Теория вероятностей (стр. 3 )

Ответ: Р(А) = 1/6; Р(В) = 5/12; Р(С) = 1/2; Р(D) = 35/36; P(E) = 1/6; P(F) = 11/36; P(G) = 1/9.

3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны.

Ответ: р = 0,096.

4. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекаются три изделия. Найти вероятность следующих событий: А = {в полученной выборке содержится хотя бы одно бракованное изделие}, В = {в полученной выборке все изделия бракованные}, С = {в полученной выборке ровно два бракованных изделия}.

Ответ: Р(А) = 17/24; Р(В) = 1/120; Р(С) = 7/40.

5. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты. Найти вероятности следующих событий: А = {в полученной выборке все карты бубновой масти}, В = {в полученной выборке все карты одной масти}, С = {в выборке окажется хотя бы один туз}, Д = {будет получен следующий состав карт: валет, дама и 2 короля}.

Ответ: Р(А) » 0,264×10-2; Р(В) » 0,0106; Р(С) » 0,2813; Р(Д) » 0,355×10-3.

6. Группа из восьми человек занимает места с одной стороны прямоугольника стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если: а) число мест равно 8; б) число мест равно 12.

Ответ: а) р = 1/4; б) р = 1/6.

7. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из семи цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий:

А = {четыре последних цифры телефонного номера одинаковы},

В = {все цифры различны},

С = {номер начинается с цифры 5},

D = {номер содержит три цифры 5, две цифры 4 и две цифры 2}.

Ответ: Р(А) = 0,001; Р(В) » 0,0605; Р(С) = 0,1; Р(D) » 2,1×10-5.

8. Десять книг на одной полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

Ответ: .

9. Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число N при а) возведении в квадрат; б) возведении в четвертую степень; в) умножении на произвольное число даст число, оканчивающееся единицей.

Ответ: а) р = 0,2; б) р = 0,4; в) р = 0,04.

10. Из разрезной азбуки выкладывается слово «математика». Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова складываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово «математика»?

Ответ: .

11. На отрезке [-1; 2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы?

Ответ: р » 0,321.

12. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит будет меньше

Ответ: р = 1/6.

13. Два лица условились встретиться в определенном месте между 15 и 16 часами дня. Пришедший первым ждет второго 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждое лицо наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 15 до 16 часов).

Ответ: р = 5/9.

§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ

2.1. Алгебра событий

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, причем название этих операций определяется их свойствами. Если операции обладают свойствами арифметических действий над числами, то их называют операциями сложения и умножения. Таковы, например, операции сложения и умножения векторов, сложения и умножения матриц и т. д. Эти операции позволяют не только упростить форму записи, но и во многих случаях облегчить логическое построение научных выводов. Введение таких операций над событиями плодотворно и в теории вероятностей. Объединением или суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В, безразлично какого. Сумма двух событий А и В обозначается А + В или А È В. В зависимости от обстоятельств используют одно из двух обозначений.

Если событие А – сдача первого экзамена на отлично, событие В – сдача второго экзамена на отлично, то событие А + В есть сдача только первого экзамена на отлично или только второго, или обоих вместе.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пересечением или произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении события А и события В. Пересечение событий А и В обозначается А ∩ В или АВ.

Например, если событие А – появление туза при вынимании карты из колоды, событие В – появление карты бубновой масти, то АВ есть появление бубнового туза.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

На рис. 4, например, наглядно проиллюстрировано понятие произведения трех событий А, В, С.

Разностью (А – В или А/В) называется событие, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит.

Из определения операций сложения и умножения событий вытекают следующие их свойства:

1)  А + В = В + А, АВ = ВА – коммутативность;

2) (А + В) + С = А + (В + С), (АВ)С = А(ВС) – ассоциативность;

3) (А + В)С = АС + ВС – дистрибутивность умножения относительно сложения;

4) АВ + С = (А + С) (В + С) – дистрибутивность сложения относительно умножения.

А

В

С

 

Рис. 4.

На рис. 5 незаштрихованная фигура изображает разность А - В.

Рис. 5.

На рис. 5 можно увидеть следующие тождества:

(А + В) – В = А – АВ = А= А – В, где, как всегда, – событие, противоположное событию В. Событие А называется противоположным событию В, если они образуют полную группу событий. Событие, противоположное событию В, обозначается .

Примером противоположных событий могут служить попадание и промах при одном выстреле.

2.2. Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). (2.1)

Докажем эту теорему для схемы случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, эта теорема постулируется (вводится аксиоматически).

Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые для наглядности изобразим в виде точек

Будем считать, что m случаев благоприятствуют событию А, а k случаев – событию В. Тогда Р (А) = m/n, P(B) = k/n. Так как события А и В несовместны, то событию А + В благоприятствуют m + k случаев и Р(А + В) = (m + k)/n = m/n + k/n = Р(А) + Р(В). Эта теорема легко обобщается на случай любого числа несовместных событий. Ее удобно записать в виде:

. (2.2)

Следствие 1. Если несовместные события Аi, i = 1, 2, ... , n образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Действительно, так как события Ai образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них есть достоверное событие, т. е.

.

Но так как события Ai несовместны, то к ним применима теорема сложения вероятностей событий:

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Это следствие является частным случаем следствия 1. Оно выделено ввиду его большой важности в практическом применении теории вероят-

ностей. На практике часто легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность прямого события А.

Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет попадает выйгрыш 500 руб., на 10 билетов – выигрыши по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение. Рассмотрим события: А – выиграть не менее 20 рублей,

А1 – выиграть 500 рублей, А2 – выиграть 100 рублей, А3 – выиграть 20 рублей, тогда, .

События А1, А2 и А3 несовместны и по теореме сложения вероятностей имеем:

.

Пример 2. Круглая мишень (рис. 6) состоит из трех зон I, II, III. Вероятности попаданий в зоны I, II, III при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,2 и 0,15. Найти вероятность промаха.

 

Рис. 6.

Решение. Обозначим А – промах, – попадание.

Тогда где – попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны.

0,1 + 0,2 + 0,15 = 0,45,

откуда 0,55.

Если события А и В совместны, то вероятность суммы этих событий выразится формулой:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (2.3)

Рассматривая рис. 4, можно сделать вывод, что

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

Методом полной математической индукции можно получить общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:

, (2.4)

где суммы рассматриваются для различных значений индексов i, j.

Разрешая равенство (3.4) относительно получим

(2,5)

Для n = 2 формула (2.5) принимает вид:

, (2.6)

а для n = 3:

– (2.7)

Пример 3. Техническое устройство состоит из трех агрегатов: двух агрегатов первого типа – А1 и А2 – и одного агрегата второго типа – В. А1 и А2 дублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на другой. Агрегат В не дублирован. Для того чтобы устройство прекратило работу, нужно чтобы одновременно отказали оба агрегата А1 и А2 или агрегат В. Таким образом, отказ устройства – событие – представляется в виде: С = А1 А2 +В, где А1 – отказ агрегата А1, А2 – отказ агрегата А2, В – отказ агрегата В. Требуется выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы, а не произведения элементарных событий А1, А2 и В.

Решение. Применяя свойство дистрибутивности сложения относительно умножения, а затем формулу (2.6) и определение суммы событий, получим:

2.3. Теорема умножения вероятностей

Известно, что в основе определения вероятности события А лежит некоторая совокупность условий опыта или наблюдения. Если никаких других ограничений при вычислении вероятности Р(А) не налагается, то такие вероятности называются безусловными.

Во многих случаях приходится находить вероятности событий при дополнительном условии: произошло некоторое событие В. Такие вероятности будем называть условными и обозначать символом Р(А/В) или , читается: вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Пример 1. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 9 (событие А), если известно, что эта сумма не превышает 10 очков (событие В).

Решение. Все возможные случаи, которые могут представиться, запишем в табл. 1, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, а на втором месте – число очков, выпавших на второй кости.

Таблица 1

(1, 1)	(2, 1)	(3, 1)	(4, 1)	(5, 1)	(6, 1)
(1, 2)	(2, 2)	(3, 2)	(4, 2)	(5, 2)	(6, 2)
(1, 3)	(2, 3)	(3, 3)	(4, 3)	(5, 3)	(6, 3)
(1, 4)	(2, 4)	(3, 4)	(4, 4)	(5, 4)	(6, 4)
(1, 5)	(2, 5)	(3, 5)	(4, 5)	(5, 5)	(6, 5)
(1, 6)	(2, 6)	(3, 6)	(4, 6)	(5, 6)	(6, 6)

Общее число возможных случаев – 36, благоприятствующих событию А – 4. Таким образом, безусловная вероятность Р (А) = 4/36= 1/9. Если событие В произошло, то осуществилась одна из 33 (а не из 36) возможностей и, следовательно, условная вероятность Р(А/В) = 4/33.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет, т. е. Р(А/В) = Р(А). В противном случае событие А называется зависимым от события В, что равносильно тому, что P(A/B) ¹ P(A).

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имеет место:

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А). (2.8)

Докажем эту теорему для схемы случаев.

Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые изобразим в виде n точек:

m-A k-B

……………………………………………….

l~АВ

n

Пусть событию А благоприятны m случаев, а событию В – k случаев. Будем предполагать, что события А и В совместны и поэтому существуют случаи, благоприятные как событию А, так и событию В одновременно. Пусть число таких случаев равно l. Тогда

P(AB) = l/n = lm/nm = m/n×l/m = P(A)P(B/A),

т. к. l/m – условная вероятность события В.

Действительно, если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются только те m случаев, которые благоприятствуют событию А, а из них l случаев благоприятны событию В. Следовательно,

P(B/A) = l/m.

Очевидно, что при применении теоремы умножения вполне безраз-

лично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым. Поэтому

теорему умножения можно записать и в таком виде:

Р(АВ) = Р(В) Р(А/В).

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство. Так как событие А не зависит от события В, то

Р(А) = Р(А/В). Теперь докажем, что и событие В не зависит от события А, т. е. Р(В) = Р(В/А).

Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) и Р(АВ) = Р(В) Р(А/В), откуда

Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В).

Так как Р(А) = Р(А/В), то Р(В) = Р(В/А), что и требовалось доказать.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(A) Р(В).

Это следствие вытекает из определения независимых событий.

Следствие 3. Вероятность произведения нескольких событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, относительно первого, на условную вероятность третьего относительно первых двух и т. д., на условную вероятность последнего относительно пересечения всех предыдущих:

Р(А1А2 ... Аn) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/А1А2) ... Р(Аn/А1А2 ... Аn -1). (2.9)