Четырехполюсники и их соединения (стр. 6 )

Значение входного сопротивления вычислялось также по выражению (3.1.4) для эквивалентной цепной схемы рис. 3.1.4, с помощью которой можно представить каскадное соединение четырёхполюсников.

Рис. 3.1.4. Эквивалентная цепная схема каскадного соединения четырёхполюсников.

(3.1.4)

Результаты расчётов приведены в таблице 3.1.1.

Таблица 3.1.1. – Результаты расчётов каскадного соединения четырехполюсников

с различным порядком их расположения

расч. выч. тип соед.	I1, A	I2, A	Rвх, Ом	Р1, Вт	Р2, Вт	I2/I1	P2/P1
1. Т, П, Г	34,835	2,714	28,707	3,483·104	22,098	0,078	6,344·10-4
2. Т, Г, П	30,313	2,911	32,989	3,031·104	25,413	0,096	8,384·10-4
3. П, Т, Г	36,136	2,847	27,673	3,614·104	24,311	0,079	6,728·10-4
4. П, Г, Т	32,993	2,764	30,31	3,299·104	22,916	0,084	6,946·10-4
5. Г, П, Т	12,408	1,899	80,595	1,241·104	10,817	0,153	8,718·10-4
6. Г, Т, П	12,319	1,996	81,172	1,232·104	11,957	0,162	9,706·10-4

Как видно из таблицы, входное сопротивление соединяются, изменяется в пределах . Отношение выходного тока к входному току колеблется в пределах , а отношение к выходной мощности к входному – в пределах . Результаты расчета величин выходных характеристик графически представлены на рисунке 3.1.5.

 

Рис.3.1.5. Графическое представление результатов расчёта выходных характеристик.

Используя зависимость выходных характеристик каскадного соединения четырехполюсников от порядка их расположения можно регулировать такие важные величины, как отношение входных и выходных токов, величину выходной мощности и другие при неизменных параметрах источника энергии в первичной цепи.

Пример 3.1.2. Даны два четырехполюсника ( и ), представленные Т-образными схемами замещения. Сопротивления ветвей схем заданы в Омах на рисунке 3.1.6. Четырехполюсники соединены каскадно. Определить коэффициенты четырехполюсников в А-форме и коэффициенты эквивалентного четырехполюсника. Коэффициенты эквивалентного четырехполюсника определить двумя способами:

а) вычислением произведения матриц А-параметров соединенных четырехполюсников;

б) преобразованием (упрощением) схемы соединения четырехполюсников.

Рис. 3.1.6. Т-образные схемы замещения четырёхполюсников.

Решение:

Определим А-параметры каждого из соединенных четырехполюсников. Для четырехполюсника в левой части схемы:

; См;

Ом; .

Аналогично для четырехполюсника в правой части схемы:

; ;

; .

Эквивалентная матрица А-параметров двух каскадно-соединенных четырехполюсников равна произведению матриц А-параметров отдельных четырехполюсников.

,

Откуда: АЭ = 0,05, ВЭ = 25+j10, СЭ = j0,05, DЭ = 1+j2,5.

Найдем коэффициенты эквивалентного четырехполюсника вторым способом – упрощением схемы, для чего сначала преобразуем треугольник сопротивлений R/, , в эквивалентную звезду:

Ом, Ом, Ом.

После замены треугольника эквивалентной звездой получим следующую электрическую схему:

Z1 Z2

m - j10 j20 p

Z 3 - j20

n q

Рис. 3.1.7. Эквивалентная схема Т-образного четырёхполюсника.

В соответствии со схемой рисунка 3.1.7 имеем:

Коэффициенты эквивалентной схемы: ;

;

; .

Найденные значения коэффициентов совпадают с полученными ранее в результате перемножения матриц.

3.2. Условие регулярности

Помимо рассмотренного в п. 3.1 каскадного соединения четырехполюсников возможны и различные другие типы соединений (которые будут рассмотрены далее). Для определения коэффициентов уравнений результирующего четырехполюсника, эквивалентного общей схеме соединения, применяют те же методы, которые используются для определения коэффициентов отдельных (автономных) четырехполюсников: составление уравнений состояния (по законам Кирхгофа, методу контурных токов и т. д.) и применение метода холостого хода и короткого замыкания, которые, как известно, упрощают уравнения четырехполюсника и тем самым облегчают определение его коэффициентов (см. примеры).

Эти методы необходимо применять к общей эквивалентной схеме соединения четырехполюсников, полученной в результате объединения по законам реализуемого типа соединения схем исходных (соединяемых) четырехполюсников.

Кроме перечисленных, существует метод преобразования полученной в результате объединения (соединения) четырехполюсников сложной схемы с целью ее упрощения и выделения четырехполюсников с известными матрицами (см. пример 3.2.1).

Рассмотренные методы определения параметров эквивалентного четырехполюсника являются универсальными, применимыми к любому способу соединения четырехполюсников, независимо от конкретных внутренних схем соединения их элементов (см. пример 3.2.2).

