Теория вероятностей (стр. 1 )

,

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Часть I

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

,

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Часть I

Учебное пособие

Волгоград

2009

УДК 519.2(075.8)

З 36

Рецензенты: коллектив кафедры математики и информатики Камышинского филиала НОУ ВПО «Волгоградский институт бизнеса»; директор Камышинского филиала СГА

Засульский, вероятностей: учеб. пособие. Часть I / , ; ВолгГТУ, Волгоград, 2009. – 124 с.

ISBN 0286-1

Излагаются следующие разделы теории вероятностей: случайные события, случайные величины, числовые характеристики, законы распределения случайных величин.

Содержатся задачи для аудиторных и домашних занятий, снабжённые ответами. В конце учебного пособия имеются таблицы для вероятностных расчетов. Для контроля качества знаний приведены восемь вариантов контрольных заданий.

Предназначено для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

Ил. 17. Табл. 7. Библиогр.: 12 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

ISBN 0286-1 Ó Волгоградский

государственный

технический

университет, 2009

ВВЕДЕНИЕ

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях при массовом их повторении.

Под случайным будем понимать такое явление, которое при многократном воспроизведении одного и того же опыта протекает всякий раз несколько по-иному.

Человек в своей практической деятельности на каждом шагу встречается со случайными явлениями. Не существует в природе явлений без них протекающих. Простейшим примером случайных явлений служат ошибки измерений. Взвешивая одно и то же тело на аналитических весах несколько раз, мы всякий раз получаем близкие, но различные результаты. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких как: положение тела на чаше весов, случайные вибрации аппарата, ошибки отсчета измерений и т. д.

Вторым примером случайных явлений может служить рассеивание снарядов. Пользуясь методами внешней баллистики (науки о движении снаряда в воздухе), можно вычислить теоретическую траекторию снаряда. Эта траектория является функцией начальной скорости u0, угла бросания Q0 и баллистического коэффициента С. Фактически снаряды никогда не ложатся в одну и ту же расчетную точку. Дело в том, что траектория каждого снаряда за счет влияния многих неучтенных факторов несколько отличается от теоретической. К таким факторам можно причислить ошибки изготовления снаряда, отклонение веса снаряда от номинала, неоднородность структуры заряда, ошибки установления ствола орудия в заданном направлении, метеорологические условия (параметры состояния атмосферы во всех точках траектории) и т. д.

Рассмотрим третий пример. Некоторое техническое устройство решает определенную задачу в условиях, когда на систему непрерывно воздействуют помехи. Наличие помех приводит к тому, что устройство решает задачу с некоторой ошибкой, в ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки и какие меры следует принять, чтобы их исключить?

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно исследовать природу и структуру случайных возмущений, изучить реакцию устройства на эти возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров устройства на вид реакции.

Эти и подобные задачи, число которых чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных, главных факторов, определяющих явление в общих чертах (идеальный процесс), но и анализа второстепенных факторов, число которых огромно.

С теоретической точки зрения, те факторы, которые мы назвали второстепенными, в принципе, ничем не отличаются от основных. Можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая всякий раз все новые и новые группы факторов: от самых существенных до самых ничтожных. Однако такая попытка привела бы к тому, что решение задачи в силу непомерной громоздкости и сложности оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имело никакой ценности.

К примеру, теоретически можно было бы поставить и решить задачу об определении траектории вполне определенного снаряда с учетом всех погрешностей его изготовления при точно определенных метеорологических данных (температура, давление, влажность, скорость ветра) в каждой точке траектории. Такое решение было бы весьма сложным и к тому же не имело бы никакой практической ценности, так как оно относилось бы к конкретному снаряду и заряду в данных конкретных условиях, которые практически больше не повторятся.

Очевидно, должно существовать принципиальное различие в методах учета основных, решающих факторов, определяющих в главных чертах изучаемое явление, и второстепенных факторов, влияющих на явление в качестве «погрешностей» или «возмущений». Элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, требует создания специальных методов для изучения этих явлений.

Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности случайных явлений.

Методы теории вероятностей, называемые вероятностными или статистическими, дают возможность производить расчеты, позволяющие делать практические выводы относительно случайных явлений. Как и всякая прикладная наука, теория вероятностей нуждается в исходных экспериментальных данных для расчетов. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется математической статистикой.

Теория вероятностей является мощным инструментом исследования и поэтому она находит большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и инженерной практики.

В прошлом веке теория вероятностей использовалась в теории измерений, в теории стрельбы и физике. В этом веке она постепенно проникла в аэродинамику, радиотехнику, теорию управления, динамику полета, теорию связи, строительную механику, теорию машин и механизмов, теорию волнения моря и качки кораблей, метеорологию и т. д.

Вся теория современных сложных систем и процессов управления основана на применении статистических методов.

