Теория вероятностей (стр. 8 )

Р1 = 0,3481…; Р2 = 0,2385…; Р3 = 0,1089…; Р4 = 0,0372…; Р5 = 0,0101…; Р6 = 0,0023…. Здесь все ошибки лишь в четвертом десятичном знаке.

Пример 2. При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна 0,01. Считая применимой формулу Пуассона, вычислить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью, равной 0,95 указанный эффект наблюдался, по крайней мере, k раз (рассмотреть случаи k = 1, 2, 3).

Решение. В рассматриваемом примере искомая вероятность

, откуда

.

По формуле Пуассона

где l = 0,01×n. Итак,

.

Поэтому . Логарифмируя последнее неравенство, имеем:

, откуда

. Таким образом, уравнение для определения l приведено к виду, допускающему метод итераций. Решим это уравнение для k = 1, 2, 3. При k = 1 имеем: , так как n есть целое число. При k = 2 имеем: . Это неравенство выполняется при , откуда n ³ 475. При k = 3, имеем , а это неравенство выполняется при , поэтому n ³ 630.

3.7. Простейший поток событий

События, наступающие в случайные моменты времени, называются потоком событий.

Примерами потоков событий могут служить: поступление вызовов на АТС и на пункт скорой медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, подъезд автомобилей к автозаправке, последовательность отказа элементов некоторого устройства и др.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последствия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления m событий на любом промежутке времени зависит только от числа m и от длительности t этого промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления m событий на промежутках (1; 5), (10; 15), (Т; Т + 5) одинаковой длительности t = 5 единицам времени, равны между собой.

Итак, если поток событий обладает свойством стационарности, то вероятность появления m событий за промежуток времени длительностью t есть функция, зависящая только от m и t.

Свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления m событий за любой промежуток времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Иначе говоря, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Итак, если поток событий обладает свойством отсутствия последствия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Иначе, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Поток событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последствия и ординарности, называется простейшим или пуассоновским.

Интенсивностью потока l будем называть среднее число появлений событий за единицу времени.

Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления m событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой:

(3.16)

Формула (3.16), как и формула (3.15), называется формулой Пуассона.

Эта формула отражает все свойства простейшего потока. Действительно, из формулы (3.16) видно, что вероятность появления m событий за время t при заданной интенсивности является функцией m и t, что характеризует свойство стационарности. Эта формула не использует информацию о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, а это характеризует свойство отсутствия последствия. И, наконец, убедимся в том, что формула (3.16) отражает свойство ординарности. Действительно, . Далее, пользуясь разложением в ряд Тейлора после простейших преобразований получим:

Сравнивая между собой вероятность появления одного события за время t () и вероятность появления более одного события за этот же промежуток времени , заключаем, что при t ® 0 вероятность появления более одного события является величиной высшего порядка малости по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство ординарности.

Итак, формулу (3.16) можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятности следующих событий: А = {за две секунды на АТС не поступит ни одного вызова}, B = {за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов}, С = {за одну секунду на АТС поступит хотя бы один вызов}, D = {за три секунды на АТС поступит не менее 6 вызовов}.

Решение. По условию l = 120/60 = 2. Воспользуемся формулой (3.16): .

1. Искомая вероятность того, что за две секунды не поступит ни одного вызова: .

2. Событие «поступило менее двух вызовов» произойдет, если наступит одно из двух следующих несовместных событий: поступил один вызов и не поступило ни одного вызова. Поэтому

.

3. Событие С = {за одну секунду поступит хотя бы один вызов} и событие = {за одну секунду не поступит ни одного вызова} противоположны, поэтому вероятность того, что за одну секунду поступит хотя бы один вызов .

4. Событие D = {поступило не менее 6 вызовов} и событие = {поступило менее 6 вызовов} противоположны и поэтому . Откуда

3.8. Задачи

1. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

Ответ: р = 0,1792.

2. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено 10 точек. Найти вероятность того, что на одну из частей деления попадет одна точка, на другую – две, на третью – три, на четвертую – четыре. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Ответ:

3. Производится четыре независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно р1 = 0,1; р2 = 0,2; р3 = 0,3; р4 = 0,4. Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий.

Ответ: Р4(0) = 0,302; Р4(1) = 0,440; Р4(2) = 0,215; Р4(3) = 0,040; Р4(4) = 0,002.

4. В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и математике равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.

Ответ: р » 0,17.

5. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,7, а в девятку – 0,3. Определить вероятность того, что этот стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков.

Ответ: р = 0,784.

6. За один цикл автомат изготавливает 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01.

Ответ: n ³ 16.

7. В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двенадцать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен. Определить вероятности следующих событий: А = {в каждый вагон вошло по два человека}; В = {в один вагон никто не вошел, в другой – вошел один человек, в два вагона – по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно три и четыре человека}.

Ответ: ,.