Во многих случаях можно обойтись без применения этих методов. Это относится к соединениям четырехполюсников, уравнения которых заданы в матричной форме. В этих случаях (как будет показано далее) для определения уравнений результирующего четырехполюсника в матричной форме необходимо просто выполнить определенные действия над матрицами уравнений соединяемых четырехполюсников.

Однако, широко распространенные матричные формы записи уравнений различных соединений четырехполюсников справедливы только при соблюдении определенных условий, называемых условиями регулярности.

Всегда регулярным является только рассмотренное в предыдущем параграфе каскадное соединение. При последовательном, параллельном, параллельно-последовательном, последовательно-параллельном соединении прежде, чем складывать матрицы, необходимо убедиться в том, что заданное соединение четырехполюсников является регулярным.

Можно выделить общее требование к четырёхполюсникам: неизменность передаточных функций до и после соединений друг с другом отдельных четырехполюсников или систем уравнений их описывающих, а равенства токов входных Im/ = In/ и выходных Ip/ = Iq/ является одним из следствий общего требования, что наиболее характерно при последовательных соединениях. Кроме того, требованиями регулярности является требования, чтобы токи, протекающие через оба первичных и оба вторичных зажимов каждого из четырехполюсников были равны по величине и обратны по направлению. Это положение плохо иллюстрируется в частности каскадным соединением четырехполюсников (рис. 3.1.1).

Можно отметить, что при анализе схемы на выполнение условия регулярности следует обращать особое внимание на то, чтобы отдельные проводники (или ветви) одного четырехполюсника не замыкали элементы другого, то есть, чтобы при соединении четырехполюсников структура и параметры соединенных четырехполюсников не нарушались бы в результате их соединения. На рис. 3.2.1а представлена схема нерегулярного последовательного соединения Т и П-образных четырехполюсников, а на рис. 3.2.1б изображена схема регулярного последовательного соединения тех же четырехполюсников.

Рис. 3.2.1а. Нерегулярное последовательное соединение
Т и П-образного четырёхполюсников.

Рис. 3.2.1б. Регулярное последовательное соединение
Т и П-образного четырёхполюсников.

Как видно из схемы рис. 3.2.1а в результате последовательного соединения четырехполюсников сопротивление R5 оказалось закороченным, вследствие изменились не только параметры элементов П-образного четырехполюсника (R5=0), но и его структура (вместо соединения резисторов R4 R5 R6 в треугольник сопротивление R4 и R6 оказались соединены параллельно). На рис. 3.2.1б показано регулярное последовательное соединение тех же четырехполюсников.

Можно сказать, что для выполнения условия регулярности при последовательном соединении Т и П-образных четырехполюсников общие зажимы их должны быть объединены, что выполняется в данном случае, если использовать «перевернутый» П-образный четырехполюсник. Таким образом, последовательное соединение четырехполюсников Т и П-образных схем с общими закороченными выводами является регулярным.

Как уже указывалось перед записью уравнений объединенного эквивалентного четырехполюсника, образованного соединением в матричной форме двух различных четырехполюсников, необходимо проверить, выполняется ли условие регулярности для заданного соединения. Проверка проводится по схемам, приведенным ниже.

Рис. 3.2.2. Проверка условия регулярности при последовательном соединении:

а) прямая передача; б) обратная передача.

Рис. 3.2.3. Проверка условия регулярности при параллельном соединении:

а) прямая передача; б) обратная передача.

Рис. 3.2.4. Проверка условия регулярности при последовательно-параллельном соединении: а) прямая передача; б) обратная передача.

Если при питании схемы рис. 3.2.2а со стороны зажимов m–n (прямое питание) напряжения Uab=0 и при питании схемы рис. 3.2.2б со стороны зажимов 2,2’ (обратное питание) напряжение Uсd=0, то условие регулярности выполняется. Если же, например, , то соединение нерегулярно
(см. далее пример 3.2.1).

Условие регулярности при параллельном соединении четырехполюсников проверяется по схемам рис. 3.2.3 а и б. Если при питании со стороны первичных зажимов m–n (Uab=0) и при питании со стороны вторичных зажимов p–q напряжение Uсd=0, то условие регулярности выполняется; при не соблюдении этих условий соединение четырехполюсников нерегулярно.

Для проверки условия регулярности при последовательно-параллельном соединении четырехполюсников используются схемы рис. 3.2.4 а и б. Если при питании со стороны зажимов m-n (Uab=0) и при питании со стороны зажимов p–q напряжение Uсd=0, то условие регулярности выполняется, в противном случае соединение является нерегулярным.

Условие регулярности можно проверять как аналитически, так и экспериментально, используя приведенные выше схемы и оценивая показания вольтметров, включенных для измерения соответствующих напряжений. При этом проверка регулярности может быть произведена и по оценке токов, протекающих в цепях соединенных четырехполюсников.

