Теория вероятностей (стр. 14 )

Можно доказать, что для распределения (5.18)

и, следовательно, для распределения (5.19)

М(Х) = n, D(X) = 2n,

5.5. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет ис­ключи-тельно важную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся в практической деятельности человека закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный за­кон среди других законов, состоит в том, что он является предель­ным законом, к которому приближаются другие законы распределе­ния при весьма часто встречающихся типичных условиях. Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зави­симых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких огра­ничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это вы­полняется тем точнее, чем большее число случайных величин сум­мируется.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятностей вида:

. (5.20)

График плотности распределения f(x) изображен на рис. 17.

Выясним смысл числовых параметров m и входящих в (5.20), используя интеграл Эйлера-Пауссона:

.

f(x)

0 m x

Рис. 17.

Покажем, что параметр m является математическим ожиданием, а параметр – средним квадратическим отклонением нормально рас­пре-деленной случайной величины X. Действительно,

Применяя замену переменной , имеем:

Первый из полученных интегралов равен нулю (интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку), а второй равен (интеграл Эйлера-Пуассона). Вычислим дисперсию величины X:

И вновь применив замену переменной , имеем:

.

Интегрируя по частям, получим:

,

откуда .

Итак, мы показали, что математическое ожидание случайной величины, подчиненной закону (5.20), равно m, а среднее квадратическое отклонение равно .

Выведем формулы для центральных моментов любого порядка.

По определению,

.

Используя замену переменной , получим:

.

Применяя к полученному интегралу формулу интегрирования по частям, будем иметь:

=

так как первый член внутри скобок равен нулю.

Выражение, полученное для , можно переписать следующим образом:

Итак, .

Эта формула является рекуррентным соотношением, позволяющим выражать центральные моменты высших порядков через момен­ты низших порядков. Пользуясь этой формулой и учитывая, что = 1, а = 0, вычислим центральные моменты любых порядков.

Из рекуррентного соотношения следует, что все центральные моменты нечетного порядка нормального распределения равны ну­лю.

Для четных k, вытекают следующие выражения для последовательности моментов: , , и т. д.

Общая формула для моментов k = 2m-гo порядка при любом на­туральном m имеет вид:

, где (2m – 1)!! = 1×3×5 ... (2m – 1).

Так как для нормального распределения = 0, то его асимметрия также равна нулю.

Из выражения четвертого момента и определения эксцесса сле­дует, что Еx = 0.

Вычислим вероятность попадания случайной величины X, имеющей нормальное распределение, на заданный интервал;

Для определения искомой вероятности, применим формулу (5.5) Из неё с учетом формулы (5.20) следует:

Преобразуем этот интеграл так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Для этого введем новую переменную . Отсюда х = t + m, dx = dt. Найдем пределы интегрирования по новой переменной. Если х = , то ; если х =, то.

Таким образом, имеем:

= Пользуясь функцией Лапласа

,

окончательно получим:

.

B частности, при, , и , с учетом эквивалентности неравенств, имеем:

=

Так как Ф(x) = -Ф(-x), то

. (5.22)

Пример 1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия этой величины соот­ветственно равны 10 и 25. Найти вероятность того, что величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (15; 25).

Решение. Воспользовавшись формулой (5.21) и тем, что по ус­ловию =15, = 20, m = 10, == 5 получим:

Р(15 < x < 29 ) =

= = Ф(2) – Ф(1) ≈ 0,4772 – 0,3413 ≈ 0,136.

Пример 2. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и среднюю квадратическую ошибку 75 м. Какова вероят­ность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной ве­личине 5 м?

Решение. Обозначим через Х ошибку измерения. Ее системати­ческая ошибка (математическое ожидание), по условию задачи, равна 5 м. По формуле (5.22), при m = 5, = 75 и = 5, имеем Р(| Х – 5|) < 5 = 2Ф() = 2Ф(0,0(6)). Так как Ф(0,06) 0,0239 а Ф(0,07) 0,0275, то, согласно методу линейной интерполяции, Ф(0,0(6)) 0,0266 и Р(|Х – 5| < 5) 0,053.

