Теория вероятностей (стр. 6 )

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что корабль погибнет. До начала атаки возможны гипотезы Нk – в корабль попало k торпед (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5). Вероятности гипотез Р(Нk)определим по формуле Бернулли (3.1).

,

,

,

,

,

.

Условие нормировки выполнено. По условию задачи .

В случае попадания двух торпед в корабль, он не будет затоплен, если обе торпеды попадут в один и тот же отсек, но так как отсеков пять, то Поэтому .

Аналогично,

.

По формуле полной вероятности

.

Пример 3. Сколько нужно провести опытов для того, чтобы с вероятностью не меньшей Р можно было утверждать, что событие А произойдет по крайней мере один раз, если вероятность появления события А в каждом опыте равна р?

Решение. Вероятность Рn(1, n) появления события А хотя бы один раз в n опытах по формуле (3.3) равна: где q = 1 – p. Так как по условию задачи Pn(1, n) ³ Р, то 1 – (1 - р)n ³ Р. Откуда (1 – р)n £ 1 - Р. Логарифмируя это равенство и учитывая, что ln (1 - p) < 0 получим:

(3.5)

3.2. Отрицательное биномиальное и полиномиальное

распределения

Биномиальные коэффициенты определены для целых положительных n и m. Расширим это определение. Так как m обозначает число сомножителей (число элементов в группе), то оно должно быть целым. Однако выражение n(n – 1)(n – 2) … (n – m + 1) определено при любых действительных n, при единственном предположении, что m – целое положительное число. При m > n и при m < 0 положим , а при m = 0 и 0! = 1. Тогда, заменив n на x, получим формулу:

, (3.6)

которая определяет биномиальные коэффициенты при любых х и любых целых положительных m. Легко убедиться в том, что при таком определении имеем, например,

.

Покажем, что для любого х > 0 имеет место формула:

(3.7)

Действительно, по определению,

.

Рассмотрим последовательность n испытаний Бернулли с вероятностью успеха (появления события А) р. Нас будет интересовать вопрос о том, сколько испытаний предшествует m-му успеху. Здесь m – фиксированное положительное число. Пусть m-й успех осуществится при n-м испытании. Так как n ³ m, то удобно писать n = k + m. Вероятность того, что m-й успех осуществляется при (k + m)-м испытании (k = 0, 1, 2, …) будет обозначаться Р(k, m, p). Эта вероятность равна вероятности того, что m-му успеху предшествует ровно k-неудач (событие А не появится). Это событие осуществится тогда и только тогда, когда среди m + k – 1 испытаний ровно k привели к неудаче, а следующее (m + k)-е испытание привело к успеху, поэтому соответствующие вероятности равны:

, так что

(3.8)

Переписывая биномиальные коэффициенты в соответствии с формулой (3.7), получим эквивалентную форму записи:

(3.9)

Заметим, что вероятности, определяемые по формуле (3.9), удовлетворяют условию нормировки . Действительно, по формуле бинома Ньютона,

.

Для произвольного, но фиксированного числа m > 0 и 0 < p < 1 последовательность {P(k, m, p)} определяет отрицательное биномиальное распределение.

Пример 1. Задача Банаха о спичечных коробках. Некий математик всегда носит с собой две коробки спичек; каждый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Неизбежно наступит момент, когда впервые одна из коробок окажется пустой. Найти вероятность того, что вторая коробка содержит m спичек (m = 1, 2,…, N), если первая коробка оказалась пустой.

Решение. Занумеруем спичечные коробки. Пусть событие А1 состоит в том, что впервые первая коробка оказалась пустой, а событие А2 – вторая коробка впервые оказалась пустой. Из соображений симметрии следует, что Р(А1) = Р(А2). Обозначим через А – событие, состоящее в том, что одна из двух коробок окажется пустой. Очевидно, А=А1+А2 и Р(А) = 2Р(А1). Если первая коробка оказалась пустой, а вторая содержит m спичек, то это означает, что спички брались всего (2N – m) раз, причем N раз из первой коробки и последний раз спичка бралась из этой же коробки, и поэтому по формуле (3.8) имеем:

.

Биномиальное распределение можно легко обобщить на случай n повторных независимых испытаний, каждое из которых может иметь несколько исходов. Обозначим возможные исходы любого испытания через А1, А2,…, Аm соответственно и допустим, что вероятность осуществления исхода Аi в каждом испытании равна рi (i = 1, …, m).

При m = 2 получаем испытание Бернулли; в общем случае – единственное условие, которому числа рi должны удовлетворять.

Вероятность того, что в n испытаниях исход А1 появится k1 раз, исход А2 появится k2 раз и т. д., равна:

(3.10)

где ki – произвольные неотрицательные целые числа, подчиненные условию k1 + k2 +…+ km = n. При m = 2 формула (3.10) сводится к биномиальному распределению с p1 = p, p2 = q, k1 = m, k2 = n – m. Доказательство формулы (3.10) производится так же, как и формулы (3.1). Формула (3.10) задает так называемое полиномиальное распределение; это название объясняется тем, что выражение (3.10) является общим членом разложения многочлена (р1 + р2 +…+рm)n.

Пример 2. В урне имеется три шара: черный, красный и белый. Из урны по одному шары извлекались 5 раз, причем после каждого извлечения шар возвращался обратно. Определить вероятность того, что черный и белый шары извлечены не менее чем по два раза каждый.