8. Вероятность поражения мишени при одном выстреле из винтовки равна 0,4. Найти вероятность того, что при 600 выстрелах мишень будет поражена 250 раз.

Ответ: Р600(250) » 0,0236.

9. Монета брошена 2n раз (n велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно n раз.

Ответ: .

10. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

Ответ: а) P2100(1470, 1500) » 0,4236; б) P2100(1470, 2100) » 0,5; в) P2100(0, 1469) » 0,5.

11. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно провести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

Ответ: n = 177.

12. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Ответ: р = 0,7698.

13. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такое положительное число e, чтобы с вероятностью 0,979 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,75 не превысила e.

Ответ: e » 0,01.

14. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,9426 границы, в которых будет заключено число m бракованных изделий среди проверенных.

Ответ: 15 £ m £ 32.

15. Три стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9, а для третьего – 0,7. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых все три стрелка попадут в мишень, если будет произведено 20 залпов.

Ответ: m0 = 10.

16. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов; в) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре элемента.

Ответ: m0 = 1; Р5(1) » 0,41; Р5(4,5) = 0,0067.

17. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.

Ответ: Р200(4) » 0,09.

18. Завод отправил на почту 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,001. Найти вероятности следующих событий: А = {в пути повреждено ровно три изделия}; В = {повреждено менее трех}; С = {повреждено более трех}; D = {повреждено хотя бы одно}.

Ответ: Р(А) » 0,0613; Р(В) » 0,9197; Р(С) » 0,019; P(D) » 0,632.

19. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, ровно двум. Найти вероятность того, что за четыре минуты поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

Ответ: а) Р4(3) » 0,0286; б) Р4(m < 3) » 0,0138; в) Р4(m ³ 3) » 0,9862.

20. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента?

Ответ: Р1(4) » 0,168.

§ 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ ЗАКОНЫ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

4.1. Понятие дискретной случайной величины (ДСВ)

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Но прежде чем дать определение ДСВ, мы остановимся на рассмотрении примеров:

– число мальчиков, которые родятся в Камышине в ближайший месяц может быть равным 0 (родятся все девочки или не будет вообще новорожденных), 1, 2 и т. д. до некоторого конечного числа n.;

– число космических частиц, попадающих на определенный участок земной поверхности за определенный промежуток времени;

– число вызовов, поступающих от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени определенной длины.

К такого же типа величинам относятся: количество бракованных деталей в партии; количество зерен в колосе на участке, засеянном семенами одного сорта; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.

Несмотря на всю разнородность конкретного содержания приведенных нами примеров, все они с точки зрения математики представляют одну и ту же картину. А именно: в каждом примере мы имеем дело с величиной, так или иначе характеризующей исследуемое явление. Каждая из этих величин под влиянием случайных факторов способна принимать различные значения, но нельзя достоверно указать, какое значение она примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Такие величины называются случайными.

Определение. Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения, неизвестно заранее – какие именно. Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: Х (одна случайная величина), Y (вторая), Z (третья) и т. д., а их возможные значения – соответствующими строчными буквами. Например, Х – число попаданий при четырех выстрелах; возможные значения: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3, х5 = 4. Нами будет рассмотрено два типа случайных величин:

1)  прерывные (или дискретные);

2)  непрерывные случайные величины.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Примерами прерывных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение суток, число пассажиров автобуса, число детей в семье и т. д.

Пусть стрельба по цели ведется до первого попадания. Тогда число производимых выстрелов будет случайной величиной. Она может принимать значения: 1 (если первый выстрел привел к попаданию в цель), 2 (если первый выстрел даст промах, а второй – попадание), 3 (если первые два выстрела дадут промахи, а третий – попадание) и т. д. до бесконечности. Для полной характеристики дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать вероятности этих значений.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения случайной величины можно задать таблично, графически или аналитически.

4.2. Ряд распределения. Многоугольник распределения.

Примеры классических дискретных распределений

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности (табл. 3):

Таблица 3

Х P	xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Такая таблица называется рядом распределения случайной величины Х. События Х = хi (i = 1, 2, …, n) являются несовместными и единственно возможными, т. е. они образуют полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей должна быть равна единице:

. (4.1)

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений, т. е. строят точки с координатами (xi ; pi). Для наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения. Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, является исчерпывающей характеристикой случайной величины.

Иногда удобной оказывается, так называемая, «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в n отдельных точках х1, х2, …, хn сосредоточены соответственно массы р1, р2, …, рn. Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с массами рi (i = 1, 2, …, n), расположенными на оси абсцисс.

Пример 1. Стрелок производит четыре выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,1. За каждое попадание стрелку присуждается 10 очков. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа выбитых очков.

Решение. Обозначим Х число выбитых очков. Возможные значения случайной величины Х: х1 = 0, х2 = 10, х3 = 20, х4 = 30, х5 = 40. Соответствующие им вероятности найдем по формуле Бернулли при n = 4, p = 0,1, q = 1 – p = 0,9 и m = 0, 1, 2, 3, 4;