Четырехполюсники и их соединения (стр. 10 )

Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной. Если же , то матрица называется невырожденной или неособой. Каждой неособой матрице можно поставить в соответствие обратную ей матрицу , обладающую свойством:

(5)

В самом деле, определим элементы обратной матрицы равенством , где -алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Для того, чтобы построить обратную матрицу для матрицы , нужно сначала построить транспонированную матрицу , а затем каждый элемент заменить его алгебраическим дополнением, делённым на .

Пример 1.

Дано: . Найти .

Решение

=.

, т. е. -невырожденная и -существует!

Найдём частные определители:

, ,

,

Составим матрицу :

.

Запишем транспонированную матрицу:

; тогда: .

Проверка: ∙=

= .

3. Матричная форма записи системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных :

(6)

Обозначим вектор-столбец правых частей:

, а – искомый вектор: .

Пусть, наконец, -матрица системы. Тогда, как легко видеть, левая часть системы есть ни что иное, как произведение , а вся система (6) может быть записана в виде:

(7)

В частности, когда -нулевой вектор , мы получаем однородную систему:

Эта компактная запись линейной системы очень удобна. Она называется матричной формой системы. В частности, если – невырожденная матрица, (), то существует обратная матрица .

Умножив слева равенство (7) на , получим:

Так как то из предыдущего равенства находится решение системы: .

Пример 2. Решить систему уравнений матричным способом:

Решение

Матрица , матрица , и матрица искомых параметров . Решение задачи в общем виде записывается форме: .

Где = . Подставляя, получим:

∙.

Откуда окончательно:

Приложение 2

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. Общие сведения

Комплексным числом называют числа вида a+jb, где «а» и «b» – вещественные числа, а j= √ –1, (j2=–1) – мнимая единица. Хотя комплексные числа не выражают количества, как это имеет место у действительных чисел (понятий «больше» и «меньше» для комплексных чисел не существует), они широко применяются в математике, электротехнике, теории поля и т. п.

В электротехнике комплексные числа, соответствующие синусоидально изменяющимся величинам, принято обозначать большими буквами с точками над ними A=a+jb,B=c+jd и т. д. В комплексном числе A=a+jb составляющую «а» называют действительной (вещественной) его частью, а «b» – мнимой. Действительная часть сокращенно обозначается a=ReA, а мнимая b=JmA (Re от латинского Realis – вещественный, реальный, Im – от латинского Imaginarius – мнимый). Чисто мнимым называется комплексное число А такое, у которого ReA=0. Вещественные числа можно считать частным случаем комплексных, когда коэффициент при j равен нулю. Комплексное число можно изобразить точкой на комплексной плоскости (с координатами a, b) или вектором, исходящим из начала координат (рис. П.1).

Чтобы получить вектор, соответствующий комплексному числу a+jb, достаточно построить точку А с координатами a, b и провести вектор, соединяющий начало координат с этой точкой. Вещественные числа a и b будут равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси.

+j

=a+jb A

b

­­–1 α +1

0 B

a Ось вещественных значений

- j

Рис. П.1.

Модулем А комплексного числа называют длину вектора АО (независимо от его направления):

A= a+jb =√a2+b2

Угол α, образуемый вектором ОА с положительным направлением вещественной оси, называют аргументом комплексного числа: α=arctg(b/a).

Положительное направление отсчета α – против часовой стрелки.

Главное значение аргумента заключено в промежутке – π≤α≤π. Для каждого комплексного числа возможны три представления (три формы записи): алгебраическое, тригонометрическое, показательное. Выражение =a+jb является алгебраической формой комплексного числа.

Если из прямоугольного треугольника ОАВ (рис. П.1) выразить составляющие комплексного числа через его модуль и аргумент, тог получим: =a+jb=A cos α+jA sinα.

Полученное выражение называют тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться далее формулой Эйлера ejα=cosα+j sinα, то можно перейти к показательной форме Aejα. Таким образом,

=a+jb=A cosα+jA sinα=Aejα

Например, 1+j√3=2(cos π/3 + j sin π/3)=2ej(π/3),

3j=3(cos π/2 + j sin π/2)=3ej(π/2).

Для перехода от алгебраической формы комплексного числа к показательной необходимо определить модуль комплексного числа и аргумент. Два комплексных числа считаются равными, если равны отдельно их вещественные части и отдельно их мнимые части.

