Теория вероятностей (стр. 11 )

D(X + Y) = M(X + Y)2 – M2(X + Y) = M(X2 + 2XY + Y2) –

– (M(X) + M(Y))2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) –

–  M2(X) – 2M(X)M(Y) – M2(Y) = [M(X2) – M2(X)] +

+ [M(Y2) – M2(Y)] = D(X) + D(Y).

Итак,

D(X+Y) = D(X)+D(Y). (4.16)

Таким образом, для двух независимых случайных величин теорема доказана. Пользуясь методом математической индукции, теорему можно распространить на любое конечное число независимых случайных величин.

Следствие. Среднее квадратическое отклонение суммы конечно-

го числа независимых случайных величин равно корню квадратно-

му из суммы квадратов их средних квадратических отклонений:

если X = X1 + X2 + … Xn.

Справедливость этого предложения непосредственно вытекает из теоремы 4 о свойствах дисперсии и из определения среднего квадратического отклонения.

Пример 1. Найти дисперсию числа появлений события А в одном испытании, если вероятность появления события А равна р.

Решение. Случайная величина X – число появлений события А в одном испытании может принимать только два значения: x1 = 0 (событие А не наступило) с вероятностью q = 1 -p и x2 = 1 (событие А наступило) с вероятностью p.

Математическое ожидание случайной величины X, как было показано ранее, равно p. Для вычисления дисперсии применим формулу (4.11).

Пример 2. Определить дисперсию случайной величины X, имеющей биномиальное распределение.

Решение. Очевидно, что общее число появлений события в n независимых испытаниях складывается из числа появления события в отдельных испытаниях. Поэтому, если X1 – число появления события в первом испытании, X2 – во втором, …, Xn – в n-ом, то общее число появления события X = X1 + X2 + …+ Xn. По четвертому свойству дисперсии имеем: D(X) = D(X1) + D(X2) + … + D(Xn) = npq, так как D(X1) = D(X2) = … = D(Xn) = pq.

Пример 3. Вычислить дисперсию случайной величины X, распределенной по закону Пуассона.

Решение. В п. 4.5, (пример 2) было показано, что математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равно l.

Дисперсию случайной величины X вычислим по формуле (4.15). Как видно из этой формулы, нам достаточно найти математическое ожидание квадрата случайной величины X, поскольку математическое ожидание ее уже найдено.

Первый член суммы равен нулю. Следовательно, суммирование начнем с m = 1:

Обозначим сумму ряда через Ф(l) и проинтегрируем полученное равенство:

Итак, Дифференцируя это равенство, получим: Откуда

т. е., совпадает с математическим ожиданием. Таким образом, параметр l, который определяет закон Пуассона, численно равен математическому ожиданию и дисперсии случайной величины, распределенной по этому закону. Этот важный результат устанавливает теоретико-вероятностный смысл параметра l.

Пример 4. Доказать, что математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных случайных величин X1, X2, …, Xn равно математическому ожиданию a каждой из случайных величин, а дисперсия в n раз меньше дисперсии D каждой из величин, если они являются независимыми случайными величинами.

Доказательство. Пусть случайная величина Тогда, в соответствии с формулами (4.7) и (4.8), получим:

Согласно теоремам 2 и 4, характеризующим свойства дисперсии, будем иметь:

что и требовалось доказать.

4.7. Задачи

1.  Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

a)

X P	xi	0	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

б)

X P	xi	10	15	20
pi	0,1	0,7	0,2

Построить многоугольник распределения.

2.  В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения случайной величины X – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник распределения.

Ответ:

X P	xi	0	1	2	3	4
pi	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

3.  Игральная кость бросается 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

Ответ:

X P	xi	0	1	2	3
pi	125/216	75/216	15/216	1/216

4.  В партии из шести деталей 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.

Ответ:

X P	xi	0	1	2	3
pi	0	1/5	3/5	1/5

5. Вероятность того, что стрелок попадает в мишень при одном вы - стреле, равна 0,8. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется. Составить закон распределения числа патронов, выданных стрелку.

Ответ:

X P	xi	1	2	3	…	k	…
pi	0,2	0,16	0,128	…	0,8k-1×0,2	…

6. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбраны случайным образом 5 изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа X дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Ответ:

X P	xi	0	1	2	3	4	5
pi	0,583	0,340	0,070	0,007	0,…	0,…

7. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайной величины X – числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9.

Ответ:

X P	xi	1	2	3	4	5
pi	0,1	0,09	0,081	0,0729	0,6561

8. Вероятность выпадания герба при каждом из пяти бросаний монеты равна 0,5. Составить ряд распределения случайной величины Z – отношения числа X появлений герба к числу Y появлений решки.