Пример 3.2.1. Проверить условия регулярности последовательного соединения Т и П-образного четырехполюсников, изображенных на рис. 3.2.5.

m n

а

b

p q

Рис. 3.2.5. Схема последовательного соединения

Т и П-образных четырехполюсников.

Проверим условия расчета последовательного соединения Т и
П-образных четырехполюсников.

Вычислим напряжение Uab для схемы, изображенной на рис. 3.2.5. Уже качественный анализ схемы дает возможность сделать вывод о том, что и, следовательно, соединение нерегулярно. Для количественного определения Uab воспользуемся преобразованием схемы.

.Ток, ток .

Рассмотрим средний контур К. Проанализируем второй вариант соединения, изображенный на рис.3.2.1б. Как видно из схемы, участок «а–в» оказывается в этом случае закороченным, следовательно, напряжение Uab=0.

Кроме того, при обратном питании т. е. при питании со стороны зажимов 2,2’ участок cd так же оказывается закороченным, т. е. Uсd=0.

Таким образом, выполняются оба условия регулярности, следовательно, соединение, изображенное на рис. 3.2.1б является регулярным. Помимо каскадного, к регулярным относится параллельное соединение уравновешенных четырехполюсников, подобных четырехполюсников, треугольных четырехполюсников, если их общие зажимы соединены накоротко. Регулярным является последовательное соединение треугольных четырехполюсников (например Т и П-образных), общие зажимы которых объединены (см., на пример рис. 3.2.1б с «перевернутым» П-образным четырехполюсником).

Регулярного соединения четырехполюсников можно добиться в цепях переменного тока, используя промежуточные трансформаторы, причем в ряде случаев можно принять коэффициент трансформации равный 1:1, т. е. использовать идеальный трансформатор. Далее будут использоваться различные типы соединений четырехполюсников, удовлетворяющие условию регулярности.

3.3. Последовательное соединение четырёхполюсников

Рассмотрим так называемое последовательное соединение двух четырехполюсников Z/ и Z// (рис. 3.3.1).

Рис. 3.3.1. Схема последовательного соединения

четырёхполюсников.

При таком соединении имеем:

; и ; .

При этом целесообразно воспользоваться уравнениями четырехполюсника, записанными через Z-параметры:

.

Получаем уравнение эквивалентного четырехполюсника:

.

Таким образом, при последовательном соединении двух четырехполюсников матрица Z-параметров эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц Z-параметров отдельных четырехполюсников.

Пример 3.3.1. Рассмотрим последовательное соединение четырёхполюсников (рис. 3.3.2.). Определить параметры эквивалентного четырёхполюсника.

m/ 2 p/

j4

n/ q/

2 p//

n// q//

Рис. 3.3.2. Т-образные схемы четырёхполюсников.

Решение

Регулярное соединение четырёхполюсников – это такое соединение, при котором токи, протекающие через оба первичных зажима каждого четырехполюсника, будут равны и противоположны по направлению. Аналогичное правило относится и к выходным зажимам.

На практике при регулярном соединении отдельные проводники одного четырехполюсника не должны замыкать элементы другого, т. е. приводить к изменению его параметров. Другими словами, после соединения параметры каждого четырёхполюсника в отдельности не должны изменяться.

Применительно к соединениям простейших схем Т-образных четырехполюсников условие регулярности будет выполняться, если общий провод каждого из четырехполюсников в соединении не замыкает собой элементы другого четырехполюсника. Для того чтобы соединение четырёхполюсников было регулярным, один из них надо «перевернуть».

Рис. 3.3.3. Регулярное соединение Т-образных четырёхполюсников.

При последовательном соединении четырёхполюсников складываются их Z-матрицы.

Параметры первого простого четырёхполюсника представленного на рисунке 3.3.2:

Параметры второго простого четырёхполюсника представленного на рисунке 3.3.2:

Общая эквивалентная матрица схемы рисунка 3.3.3 будет иметь вид:

.

Откуда получаем параметры эквивалентной общей схемы:

Непосредственно из рисунка 3.3.3 для эквивалентного четырёхполюсника имеем:

Полученные двумя способами результаты совпадают.

Пример 3.3.2. Определить параметры двух последовательно соединённых одинаковых четырёхполюсников с исходными параметрами: , , , представленными на рисунке 2.1.2.

Решение

Определим Z-параметры простейших четырёхполюсников, входящих в сложный четырёхполюсник, соединённый по схеме рисунка 2.1.3.

Из формулы (1.2.6.) и условий примера 2.1.1 применительно к рассматриваемому четырехполюснику имеем:

Ом;

Ом;

Ом;

Ом.

Получили -параметры простейших четырёхполюсников, входящих в состав сложного:

,

.

Тогда уравнения простейших четырёхполюсников:

(3.3.1)

(3.3.2)

Определим Z-параметры сложного четырёхполюсника. Для этого преобразуем исходное соединение в эквивалентную схему, удобную для дальнейших расчётов. Получаем схему, представленную на рисунке 3.3.4.