Теория вероятностей (стр. 15 )

8. Случайная величина Х подчиняется закону арксинуса c плотностью распределения вероятностей

Найти функцию распределения и вычислить mx, Dx, M0, Me.

Ответ: mx = 0, Dx = , M0 не существует, Me = 0.

9. Время ожидания у бензоколонки автозаправочной стан­ции является случайной величиной X, распределенной по показа­тельному закону со средним временем ожидания, равным t0. Найти вероятности следующих событий:

.

Ответ: P(A)=

10. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписа­нию. Интервал движения – 10 мин. Найти вероятность того, что пас­сажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 6 мин.

Ответ: P = Р(4 < Х < 10) = 0,6.

11. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного: а) дифференциальной функцией f(x) = 5;

б) интегральной функцией .

Ответ: а) М(х) = 0,2; (х) = 0,2; б) М(х) = (х) = 2,5.

12. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения F(x) = 0 при х 0; F(x) = l- при х > 0. Найти вероятность того, что в результате трех испытаний Х примет дважды значение, принадлежащее интер­валу (2; 5).

Ответ:.

13. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элемен­тов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего элемента Найти вероятность того, что в интервале времени (0; 5) суток откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.

Ответ: а) р = 0,445; б) р = 0,29; в) p = 0,05.

14. Написать плотность распределения вероятностей нор­мально распределенной случайной величины X, зная, что M(X) = 5, а D(X) = 16.

Ответ: .

15. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15; 25).

Ответ: р = Р(15 < X < 25) = 0,6826.

Если плотность распределения вероятностей случайной величи­ны Х имеет вид:

то для краткости говорят, что случайная величина X распреде­лена по

закону N(m,).

16. Случайная величина Х распределена по закону N (10, 5). Найти

симметричный относительно mx интервал, в который с веро­ятностью р

попадет значение X. Рассмотреть следующие числовые значения:

а) p = 0,9974; б) p = 0,9544; в) p = 0,50.

Ответ. а) (-5; 25); б) (0; 20); в) (6,65; 13,25).

17. В нормально распределенной совокупности 15 % значений x меньше 12 и 40 % значений x больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

Ответ: mx = 15,39, = 3,26.

18. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от номинала не превосходит 10 мк. Случайные отклонения контролируемого размера от номинала подчиняются закону N (0,5).

а) сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

б) сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 среди них оказалось хотя бы одна бракованная деталь?

Ответ: а) 95 %, б) n 65.

19. Браковка шариков для подшипников производится сле­дующим образом: если шарик проходит через отверстие диаметром d2, но не проходит через отверстие диаметра d1 < d2, то шарик счита­ется годным. Если какое-либо из этих условий нарушается, то шарик бракуется. Считается, что диаметр шарика Х – случайная величина, распределенная по закону , где (0 << 0,5) оп­ределяет точность изготовления шариков:

а) определить вероятность того, что шарик будет забракован;

б) какую точность изготовления следует установить (т. е. каким сле­дует выбрать параметр), чтобы брак составлял не более 1 % всей продукции?

Ответ: а) б) .

20. Случайная величина Х распределена по закону N(m, ).

а) вычислить и , где и – точки перегиба кривой плотности распределения вероятностей;

б) пусть – интервал, не содержащий mx. При каком вероят­ность Р() = P(Х) будет наибольшей?

в) вычислить первый абсолютный центральный момент (М(|Х-m|)).

Ответ: а) p1 = 0,1587, p2 = 0,6826; б) .

в)

ВАРИАНТЫ ПРЕДЛАГАЕМОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант № 1

1.  Из 3-х орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из каждого орудия соответственно равна: 0,8; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадет в цель; б) только два снаряда попадут в цель; в) все три снаряда попадут в цель; г) хотя бы один снаряд попадет в цель.

2.  Студент знает 50 из 60 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает два вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.

3.  В каждой из двух урн содержится два черных и восемь белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется белым.

4.  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 70 и не более 80 раз.

5.  При автоматической наводке орудия вероятность попадания по движущейся мишени равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

6.  Наудачу независимо друг от друга выбирают 5 растений ячменя. Вероятность появления растения ячменя с четырьмя стеблями равна 0,2. Какова вероятность, что при этом у двух или трех растений окажется по 4 стебля?

7.  Найти вероятность попадания в заданный интервал (2; 13) нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание m = 10 и среднее квадратическое отклонение s = 4.

8.  Производятся выстрелы из орудия с вероятностью попадания 0,8 при каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше четырех выстрелов. Написать закон распределения дискретной случайной величины X – числа проведенных выстрелов.

9.  Случайная величина X имеет плотность вероятностей:

Определить: а) коэффициент А; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины в интервал (2; 3); г) вероятность того, что при четырех независимых испытаниях величина X ни разу не попадет в интервал (2; 3).

Вариант № 2

1.  Функция распределения непрерывной случайной величины X задана следующим образом:

Найти: а) f(x); б) M(x), D(x), s(x).

2.  Длина детали, изготовленной на станке, есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием 45 см и средним квадратическим отклонением 0,4 см. Найти вероятность того, что две наудачу взятые детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

3.  Две перфораторщицы набили по одинаковому количеству перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05, для второй – 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица.

