Четырехполюсники и их соединения (стр. 9 )

.

Параметры четырёхполюсника, эквивалентного параллельному соединению двух четырёхполюсников N и K:

=

= .

Переведём полученные значения параметров в А-форму, тогда
А-параметры эквивалентного четырёхполюсника:

, где: ,

Рассчитаем каскадное соединение двух четырёхполюсников: эквивалентного магистральным проводам четырёхполюсника М, и эквивалентного параллельному соединению двух четырёхполюсников Nэ:

.

Тогда систему уравнений для рассматриваемой цепи можно записать в виде:

(4.3.2)

Проверка другими методами расчёта подтвердила правильность применяемой методики расчёта. При этом были получены следующие значения токов и напряжений: А, А, В.

Подставим найденные значения в правую часть системы уравнений 4.3.2:

.

Полученные результаты совпадают. Расчёт проведён верно.

Заключение

В настоящее время, в связи с развитием науки и техники применение теории четырёхполюсников при расчёте электрических цепей становится всё более актуальным. Данное утверждение базируется, в частности, на том, что четырехполюсники как средство представления элементов тракта передачи сигналов в сложных цепях автоматики, телемеханики и связи, ЛЭП и т. п., применяются в инженерных расчетах при проектировании этих цепей и в процессе их эксплуатации. Теория четырехполюсников позволяет наиболее рациональным способом рассматривать условия передачи электрических сигналов и энергии по трактам любой сложности.

Кроме того, применение матричной формы записи уравнений четырёхполюсника позволяет использовать универсальные пакеты программ MathCAD, Math Lab для проведения расчётов сложных схем высокого порядка.

В настоящее время теория четырехполюсников успешно применяется при решении задач различных типов, например, при анализе свойств сложных разветвленных электрических цепей и многих электронных приборов (транзисторов, усилителей). Также эту теорию используют для создания электрических цепей с определенными передающими свойствами.

Рассмотренные в монографии методики и примеры расчетов систем, параметров и схем замещения четырехполюсников в ряде случаев дополняют существующие методы анализа электрических цепей с четырёхполюсными устройствами и могут быть использованы при решении как теоретических, так и практических задач электротехники, в которых применяются реальные устройства, представляемые четырёхполюсниками и их соединениями.

Приложение 1

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1. Прямоугольные

Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из определённых элементов.

Элементами матрицы могут быть действительные числа, комплексные числа, функции и т. д.

В общем виде матрицу можно записать следующим образом:

. (1)

Часто вместо двойных прямых скобок пишут квадратные или круглые скобки.

В матрице (1) строк и столбцов. Поэтому её называют -матрицей. Числа , как и ранее, называются элементами матрицы. первый индекс указывает номер строки, а второй -номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Прямоугольные матрицы, как и квадратные, будем обозначать , указывая в контексте число строк и столбцов. Если – столбцы матрицы, а – её строки, то для обозначения этой матрицы будем употреблять символы и .

В частности, когда , мы имеем однострочечную матрицу , которую называют вектор-строкой. Если же , то имеем одностолбцовую матрицу:

, которую называют вектор-столбцом.

Две -матрицы равны (тождественны, совпадают), если равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Если матрицы и раны, то пишут, используя обычный знак равенства . Таким образом , если при всех и .

Подобно векторам, матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Сумной двух -матриц и называется новая -матрица , элементы которой определяются равенством . Обозначается сумма .

Например:

+.

Произведение матрицы на число называется новая матрица , то есть чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы.

Пусть – -матрица, а – -матрица (т. е. матрица имеет столько же строк, сколько в матрице -столбцов). Тогда произведением матриц и (обозначается ) называется -матрица , элементы которой определяются равенствами:

, (2)

где

Или короче:

, (3)

Эту формулу легко запомнить: элемент матрицы , стоящей на пересечении -ой строки и -ого столбца, есть скалярное произведение -ой вектор-строки матрицы и -ого вектор-столбца матрицы .

Например:

.

Часто оказывается удобной краткая запись произведения: если обозначать столбцы матрицы , а -столбцы матрицы , то легко проверить что Таким образом .

Ещё раз подчеркнём, что произведение определено только тогда, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В противном случае, произведение не определено.

Легко проверить, что для суммы и произведение матриц справедливы ассоциативный и дистрибутивный законы:

Умножение матриц не подчиняется коммутативному закону.

Каждой прямоугольной матрице можно поставить в соответствие матрицу , элементы которой определяются равенством .Матрица называется транспонированной по отношению к матрице . Из определения следует, что матрица получается, если в матрице строки и столбцы поменять ролями:

Например:

, тогда

В частности, транспонированной матрицей к вектор-строке будет вектор-столбец

.

Вычёркивая отдельные столбцы или строки -матрицы , можно образовать различные квадратные матрицы. Порядком матрицы называется размер матрицы , где – количество строк, -количество столбцов.

Рангом матрицы называется наибольший порядок определителя, отличного от нуля.

Как уже указывалось, элементами матрицы могут быть не только действительные, комплексные числа, но и функции. Например все могут зависеть от некоторого аргумента . При этом, если все , дифференцируемы, то и матрица называется дифференцируемой. При этом, по определению, полагают:

т. е. при дифференцировании матрицы каждый элемент заменяется его производной. Матрицу называют производной матрицы .

Операция дифференцирования матриц обладает всеми обычными свойствами. В частности, если и -матрицы, которые можно перемножать.

Аналогично определяется интеграл от матрицы:

, т. е. при интегрировании матрицы каждый элемент заменяется интегралом от него.

2. Квадратные

Если число строк матрицы равно числу её столбцов , то матрица называется квадратной. Рассмотрим их подробнее.

Прежде всего, необходимо отметить, что квадратные матрицы одного и того же порядка можно всегда складывать или умножать одна на другую в любом порядке. Однако в общем случае произведение не равно произведению . Например, если и , то =, а .

Совокупность элементов квадратной матрицы называют главной диагональю матрицы. Матрица, у которой все элементы, кроме стоящей на главной диагонали, равный нулю, называется диагональной.

Если -элементы главной диагонали матрицы, то её обозначают .

Таким образом:

. (4)

В частности, если все в диагональной матрице (4) равны единице, то она называется единичной и обычно обозначается буквой . Единичная матрица обладает замечательным свойством: если – произвольная -мат-рица, а – единичная матрица порядка , то . Если же – единичная матрица порядка , то , то есть умножение на единичную матрицу не меняет матрицу .

В частности:

Эти свойства матрицы объясняют её название. Они доказываются непосредственным вычислением произведения.

Обозначая квадратную матрицу одной буквой, например , для ясности будем обозначать её определитель символом . Из контекста будет ясно, что речь идёт не об абсолютной величине числа , и не о модуле вектора , а об определителе матрицы .

Из свойств определителя следует, что квадратная матрица и транспонированная матрица имеют равные определители .

В самом деле, написанное равенство получится, если определитель разложить по элементам первого столбца, а определитель - по элементам первой строки.

Равенство так же легко следует из свойств определителя. В частности .