Пример 3. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднюю квадратическую ошибку взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда – 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда – 2,5 г.

Решение. Пусть случайная величина Х – истинный вес заряда. По условию задачи mx = 2,3 г, = 0,15 г, = 2,5 г – 2,3 г = 0,2 г. Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой х = m, то площади, ограниченные сверху нормальной кривой, а снизу – интервалами (m – ;) и (m; m + ), равны между собой. По той же причине равны площади, ограниченные нормальной кривой и интервалами (–; m –) и (m +;).

Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания в соответствующий интервал, то Р(m < Х < m + ) = (m –< Х < m), а

Р(– < Х < m –) = Р(m + < Х <).

Так как Р(m –) < Х < m) + Р(m < Х < m + ) = Р(|Х – m |< ) = 2Ф(/), то Р(m < Х < m + ) = Ф(/). Р(Х > m + ) = 0,5 – P(m < X < m + ),

или Р(Х – m > ) = 0,5 – Р(0 < Х – m < ) = 0,5 – Ф(/).

Найдем искомую вероятность:

Р(Х > 2,5) = Р(Х – 2,3 > 0,2) = 0,5 – Ф(0,2/0,15) = 0,5 – Ф(1, (3)) 0,5 – 0,4088 0,091.

Пример 4. Изделие считается высшего качества, если отклоне­ние его размеров от номинала не превосходит по абсолютной вели­чине 3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняется нормальному закону со средним квадратическим от­клонением, равным 3мм, а систематические отклонения отсутству­ют. Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготов­лены четыре изделия

Решение. Пусть Х – отклонение размера изделия от номинала. Вероятность того, что изготовленное изделие окажется высшего сорта, вычислим по формуле (5.22) при m = 0, = 3,45 мм, = 3 мм. Итак,

P = P(|X| < 3,45) = 2Ф(3,45/3) = 2Ф(1,15) = 2×0,3749 = 0,7498.

Произведение 0,7498×4 = 2,99823 дает среднее число изделий высшего сорта из 4 изготовленных изделий.

Ответ: 3 изделия.

5.6. Задачи

1. Случайная величина Х задана функцией распределения вероятностей

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытании величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

Ответ: P(3) = 0,25.

2. Случайная величина Х задана на всей оси абсцисс интеграль­ной функцией:

Найти возможное значение x1, удовлетворяющее условию: с вероят-

ностью 1/6 случайная величина Х в результате испытания при­мет значение, большее x1.

Ответ: x1 = 2.

3.  Непрерывная случайная величина Х на всем множестве действительных чисел задана дифференциальной функцией:

.

Найти вероятность того, что в четырех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (-2; 2).

Ответ: Р = 3/8.

4.  Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

Ответ:

5. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(x) = C(x2 – 2x) в интервале [0; 2]; вне этого интервала f(x) = 0.

Найти: а) параметр С; б) математическое ожидание; в) моду и медиану.

Ответ: а) C = –3/4; б) М(х) = М0 = Мe = 1.

6. Известно, что при стрельбе по плоской мишени в неизменных условиях случайная величина X – расстояние от точки попадания до центра мишени – подчиняется закону распределения Релея с плотностью распределения вероятностей

где а > 0 – параметр, характеризующий распределение.

Построить эскиз графика плотности вероятностей f(x), проверить условие нор­мировки, вычислить характеристики mx, , M0, Me, Ax и на эскизе графика выяснить взаимное расположение характеристик Мx, M0, Me.

Ответ: mx = a, M0 = a, Me = .

7. Скорость V молекул идеального газа, находящегося в равновесии при фиксированной температуре, является случайной ве­личиной, подчиняющейся закону распределения Максвелла с плот­ностью распределения вероятностей

где параметр распределения определяется температурой и мас­сой молекул. Выразить среднее значение и наиболее вероятное зна­чение скорости молекул, а также дисперсию распределения через физический параметр .

Ответ: mv =, М0 =, Dv =.