Два комплексных числа называют сопряженными, если их вещественные части равны, а мнимые части отличаются только знаком перед j. Вектора, изображающие сопряженные комплексные числа, являются зеркальными изображениями друг друга по отношению к оси вещественных значений.

Сопряженные комплексные числа обозначаются в электротехнике символом со звездочкой .

2. Действия над комплексными числами

Формально вычисления над комплексными числами производятся так же, как над обыкновенными двучленами, учитывая, что j2 = –1. Вычисления можно производить, используя различные формы записей комплексных чисел. Четыре арифметических действия, выполняемые над комплексными числами, заданные в алгебраической форме, в общем виде постулируются следующим образом:

(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)

(a+jb)–(c+jd)=(a–c)+j(b–d)

(a+jb)(c+jd)=ac+jbc+jad+j2bd=(ac–bd)+j(ad+bc)

Первые три действия (сложение, вычитание и умножение) производятся так же, как с обычными двучленами. При делении комплексных чисел, выраженных в алгебраической форме, необходимо сначала делимое и делитель умножить на комплексное число, сопряженное делителю (после чего делитель становится вещественным положительным числом), а затем произвести деление вещественной и мнимой частей отдельно.

Рассмотрим числовые примеры.

(4-j)+(3+j2)=(3+3)+j(-1+2)=7+j

(4-j)-(3+j2)=(4-3)j+(-1-2)=1-j3

(4-j)(3+j2)=12-j3+j8-j22=14+j5

что равно сомножителю предыдущего произведения.

Следует отметить, что произведение двух сопряженных комплексных чисел является положительным вещественным числом, равным квадрату модуля этих чисел: (a+jb)(a-jb)=a2-(jb)2=a2+b2=A2.

Умножение и деление при тригонометрическом и показательном способе записи производится следующим образом:

Если и

то

В ряде случаев бывает полезным применение формулы Муавра:

(cosφ+j sinφ)n=cos nφ+j sin nφ

При выполнении вычислений сложение и вычитание комплексных чисел проще выполнить, если комплексные числа выражены в алгебраической форме, а умножение и деление комплексных чисел – если эти числа представлены в показательной форме. Возведение в степень и извлечение корня проще выполнить, используя показательную форму записи комплексного числа:

Используя изображение комплексных чисел векторами, можно геометрически интерпретировать действия над комплексными числами. Сложению двух комплексных чисел соответствует сложение двух векторов, исходящих из начала координат (радиусов-векторов); вычитанию двух комплексных чисел соответствует вычитание двух векторов (рис. П.2):

D=A+B→OA+OB;

C=A-B→OA-OB

Геометрическая интерпретация произведения состоит в следующем: радиус-вектор произведения двух комплексных чисел получается поворотом радиуса-вектора на угол ψ против часовой стрелки и растяжением его в ││раз (││=В).

Аналогично интерпретируется деление (рис. П.3).

+j

Мнимая

ось

ОА+ОВ

ОВ

-1 ОА действительная ось +1

ОВ ОА-ОВ

- - j

Рис. П. 2.

Мнимая j

ось

φ+ψ

-j 0 ψ φ +1

φ-ψ действительная ось

- j Рис. П. 3.

Поле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел.

Литература

1. Основы теории цепей : учебник [для вузов] / 3-е изд., стер. СПб., М. Краснодар: Лань, 2009.

2. Теоретические основы электротехники. Учебник для вузов. Издание 10, 2002.

3. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

4. , Теоретические основы электротехники. Серия: Учебник для вузов Издательство Феникс, СПб., 2003.

5. Основы теории цепей : учебник для вузов 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 20с.

6. Основы теории электрических цепей М.: Высш. шк., 2000.

7. Задачник по теории линейных электрических цепей. Учеб. пособ. для электротехнич., радиотехнич. спец. вузов. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1990.

Научное издание

ПЕТРОВ Юрий Сергеевич,

РОГАЧЁВ Леонид Викторович,

МАСКОВ Сергей Петрович,

САХАНСКИЙ Юрий Владимирович

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

И ИХ СОЕДИНЕНИЯ

Монография

Книга издается в авторской редакции,

пунктуации и орфографии.

Компьютерная верстка

 

Подписано в печать 21.08.14. Формат бумаги 60´841/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Печать на ризографе. Усл. п. л. 6,74 п. л. Уч.-изд. л. 4,88. Тираж 30 экз. Заказ № 000.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек».

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).

4.

, ,

,

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

И ИХ СОЕДИНЕНИЯ

Монография

ВЛАДИКАВКАЗ 2014