Краткие исторические сведения

Возникновение теории вероятностей в современном смысле относится к середине XVII в. и связано с исследованиями Паскаля (1623–1662), Ферма (1601–1665), Гюйгенса (1629–1695) в области теории азартных игр.

Нужно отметить, что теория вероятностей как математическая наука становилась и развивалась не на базе практических задач, так как они слишком сложны; законы, управляющие этими случайными явлениями, выступают недостаточно отчетливо. Нужен был более простой материал. Таким материалом исторически оказались азартные игры. Схемы азартных игр дают исключительные по своей простоте и прозрачности модели случайных явлений, позволяющие в отчетливой форме наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы. Возможность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает проверку этих законов в условиях действительной массовости.

В это время постепенно сформировались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их свойства и способы вычисления.

С именем Якова Бернулли (1654–1705) связано первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – закона больших чисел.

Следующий важный шаг в развитии теории вероятностей связан с именем Муавра (1667–1754), который ввел в рассмотрение и обосновал для простейшего случая очень важный, часто наблюдаемый в случайных явлениях, так называемый, нормальный закон. Этот закон играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят общее название Центральной предельной теоремы.

Особенно значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли Лаплас (1749–1827), Гаусс (1777–1855), Пуассон (1781–1840). Для всего XVIII в. и начала XIX в. характерно бурное развитие теории вероятностей.

С половины XIX столетия и до двадцатых годов XX в. развитие теории вероятностей связано исключительно с именами русских ученых. В это время в России создается та знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей (и не только она) была поставлена на прочную логическую и математическую основу, что позволило ей стать надежным, точным и эффективным методом познания.

Среди ученых Петербургской математической школы следует назвать (1804–1889), (1821–1894), (1856–1922), (1857–1918).

Характерной особенностью работ Петербургской математической школы была исключительная четкость постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и, наряду с этим, тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Дальнейшее развитие теории вероятностей и ее приложений обязано , , .

За рубежом также усиленными темпами идет развитие теории вероятностей. Вопросы, относящиеся к случайным процессам, как и у нас, пользуются особым вниманием.

Значительные работы в этой области принадлежат Н. Винеру, В. Феллеру, Д. Дубу.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Событие. Виды случайных событий

Всякая наука, развивающая теорию какого-нибудь круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется.

В геометрии, к примеру, таковыми являются понятия точки, прямой, плоскости; в механике – силы, массы. В теории вероятностей таким понятием является событие.

Под событием в теории вероятностей понимают результат любого опыта или наблюдения. События обозначаются большими начальными буквами латинского алфавита – А, В, С, …:

А – появление герба при бросании монеты;

В – появление двух гербов при двукратном бросании монеты;

С – попадание в цель при выстреле и т. д.

Рассматривая вышеперечисленные события, замечаем, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности появления: одни более возможны, другие менее возможны. Например, сразу видно, что событие А более возможно, чем событие В. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать число, которое должно быть тем больше, чем более возможно событие. Это число и называют вероятностью события. Итак, вероятность события – это численная мера степени возможности появления этого события. Р(А) – символическое обозначение вероятности события А.

Два или несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного события исключает возможность появления других.

Примеры:

1)  попадание и промах при одном выстреле;

2)  извлечение шестерки, валета, короля из колоды;

3)  ровно два, ровно три студента отсутствуют на лекции.

События в данном опыте называются равновозможными, если возможность появления одинакова у каждого из них.

Примеры:

1)  появление герба и цифры при бросании монеты;

2)  появление шара с номером 3, 5, 7 при извлечении одного шара из урны, содержащей 15 пронумерованных шаров.

Два или несколько событий образуют полную группу событий в данном опыте, если одно из событий должно непременно появиться.

Примеры:

1)  выигрыш, проигрыш, ничья при игре футбольной команды;

2)  появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 при бросании игральной кости.

Событие называют достоверным, если оно непременно произойдет в результате опыта. Событие взятия стандартной детали из партии, в которой все детали стандартны, является достоверным.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти при выполнении определенного комплекса условий.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Например, попадание и промах при одном выстреле – противоположные события. Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие принято обозначать .

1.2 . Классическое определение вероятности события.

Элементы комбинаторного анализа

Существуют группы событий, обладающие следующими свойствами: события несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Такие события называют случаями или элементарными (неразложимыми) событиями. Если результат какого-либо опыта можно мысленно представить в виде элементарных событий, то про такой опыт говорят, что он сводится к «схеме урн», а вся совокупность элементарных событий называется полем событий.

Случай называется благоприятствующим событию А, если появление этого случая влечет за собой и появление события А. Так, например, при бросании двух игральных костей возможны 36 случаев: (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), … , (6; 1), (6; 2), … , (6; 6) и только 4 случая: (1; 4), (4; 1), (2; 3) и (3; 2) благоприятствуют событию А – сумма выпавших очков равна 5.

