Четырехполюсники и их соединения (стр. 3 )

Определим коэффициенты четырехполюсника, используя выражения (1.3.11) – (1.3.14) и полное сопротивление экспоненциальному воздействию .

Имея в виду, что Ом, Ом,

Ом, определим коэффициенты:

,

Ом,

,

См.

Проверка , верно.

Уравнения четырехполюсников в А-форме для начальных значений токов и напряжений:

(1.3.16)

В системе (1.3.16) токи и напряжения представляют собой начальные значения соответствующих экспонент. Вычисленные обычным способом (для проверки уравнений (1.3.16)), токи и напряжения оказались равными:

I1(σ)=1,492e2t A, I2(σ)=1,381e2t A, I3(σ)=0,11e2t A, U2(σ)=2,762e2t B.

Подстановка полученных начальных значений токов и напряжений в систему (1.3.16) дает тождества.

2.2. Экспоненциальное воздействие ().

σ= – 2, ω=0, s=σ+jω, s= – 2, t=0, ψ=0.

.

Определим коэффициенты четырехполюсника, имея в виду, что , ,

.

,

Ом,

См,

.

Проверка .

Уравнения четырехполюсников в А-форме:

(1.3.17)

В системе (1.3.17) токи и напряжения представляют собой начальные значения соответствующих экспонент. Токи и напряжения при вычислены обычным способом (для проверки (1.3.17)) равны:

I1(σ) =3,333e-2t A, I2(σ)=3,333e-2t A, I3(σ)=0 A, U2(σ)=6,667e-2t B,

Подстановка начальных значений токов и напряжений в (1.3.17) даёт тождество.

3. Гармоническое воздействие (синусоидальная форма):

σ=0, ω=20 c-1, s=σ+jω, s=j20, =30o, U1m=10 В

.

Определим коэффициенты четырехполюсника, используя выражения (1.3.11) – (1.3.14):

Имея в виду, что:

, ,

.

,

Ом,

См,

.

Проверка .

Выполним проверку полученных результатов, для чего вычислим обычным способом токи и напряжения. В результате вычислений получим:

A,

A,

B.

Сравним найденные значения с уравнениями четырёхполюсника в
А-форме: А, т. е. совпадает со значением входного тока = А, вычисленным обычным способом.

=, что совпадает с заданным значением входного напряжения.

4.1 Обобщенное экспоненциальное воздействие, .

Уравнения четырехполюсника в случае обобщенного экспоненциального воздействия записывается как система (1.3.7) и (1.3.8).

Рассмотрим конкретный случай Т-образного четырехполюсника изображенного на рис. 1.3.1, на входе которого действует напряжение: . Это напряжение в обобщенной форме: , где .

Примем: s=,,=30o.

.

. При t=0, .

Для заданной схемы коэффициенты определяются формулами (1.3.11-1.3.14).

Используя формулу (1.3.6) запишем конкретные значения обобщенных сопротивлений для заданной схемы:

, ,

Определим коэффициенты четырехполюсника:

Проверим соотношение:

, выполняется.

Окончательно, уравнения четырёхполюсника в обобщенной форме будут иметь вид:

,

. (1.3.18)

или:

,

. (1.3.19)

Заметим, что для принятых обозначений напряжений:

при , , что отличается от при гармоничном воздействии. Для проверки полученных уравнений запишем для рассмотренной схемы (рис. 1.3.1) при конкретном воздействии U1m=10 В, , RH=2 Ом входное воздействие в обобщенном виде: .

Определим далее токи и напряжения в схеме, используя метод обобщенных экспонент.

Напряжение нагрузки:

;

Подставим найденные значения в уравнения четырехполюсника (1.3.18) и сократим на общий множитель (или сразу подставим комплексные амплитуды в (1.3.19). Для напряжения :

т. е. левая часть равна правой. Для тока :

т. е. левая часть равна правой части.

Полученные равенства подтверждают правильность проделанных вычислений и методики применения обобщенных экспоненциальных воздействий.

4.2 Обобщенное экспоненциальное воздействие, .

Рассмотрим случай, когда , т. е. .

Запишем конкретные значения сопротивлений для заданной схемы:

,

,

Определим коэффициенты четырехполюсника:

.

Проверим соотношение: :

, выполняется.

Окончательно, уравнения четырёхполюсника в обобщенной форме для данной схемы рис.1.3.1. будут иметь вид:

(1.3.20)

Или:

. (1.3.21)

Запишем уравнения (1.3.20) для конкретного воздействия и конкретных токов и напряжений четырёхполюсника, для чего примем U1=10 В, , Rн=2 Ом, Ом, Ом, т. е. в обобщенном виде: и определим токи и напряжения обычным способом.

Напряжение на нагрузке:

Подставим найденные значения в уравнения четырёхполюсника (1.3.21). Напряжение :

,

т. е. левая часть равна правой части. Ток .

т. е левая часть равно правой части.

Полученные равенства еще раз подтверждают правильность проделанных вычислений и методики применения обобщенных экспоненциальных воздействий.

Глава 2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ

И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ

2.1. Т-образная схема замещения четырёхполюсника

Четырехполюсник может быть представлен различными схемами замещения: Т-образной, П-образной, Г-образной и другими. Рассмотрим
Т-образную схему замещения (рис. 2.1.1):

m p

n q

Рис. 2.1.1. Т-образная схема замещения четырёхполюсника.

Уравнения четырехполюсника в А-форме:

Коэффициент А будет равен: .

Для вычисления коэффициента сначала определим ток при коротком замыкании зажимов pq:

.

Теперь коэффициент B: .

Коэффициенты C и D соответственно определяются по формулам:

, .

Подстановка найденных коэффициентов в уравнение даёт тождество.

Пример 2.1.1. На рисунке 2.1.2. дана электрическая схема четырехполюсника (Т-образная схема). Записать уравнения четырех-полюсника в А-форме, если R=10 Ом, XL=10 Ом, XC=20 Ом.

Коэффициенты четырехполюсника определить двумя способами: по формулам (1.6) и используя уравнения, составленные по законам Кирхгофа.

Проверить свои вычисления по соотношению

R=10 a XL=10

m p

Z1 Z2

XC=20

Z3

n b q

Рис. 2.1.2. Эквивалентная схема замещения Т-образного четырёхполюсника.

Решение

Найдем коэффициенты четырехполюсника, воспользовавшись полученными ранее в примере 1.1.1 уравнениями:

Коэффициент А: , коэффициент B: , коэффициенты C и D соответственно определяются по формулам: , .

Проверка: .

Примёр решён верно.

Далее определим коэффициенты Т-образного четырёхполюсника для уравнений в Y и Z-форме.

Y-форма , ,

Z-форма , .

По первому закону Кирхгофа для искомой схемы:

(2.1.1)

По второму закону Кирхгофа для внешнего контура получаем:

Для левого контура имеем:

Выполним следующие преобразования:

,,,

, ,

,

,

.

Таким образом: где , а

, . (2.1.2)

Подставим (2.1.2) в (2.1.1):

, .

В соответствии с полученными уравнениями:

и .

Для Z- формы Т-образного четырёхполюсника:

, т. е. .

Тогда , а .

Из вышеприведённых вычислений:

,

, тогда , а .

Рассчитаем четырехполюсник, представленный на рисунке 2.1.3 по уравнениям в Z и Y-формах и по законам Кирхгофа с параметрами Ом, Ом, Ом.

Рис. 2.1.3. Эквивалентная схема Т-образного четырёхполюсника с нагрузкой.

Рассмотрим Z-форму четырёхполюсника:

, , ,

, , и .

Зададимся:А; Ом, тогда В; . ; , В.