Теория вероятностей (стр. 12 )

График функции распределения представлен на рис. 10 (функция F(x) непрерывна слева).

F(x)

1

0,6

0 1 x

Рис. 10.

Пример 2. В условиях примера 1 производится 5 независимых опытов. Построить функцию распределения случайной величины Х – числа появлений события А.

Решение. Используя формулу Бернулли, составим ряд распределения случайной величины Х:

Построим график функции распределения F(x):

График функции F(x) представлен на рис. 11.

F(x)

1

0,989

0,912

0,682

0,336

0,077

x

Рис. 11.

На этих примерах мы убеждаемся в том, что по известному ряду распределения случайной величины Х, можно легко построить функцию распределения этой величины.

Действительно,

,

где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше х.

Функция распределения любой дискретной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений, причем сумма всех скачков функции F(x) равна единице.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всем множестве действительных чисел, а производная функции распределения непрерывна во всех точках, за исключением, может быть, конечного числа точек на любом конечном интервале.

Рассмотрим общие свойства функции F(x).

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1].

Доказательство. Это свойство вытекает из определения функций распределения как вероятности: вероятность всегда есть число, которое не меньше нуля, но не больше единицы.

Свойство 2. Функция F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. если .

Доказательство. Пусть . Событие, состоящее в том, что Х принимает значение, меньшее , можно разделить на следующих два несовместных события: 1) Х принимает значение, меньшее , с вероятностью 2) Х принимает значение, удовлетворяющее двойному неравенству с вероятностью

По теореме сложения имеем:

Отсюда:

или

Так как то или что и требовалось доказать.

Свойство 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в полуинтервале [a; b), равна приращению функций распределения на этом полуинтервале:

(5.2)

Это очень важное свойство вытекает из свойства 2, если положить и .

Свойство 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положим в формуле (5.2) имеем:

Переходя к пределу при и учитывая непрерывность функции F(x), получим: Исходя из этого легко убедиться в справедливости равенств:

Свойство 5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то F(x) = 0, если и F(x) = 1, если x > b.

Действительно, пусть , тогда событие X < x невозможно (так как значений меньших х величина Х по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю. Пусть x > b. Тогда событие X < x достоверно (так как все возможные значения величины Х < х) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Для всякой непрерывной случайной величины Х имеют место следующие предельные соотношения:

, (5.3)

Доказанные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины (рис. 12.).

F(x)

1

0 x

Рис. 12.

Пример 3. Минутная стрелка электрических часов продвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают 12 часов. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти ее функцию распределения, считая, что время течет равномерно.

Решение. Для общности предположим, что часы показывают Т минут. Очевидно, что функция распределения истинного времени равна 0 для всех и 1 для Так как время течет равномерно, то вероятность того, что истинное время меньше Т + 0,5 мин., равна 0,5, так как одинаково вероятно, прошло ли Т мин., менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время меньше Т + 0,75 мин., равна 0,75 (вероятность этого втрое больше вероятности того, что истинное время больше Т + 0,75 мин., как сумма вероятностей противоположных событий). Аналогично рассуждая, мы придем к тому, что вероятность истинному времени х быть меньше х + Т равна х. Следовательно, функция распределения истинного времени имеет следующее выражение:

5.2.  Плотность вероятности и ее свойства

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения F(x), которую мы будем считать дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от х до :

Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т. е. сред-

нюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и

перейдем к пределу при :

Введем обозначение:

.

Функция f(x) – производная функции распределения – характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения или плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х.

Определение. Плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины называется производная от ее функции распределения F(x), т. е.

. (5.4)

Иногда функцию f(x) называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

Плотность распределения так же, как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Выразим вероятность попадания случайной величины Х на отрезок от до через плотность распределения (рис. 13).

f(x)

 

0 x

Рис. 13.

По формуле (5.2) с учетом свойства 4 функции распределения имеем:

Но по формуле Ньютона-Лейбница

Таким образом, была доказана теорема: вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-нибудь значение из отрезка , равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от до :

(5.5)

Зная дифференциальную функцию f(x), можно найти и интегральную функцию F(x) по формуле:

(5.6)

Действительно, Полагая в формуле (5.5) будем иметь:

Наконец, заменив через F(x), получим окончательно:

Укажем основные свойства плотности вероятности.

1. Плотность вероятности есть неотрицательная функция: так как F(x) является неубывающей функцией.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен 1:

. (5.7)

Это следует из формулы (5.6) и из того, что

Геометрически основные свойства плотности вероятности означают следующее:

1)  вся кривая f(x) лежит не ниже оси абсцисс;

2)  площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком f(x) и осью абсцисс, равна единице.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением:

Найти: 1) коэффициент а; 2) плотность вероятности f(x); 3) вероятность попадания случайной величины Х на участок от 0,5 до 1,5.

Решение.

1. Так как функция F(x) непрерывна, то при х = 2, ах3 = 1, откуда.

2. Плотность вероятности выразится, согласно определениию, формулой:

3.  По формуле (5.2) имеем:

Пример 2. Плотность вероятности случайной величины Х задана в виде: Найти: 1) коэффициент А; 2) вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение, большее 0, но меньшее 5; 3) функцию распределения случайной величины Х.

Решение.

Условие (5.7) приводит к равенству:

Но

Следовательно, , откуда Итак,

2. По формуле (5.5) с учетом того, что вероятность любого отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю, имеем:

3.  Применяя формулу (5.6) при получим функцию распределения данной случайной величины:

5.3.  Числовые характеристики

Непрерывные случайные величины, так же как и случайные величины дискретного типа, помимо законов распределения (функция распределения, плотность вероятности), могут описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана – и характеристики рассеивания: дисперсия, среднее квадратическое отклонение, различные моменты.

Математическим ожиданием (средним значением) называется действительное число, определяемое формулой:

(5.8)

Математическое ожидание существует, если несобственный интеграл в правой части формулы (5.8) сходится абсолютно.

Определение. Модой непрерывной случайной величины называется действительное число М0, определяемое как точка максимума плотности вероятности f(x).

Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Определение. Медианой случайной величины Х непрерывного типа называется действительное число Ме, удовлетворяющее условию:

или . (5.9)

Определение. Дисперсией случайной величины Х называется неотрицательное число D(X), определяемое формулой:

(5.10)

если несобственный интеграл в правой части равенства (5.10) сходится.

Неотрицательное число называется средним квадратическим отклонением. Оно имеет размерность случайной величины Х и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания.

Случайная величина Х называется центрированной (обозначается ), если Случайная величина Х называется стандартизирован-ной, если и