение yj, то есть

.

Аналогично определяются разность и произведение случайных величин Х и Y.

Пример 2. Случайные величины Х и Y заданы законами распределения:

Х P	xi	0	1	2	3	,
pi	0,1	0,2	0,3	0,4

Y P	yj	-1	0	1
	0,2	0,3	0,5

Составить законы распределения их суммы и произведения.

Решение. Определим возможные значения случайных величин Z1 = X + Y и Z2 = X×Y; вычислим вероятности, с которыми они принимают каждое из значений. Результаты вычисления оформим таблицей.

№ п/п	Х	Y	Z1 = X + Y	Z2 = X×Y	Pij
1	0	-1	-1	0	0,1×0,2 = 0,02
2	0	0	0	0	0,1×0,3 = 0,03
3	0	1	1	0	0,1×0,5 = 0,05
4	1	-1	0	-1	0,2×0,2 = 0,04
5	1	0	1	0	0,2×0,3 = 0,06
6	1	1	2	1	0,2×0,5 = 0,10
7	2	-1	1	-2	0,3×0,2 = 0,06
8	2	0	2	0	0,3×0,3 = 0,09
9	2	1	3	2	0,3×0,5 = 0,15
10	3	-1	2	-3	0,4×0,2 = 0,08
11	3	0	3	0	0,4×0,3 = 0,12
12	3	1	4	3	0,4×0,5 = 0,20

Вероятности каждого из 12 возможных случаев вычисляются по теореме умножения вероятностей. Случайная величина Z1 имеет шесть различных значений: -1, 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями, соответственно равными 0,02, 0,07, 0,17, 0,27 и 0,20. Вероятность 0,17 для значения 1 получена по теореме сложения вероятностей – 0,17 = Р13 + р22 + Р31 = 0,05 + 0,06 + 0,06. Аналогично вычислены вероятности оставшихся значений. В итоге получим следующий ряд распределения:

Z1 = X+Y P	z1i	-1	0	1	2	3	4
pi	0,02	0,07	0,17	0,27	0,27	0,20

Случайная величина Z2 может принимать семь различных значений: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Применение теоремы сложения вероятностей требуется для отыскания лишь вероятности того, что случайная величина Z2 примет значение 0. Каждое из остальных своих значений она принимает только в одном случае. В результате получим следующий ряд распределения:

Z2 = X×Y P	z2i	-3	-2	-1	0	1	2	3
pi	0,08	0,06	0,04	0,37	0,10	0,15	0,20

Можно получить закон распределения суммы (произведения) трех и более случайных величин. Для этого сначала находят сумму (произведение) двух случайных величин, рассматривая ее как одну новую случайную величину. Затем складывают (умножают) с третьей (на третью) и т. д., то есть, таким образом можно найти закон распределения суммы (произведения) любого конечного числа случайных величин. Нетрудно установить, что как сумма двух одинаковых случайных величин Х и Х не равна 2Х, так и произведение этих случайных величин Х×Х не равно Х2.

4.4. Числовые характеристики случайных величин,

их роль и назначение

Всякий закон распределения случайной величины с вероятностной точки зрения полностью описывает (характеризует) случайную величину. Однако во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом. Зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, которые характеризуют существенные черты случайной величины: ее среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности этих значений около среднего, и т. д. Такие характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины. В теории вероятностей числовые характеристики и операции с ними играют огромную роль. Весьма часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя лишь числовыми характеристиками.

4.5. Математическое ожидание дискретной случайной

величины и его свойства

Среди всех числовых характеристик случайной величины, безусловно, самой важной является математическое ожидание или среднее значение. Оно наиболее удобно для аналитических операций и в то же время обладает полезным для статистов свойством, называемым выборочной устойчивостью.

Пусть случайная величина Х задана табл. 3. Охарактеризуем положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели воспользуемся «средним взвешенным» значений xi, причем каждое значение xi при осреднении должно учитываться с «весом», пропорционально вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее значение случайной величины Х, которое обозначим М(Х):