4.  Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,02?

5.  В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что: а) оба шара белые; б) один белый, а другой черный?

6.  Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы в течение часа для первого станка равна 0,75, для второго – 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа будет нарушение в работе только одного станка?

7.  Школа принимает в первый класс 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажутся 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

8.  В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность того, что случайно выбраны: а) два мальчика; б) две девочки; в) девочка и мальчик?

9.  Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

Вариант № 3

1.  Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины по данному закону ее распределения

хi	1,4	1,8	2,3	3,2
pi	0,3	0,4	0,2	0,1

2.  Вероятность перевыполнения обязательств одним заводом – 0,9, другим – 0,95. Какова вероятность того, что хотя бы один завод перевыполнит план, если они реализуют продукцию независимо друг от друга?

3.  Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

4.  Вероятность выпуска нестандартной электролампы равна 0,1. Чему равна вероятность того, что в партии из 2000 ламп: а) число стандартных будет не менее 1790 штук; б) число нестандартных ламп менее 101 штуки?

5.  Вероятность появления события в каждом из 8 независимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее трех и не более шести раз; б) не менее трех раз; в) не менее двух раз.

6.  В урне имеется 6 белых и 9 черных шаров. Из нее два раза вынимают по три шара, которые в урну не возвращаются. Найти вероятность того, что в первый раз появится 3 белых шара, а во второй раз – 3 черных шара.

7.  Первое орудие трехорудийной батареи пристреляно так, что его вероятность попадания равна 0,2, остальным двум орудиям соответствует вероятность попадания 0,3. Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в результате чего цель поражена. Какова вероятность того, что первое орудие стреляло?

8.  Вычислить вероятность того, что случайная величина Х, заданная нормальным законом распределения, при трех испытаниях хотя бы один раз окажется в интервале (1; 2), если математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ее соответственно равны 1,5 и 1,2.

9.  Случайная величина Х имеет следующую функцию распределения:

Найти: а) плотность вероятностей; б) построить графики F(x) и f(x); в) найти M(x), D(x), s(x); г) вероятность попадания случайной величины Х на отрезок [1; 15].

Вариант № 4

1.  Среди деталей, изготавливаемых рабочим, бывает в среднем 3 % нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 6 деталей 2 детали будут нестандартными. Каково наивероятнейшее число нестандартных деталей в данной выборке из шести изделий, какова его вероятность?

2.  Издательство отправило газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое почтовое отделение равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба отделения получат газеты вовремя; б) оба отделения получат газеты с опозданием; в) только одно отделение получит газеты вовремя; г) хотя бы одно отделение получит газеты вовремя.

3.  Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белых шар. Какова вероятность того, что шар вынут из 1-го ящика?

4.  Многолетними наблюдениями установлено, что в данном районе в сентябре 10 дней бывают дождливыми. Совхоз в течение трёх дней (первых) сентября должен выполнить некоторую работу. Определить вероятность того, что ни один из этих дней не будет дождливым.

5.  Из партии в 25 изделий, среди которых 6 нестандартных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить закон распределения случайной величины Х – числа нестандартных деталей, содержащихся в выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию.

6.  Дана функция плотности f(x) = Ax2e-2x при и 0 при х < 0. Определить А, F(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; ½).

7.  При взвешивании тела получается средний вес m = 2,3 г, среднее квадратическое отклонение веса s = 0,02 г. Какое отклонение веса тела от среднего веса можно гарантировать с вероятностью 0,9?

8.  Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин., равно 2. Найти вероятность того, что за 4 мин. поступит: а) три вызова; б) не менее трёх вызовов; в) менее трех вызовов. Предполагается, что поток вызовов простейший.

9.  Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 120 раз из 144.

Вариант № 5

1.  Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,001. Найти вероятность того, что на базу прибудут ровно три и не более трех негодных изделий.

2.  Функция распределения случайной величины Х имеет вид:

F(x) = A+B×arctg х при -¥ < x < +¥.

Определить постоянные А и В и найти плотность вероятностей. Построить графики обеих функций.

3.  Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели для первого, второго и третьего стрелка соответственно равна: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что а) только один стрелок поразит цель; б) только два стрелка поразят цель; в) все три стрелка поразят цель; г) хотя бы один стрелок поразит цель.

4.  Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая имеет два возможных значения х1 < х2. Математическое ожидание равно 2,2, дисперсия – 0,36 и р1 = 0,9.

5.  В каждой из двух урн содержится 4 черных и 6 белых шаров. Из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в первую урну, после чего из первой урны наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из первой урны, окажется белым.

6.  Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Проведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не больше, чем на 0,04.

7.  На фабриках a, b, c машины производят соответственно 25 %, 35 %, 40 % всех изделий. В их продуктах брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие дефектно?

8.  Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти: а) вероятность того, что при 5400 выстрелах цель будет поражена 3240 раз; б) наиболее вероятное число попаданий в цель при 5400 выстрелах.

9.  Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно m = 2, среднее квадратическое отклонение s = 1. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (4; 7).