Ответ:

Z P	zi	0	1/4	2/3	3/2	4	¥
pi	1/32	5/32	10/32	10/32	5/32	1/32

9. Найти математическое ожидание, дисперсию (по формулам (4.11) и (4.15)) и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X P	xi	-5	2	3	4
pi	0,4	0,3	0,1	0,2

Ответ. M(X) = -0,3; D(X) = 15,21; s(X) = 3,9.

10. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X) = 2,3, M(X2) = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

Ответ: p1 = 0,2; p2 = 0,3; p3 = 0,5.

11. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа партий, в каждой из которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.

Ответ:

12. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента некоторого устройства в 100 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Ответ: D(X) = 9.

13. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появления события А в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Ответ: p1 = 0,3; p2 = 0,7.

14. Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: x1, x2 и x3, причем . Вероятности того, что X примет значения x1 и x2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание M(X) = 2,2 и дисперсию D(X) = 0,76.

Ответ:

X P	xi	1	2	3
pi	0,3	0,2	0,5

15. Доказать, что если X и Y – независимые случайные величины, то

16. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекаются 3 шара. Случайная величина X – число белых шаров в выборке. Описать закон распределения и найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X.

Ответ:

X P	xi	0	1	2	3
pi	1/6	1/2	3/10	1/30

M(X) = 6/5, Mо = 1, D(X) = 14/25.

17. Испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании повторяются до тех пор, пока не появится успех, после чего прекращаются. Пусть X – число проведенных испытаний до первого успеха включительно. Найти M(X), M, D(X). (Закон распределения случайной величины X называется геометрическим с параметром p.)

Ответ: M(X) = 1/p, Mо = 1, D(X) = q/p2.

18. Вероятность попадания стрелка в мишень в неизменных условиях постоянна и равна p. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Пусть X – число выданных стрелку патронов в этом эксперименте. Найти M(X) и D(X).

Ответ: M(X )= 1/q, D(x) = p/q2.

19. Испытуемый прибор состоит из пяти элементов. Вероятность отказа для элемента с номером k равна pk = 0,2 + 0,1(k - 1).Определить математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов, если отказы элементов независимы.

Ответ: M(X) = 2, D(X) = 1,1.

20. Случайная величина X может принимать целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Выбрать первый член а и знаменатель прогрессии q так, чтобы математическое ожидание величины X было равно 10.

Ответ: q = 0,9; a = 0,1.

21. Случайная величина X может иметь любое целое положительное значение n с вероятностью, пропорциональной . Найти математическое ожидание X.

Ответ: M(X) = .

22. *Случайная величина X имеет распределение

n = 1, 2, 3, ... Найти М(X).

Ответ: M(X) = 2ln2 - 1.

23.  Из урны, содержащей m белых и n черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа вынутых черных шаров и ее дисперсию, если каждый шар после извлечения возвращается в урну.

Ответ: M(X) =

§ 5. Непрерывные случайные величины, их законы

распределения и числовые характеристики

5.1. Функция распределения и ее свойства

Если множество значений случайной величины Х несчетно, то составить ряд распределения случайной величины Х невозможно, так как нельзя перечислить все возможные ее значения. Следовательно, для такой случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретной случайной величины.

Для количественной характеристики распределения случайной величины Х можно пользоваться не вероятностью Х = х, а вероятностью Х < x, где х – текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х, т. е. является функцией от х. Эту функцию и называют функцией распределения случайной величины Х, которая обозначается F(x). Таким образом, по определению:

F(x) = P(X < x). (5.1)

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого , вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение, меньшее х.

Функцию распределения F(x) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных (дискретных), так и непрерывных (определение непрерывной случайной величины будет дано чуть ниже).

Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления события А равна 0,4. Случайная величина Х – число появления события А в опыте. Построить ее функцию распределения.

Решение. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

Случайная величина Х не принимает значений, меньших 0. Следовательно, для ∀ события Х < х невозможные – их вероятности равны нулю, откуда равна нулю и функция F(x) для ∀. Для ∀ функция F(x) равна 0,6. Действительно, если, например, х = 0,5, то F(x) означает вероятность события Х < 0,5. Но случайная величина Х принимает значение меньшее 0,5 в одном случае: значение 0 с вероятностью 0,6.

Покажем, что для ∀ х > 1, F(x) = 0,6 + 0,4 = 1. Пусть, например, х = 4. Тогда F(x) выражает вероятность события Х < 4. Случайная величина Х принимает значения, меньшие 4, в двух случаях: или 0 с вероятностью 0,6, или 1 с вероятностью 0,4. Применяя теорему сложения вероятностей, мы и получим указанное выше значение функций F(x) = 1 при х = 4. Итак,