Определение. Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию А, к общему числу всевозможных, несовместимых и равновозможных случаев.

Таким образом,

, (1.1)

где m – число случаев, благоприятствующих событию А; n – число всевозможных, равновозможных и несовместных случаев.

Таким образом, формула (1.1) позволяет вычислить вероятность события до опыта и полученное таким образом число выражает меру объективной возможности наступления события. Так как число благоприятствующих случаев всегда заключено между 0 и n (0 – для невозможного, а n – для достоверного события), то вероятность события, вычисленная по формуле (1.1), всегда есть правильная рациональная дробь.

Формула (1.1) называется классической формулой вычисления вероятностей.

Пример 1. В урне находится 3 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение. Обозначим через А событие появления черного шара. Общее число случав n = 10; число случаев, благоприятствующих событию А, m = 7. Следовательно,

При подсчете вероятностей большую помощь оказывают формулы комбинаторики.

Комбинации элементов, выбираемых из различных групп

Пусть имеется k различных групп, состоящих из каких-либо элементов. Первая группа содержит n1 элементов: а1, а2, ... , аn1; вторая группа содержит n2 элементов: b1, b2, … , bn2; последняя k-я группа содержит nk элементов: с1, с2, ..., сnk. Составим всевозможные комбинации из k элементов, принадлежащих различным группам, так что во всякую комбинацию входит только по одному элементу из каждой группы. Эти комбинации имеют вид: (a, b, … , c). Комбинации (a, b, … ,c) и () считаются различными, если имеется хотя бы одна пара различных между собой элементов . Число таких комбинаций равно:

n = n1 n2 …nk. (1.2)

Докажем это. При k = 1 оно очевидно.

При k = 2 покажем на оси абсцисс точками элементы одной группы, а на оси ординат – элементы второй группы. Тогда всевозможные пары (a, b) изображаются точками прямоугольной «решетки» на плоскости и очевидно, что число таких пар n = n1 n2. Далее воспользуемся методом математической индукции.

Пусть формула (1.2) верна, когда число групп равно (k - 1). Покажем, что она имеет место для k групп. По предположению формула верна для (k - 1) групп, и поэтому число новых элементов равно произведению n1 n2 … nk-1. Таким образом, мы свели случай (k - 1)-ой группы к случаю двух групп: в первой новой группе содержится n1 n2 … nk-1 элементов, а во второй группе содержится nk элементов. Но мы показали, что формула (1.2) верна для двух групп, следовательно, общее число различных комбинаций вида (a, b, … , c) равно (n1, n2, …nk-1)×nk, что и требовалось доказать. Формула (1.2) называется прямым произведением множеств.

Размещение k шаров по n ящикам

Пусть имеется k шаров и n ящиков. Задача состоит в выборе ящика для каждого шара. Если имеется k шаров, то для каждого ящика возможно k независимых исходов эксперимента, поэтому k шаров можно разместить по n ящикам nk различными способами.

Многие мыслимые эксперименты, внешне различные, но по существу эквивалентные абстрактной схеме размещения k шаров по n ящикам:

а) дни рождения (распределение дней рождения k человек соответствует размещению k шаров по n = 365 ящикам);

б) несчастные случаи (классификация k несчастных случаев по дням недели, в которые они происходят, эквивалентна распределению k шаров по n = 7 ящикам);

в) при стрельбе по n мишеням пули соответствуют шарам, мишени – ящикам;

г) игра в кости (возможному исходу эксперимента, состоящему в бросании k костей, соответствует размещение k шаров по n = 6 ящикам):

д) лифт отправляется с k пассажирами и останавливается на n этажах (распределение пассажиров по группам в зависимости от этажа, на котором они выйдут, соответствует размещению k шаров по n ящикам);

е) случайные цифры (каждой последовательности k случайных цифр отвечает размещение k шаров по n = 10 ящикам с номерами 0, 1, 2, …, 9).

Число подобных примеров можно расширить.

Выборки. Число размещений. Перестановки

Пусть имеется некоторая совокупность n различных предметов (элементов) а1, а2, …, аn.

Из этой совокупности выбирается k предметов таким образом, что каждый выбранный предмет фиксируется и возвращается обратно. Результатом такого выбора является комбинация вида Комбинации и считаются различными, если на каком-либо шаге были выбраны различные предметы, то есть , хотя бы при одном m. Число таких комбинаций N равно:

N = nk . (1.3)

Действительно, можно представить, что имеется k одинаковых групп по n элементов и на m-м шаге выбора выбирается элемент из m-й группы. Тогда формула (1.2) дает следующее выражение для N различных комбинаций: N = n×n…n = nk, так как n1 = n2 = …= nk = n.