Решение. Пусть события А1, А2, А3 – извлечения соответственно черного, красного и белого шара из урны. Очевидно, р1 = Р(А1) = , р2 = Р(А2) = , р3 = Р(А3) = . Всего производится n = 5 испытаний и определяется вероятность р того, что события А1 и А3 произойдут не менее чем по два раза, то есть или k1 = k3 = 2, тогда k2 = 1, или k1 = 3, k2 = 0, k3 = 2, или k1 = 2, k2 = 0, k3 = 3. Поэтому искомая вероятность

.

Пример 3. Два равносильных шахматиста играют матч из 12 партий. В каждой партии возможны три исхода: А1 – выиграл первый игрок (проиграл второй), А2 – выиграл второй игрок (проиграл первый), А3 – ничья. Пусть р1 = Р(А1) = 0,2; р2 = Р(А2) = 0,2; р3 = Р(А3) = 1 – р1 – р2 = 0,6. Найти вероятности следующих событий: А – {первый игрок выиграл 3 партии, проиграл 3 партии и остальные свел вничью}, B – {один из игроков выиграл 4 партии и проиграл 3 партии}, С – {сыграно 6 результативных партий}.

Решение. Событие А соответствует полиномиальной схеме при n = 12, m = 3, k1 = 3, k2 = 3, k3 = 6, p1 = p2 = 0,2; p3 = 0,6, поэтому

Событие В соответствует комбинированной полиномиальной схеме, в которой выигрывает 4 партии и проигрывает 3 партии первый игрок или выигрывает 4 партии и проигрывает 3 партии второй игрок, поэтому Р(В) = Р12(4, 3, 5) + Р12(3, 4, 5) =

Событие С также соответствует комбинированной полиномиальной схеме:

Р(С) = Р12(6, 0, 6) + Р12(5, 1, 6) + Р12(4, 2, 6) + Р12(3, 3, 6) + Р12(2, 4, 6)+

+ Р12(1, 5, 6) + Р12(0, 6, 6) = 2Р12(6, 0, 6) + 2Р12(5, 1, 6) + 2Р12(4, 2, 6) + Р12(3, 3, 6) =

3.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Выше мы вывели теорему Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно m раз. Если n велико, то вычисление вероятностей по формуле Бернулли представляет значительные трудности, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Поэтому возникает необходимость в асимптотических формулах, позволяющих с достаточной степенью точности определить эти вероятности. В 1730 г. для частного случая схемы Бернулли при p = q = асимптотическая формула была получена Муавром, а затем обобщена Лапласом на случай произвольного р, отличного от 0 и 1. Эта формула получила название локальной теоремы Муавра-Лапласа.

Прежде чем формулировать теорему, обозначим и будем считать, что х содержится в произвольных конечных пределах.

Локальная теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна

, где , а .

Доказательство. Приведенное ниже доказательство опирается на известную из курса математического анализа формулу Стирлинга . В этой формуле показатель qn удовлетворяет неравенству и, поэтому, . Следовательно, для больших n имеет место приближенное равенство . Так как, по условию, и х ограничена, то, очевидно, при n ® , равномерно относительно х. Используя формулу Стирлинга, получаем, что

.

и . Используя разложение , если an ® 0, получаем, что

;

.

Складывая эти равенства, получим:

и, следовательно,

.

Откуда .

Далее,

По условию величина х ограничена, тогда второй множитель правой части этого равенства при n ® стремится к единице и поэтому

.

В итоге получаем, что , где , то

есть , где , а

(3.11)

Равенства (3.11) и доказывают нашу теорему. При больших n она дает достаточно точные значения вероятностей Pn(m), причем с ростом n их относительная точность возрастает. В этом и заключается содержание локальной теоремы Муавра-Лапласа.

Для упрощения расчетов, связанных с применением функции , пользуются таблицей значений этой функции (см. приложение 1).

Функция j(х) является четной, т. е. значения ее не изменяются при замене х на –х: j(х) = j(-х). По этой причине в таблице приведены значения ее лишь для положительных значений аргумента. Функция j(х) при значениях x > 0 является монотонно убывающей, а при х ® ¥ ее предел равен нулю. Поэтому для значений x > 5 можно считать j(х) » 0, так как j(5) = 0,0000015.

Пример 1. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 новорожденных будет 95 девочек.

Решение. Поскольку необходимо найти вероятность того, что из 200 новорожденных будет 95 девочек, то в формулах (3.11) р должно означать вероятность рождения девочки, которая равна р = 1 – 0,515 = 0,485. Вычислим выражение при n = 200, p = 0,485 и q = 0,515:

.

Значение х, соответствующее m = 95, равно:

.

Искомая вероятность Р200(95) будет равна:

.

По таблице находим, что j(0,283) = 0,3833 (на тысячные доли значения аргумента сделана поправка). Поэтому окончательно имеем:

.

Формулы (3.11) позволяют приближенно вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие будет наблюдаться ровно m раз. Но в задачах часто требуется определять вероятность того, что интересующее нас событие наступит число раз, заключенное в некоторых пределах. Например, можно поставить вопрос о вероятности того, что среди 2000 новорожденных будет от 600 до 800 мальчиков, то есть или 600, или 601, или 602 и т. д. до 800 включительно. По теореме сложения вероятностей событий искомая вероятность Р2000(600, 800) = Р2000(600) + Р2000(601) + Р2000(602) +…+ Р2000(800). Каждое из этих слагаемых нетрудно найти по формуле Муавра-Лапласа (3.11). Но вычисление их в количестве 201, а затем сложение, конечно, весьма утомительно. Аналогичные трудности появляются при решении задач такого типа. Поэтому возникает необходимость получения формулы, позволяющей с достаточной степенью точности для практики без затруднений вычислять аналогичные суммы.

Поставленная задача получает решение в интегральной теореме Муавра-Лапласа: если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится не менее m1 раз и не более m2 раз, приближенно равна: