Четырехполюсники и их соединения (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

* * *

, ,

,

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

И ИХ СОЕДИНЕНИЯ

Монография

ВЛАДИКАВКАЗ 2014

УДК 621.372.5

ББК 31.2

П30

Рецензенты:

, доктор технических наук,

профессор Северо-Кавказского горно-металлургического института

(государственного технологического университета)

, доктор физико-математических наук,
профессор Северо-Осетинского государственного университета

П30 Четырехполюсники и их соединения: Монография / ,

, , ; Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек», 2014. – 116 с.

ISBN 978–5–901585–70–2

Монография предназначена для ознакомления студентов технических ВУЗов, аспирантов и широкого круга читателей с основами теории четырёхполюсников, методами их расчета и анализа различных типов их соединения, будет особенно полезна при дистанционном обучении. Основное внимание при изучении материала уделяется получению практических навыков решения задач, содержащих четырёхполюсники при различных входных воздействиях.

Монография подготовлена на кафедре «Теоретической электротехники и электрических машин» СКГМИ (ГТУ).

УДК 621.372.5

ББК 31.2

ISBN 978–5–901585–70–2

© и др., 2014

© Северо-Кавказский горно-металлургический

институт (государственный технологический

университет), 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………….......................	4
Глава 1. Уравнения четырехполюсников………………………………….	5
1.1. Резистивные четырехполюсники……………………………….	5
1.2. Символическая форма уравнений четырёхполюсников…………	14
1.3. Уравнения четырехполюсников в обобщенной форме………..	20
Глава 2. Эквивалентные схемы замещения и характеристические параметры четырёхполюсников………...	32
2.1. Т-образная схема замещения четырёхполюсника......................	32
2.2. П-образная схема замещения четырёхполюсника…………….	37
2.3. Входное сопротивление и характеристические параметры четырёхполюсника………………………………….	43
Глава 3. Простые соединения четырёхполюсников……………………...	54
3.1. Каскадное соединение четырёхполюсников…………………...	54
3.2. Условия регулярности…………………………………………...	62
3.3. Последовательное соединение четырёхполюсников………….	68
3.4. Параллельное соединение четырёхполюсников……………….	75
Глава 4. Сложные соединения четырёхполюсников……………………..	83
4.1. Последовательно-параллельное соединение…………………...	83
4.2. Параллельно-последовательное соединение…………………...	88
4.3. Смешанное соединение четырёхполюсников………………….	93
Заключение……………………………………………………………………..	100
Приложения…………………………………………………………………….	101
Литература…………………………………………………………………….	116

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа посвящена вопросам расчёта четырёхполюсников в линейных электрических цепях и может быть использована при выполнении типовых индивидуальных расчётных заданий по теме «Четырёхполюсники и их соединения», курсовых и контрольных работ.

Монография состоит из четырёх разделов: основные уравнения четырёхполюсников, эквивалентные схемы замещения и характеристические параметры четырёхполюсников, простые соединения четырёхполюсников, сложные соединения четырёхполюсников. Приведены приложения, облегчающие усвоение изложенного в пособии материала.

Каждый раздел содержит краткие теоретические сведения и примеры с подробными решениями. Все примеры составлены и решены авторами. Предложены задачи для самостоятельного решения. Даны способы самопроверки решений предложенных задач.

Методические примеры и задачи подобраны так, чтобы охватить наиболее широкий класс встречающихся в ТОЭ задач по данному профилю.

Монография может быть использована не только студентами электротехнических специальностей очного и заочного обучения, изучающих курсы ТОЭ и теории электрических цепей, но и может быть полезна при изучении курса «Электротехники и электроники».

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ

1.1. Резистивные четырёхполюсники

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую – «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный. Устройство, имеющее два входных и два выходных зажима, называют четырехполюсником.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д. Любой линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами (из которых только три являются независимыми) [1–7].

Существуют различные типы четырехполюсников.

Симметричный четырехполюсник  – четырехполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов.

Пассивный четырехполюсник – это четырехполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырехполюсник – это четырехполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии. Далее будут рассматриваться пассивные четырехполюсники.

Обратимый четырехполюсник  – четырехполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточные сопротивления входных и выходных контуров не зависят от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная.

Если четырёхполюсник не содержит реактивных элементов, то он является резистивным. В случае резистивного четырёхполюсника нагрузка так же предполагается резистивной. Четырехполюсник обычно изображают прямоугольником, имеющим два входных и два выходных зажима, с указанием направлений токов и напряжений во входной (левой, см. рис. 1.1) и выходной (правой) частях.

Четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам m n, как правило, присоединяют источник питания, к выходным зажимам p–q-нагрузку (рис. 1.1.1).

m p

n q

Рис. 1.1.1. Условное изображение четырехполюсника.

Предполагается, что нагрузка четырехполюсника и напряжение на его входе могут изменяться, но схема внутренних соединений четырехполюсника и значения сопротивлений в ней остаются неизменными. Четырехполюсник, состоящий только из сопротивлений, называется резистивным.

Четырехполюсник характеризуется двумя входными и двумя выходными величинами. Возможны шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, связывающих эти величины: А-, Y-, Z-, H-, G- и В-формы. Уравнения четырехполюсников для этих форм записи соответственно:

А-форма: (1.1.1)

или в матричной форме , (1.1.1')

где A, В, С и D – комплексные коэффициенты, которые могут быть определены расчётным или опытным путём и зависят от схемы четырёхполюсника и значений его сопротивлений.

При этом .

Y-форма:, (1.1.2)

или в матричной форме , (1.1.2')

где, .

Z-форма: , (1.1.3)

или в матричной форме , (1.1.3')

где .

Н-форма: , (1.1.4)

или в матричной форме (1.1.4')

где .

F-форма: , (1.1.5)

или в матричной форме , (1.1.5')

где .

В-форма: , (1.1.6)

или в матричной форме . (1.1.6')

где .

Если положительное направление тока изменить на противоположное, то следует изменить знак тока во всех уравнениях.

Чтобы уравнения четырехполюсника остались неизменными, т. е. сохранился знак плюс перед всеми его членами, необходимо изменить знаки следующих коэффициентов: При этом будем иметь: , и .

Наличие дополнительных связей между коэффициентами четырехполюсника (помимо основных уравнений, связывающих токи и напряжения) показывает, что при любой форме записи уравнений независимыми являются только три параметра [2].

Как известно, в резистивной цепи отклик определяется воздействием с точностью до постоянного вещественного множителя. Далее будем рассматривать четыре типа входных воздействий uвх(t): постоянное напряжение, экспоненциальное напряжение, синусоидальное и синусоидальное с изменяющейся по экспоненциальному закону амплитудой:

, (1.1.7)

, (1.1.8)

, (1.1.9)

. (1.1.10)

Во всех рассматриваемых случаях токи в ветвях четырехполюсника будут качественно повторять воздействие. Соотношение между напряжением и токами на входах и выходах четырехполюсников могут быть записаны в виде приведенных ранее шести систем уравнений.

В резистивных четырехполюсниках все коэффициенты в уравнениях (1.1.1–1.1.6) будут вещественными числами. Вид токов и напряжений, входящих в уравнения, будет определяться типом воздействия. При постоянном входном напряжении токи и напряжения в уравнениях четырехполюсника (U, I) также будут постоянными. При экспоненциальном воздействии на входе четырехполюсника токи и напряжения в уравнениях будут являться начальными значениями экспоненциальных токов и напряжений (I10, I20; U10, U20) в соответствующих ветвях. При синусоидальном воздействии токи и напряжения на выходе также будут синусоидальными одной и той же частоты, а в уравнении четырехполюсников будут входить амплитудные значения токов и напряжений в ветвях (или их действующих значений U~, I~, уравнения 1.1.13, 1.1.13').

Если входное воздействие определяется напряжением (1.1.10), то токи во всех ветвях резистивной цепи и, в частности, на выходе цепи будут отличаться только амплитудой синусоиды, следовательно, в уравнениях четырехполюсника будут фигурировать амплитудные значения токов и напряжений (Im, Um).

Таким образом, для уравнений четырехполюсника в А-форме и соответствующих типов воздействия, получим:

(1.1.11) (1.1.11¢)

(1.1.12) (1.1.12¢)

U1~=AU2~+ BI2~ , (1.1.13) I1~=CU2~+ DI2~ . (1.1.13')

U1m=AU2m+ BI2m, (1.1.14) I1m=CU2m+ DI2m')

Значения коэффициентов четырехполюсника можно определить по конкретной схеме, представляющей четырехполюсник. Нетрудно доказать, что коэффициенты A, B, C, D в случае резистивной цепи не зависят от типа воздействия, а зависят только от структуры и параметров внутренней схемы четырехполюсника. Рассмотрим пример.

Пример 1.1.1. Пусть четырехполюсник представлен электрической схемой, изображенной на рис. 1.1.2 (так называемая Т-образная схема замещения, см. далее п. 2.1). Рассмотрим воздействия, представленные следующими функциями:

1. .

2. .

3. .

4. .

Вычислим коэффициенты А, В, С, D для схемы рис. 1.1.2. по уравнениям четырехполюсника в А-форме. Сопротивления ветвей R1=3, R2=4, R3=12 Ом.

Проверим уравнения четырехполюсника при Rн=2 Ом.

Решение

1. Постоянное входное воздействие .

При определении коэффициентов четырехполюсника для схемы (1.1.2) используем первый и второй законы Кирхгофа и выразим U1 и I1 через U2 и I2:

, (1.1.15)

. (1.1.16)

Сопоставляя (1.1.15) и (1.1.16) с выражениями (1.1.11) и (1.1.11'), получим:

;;

;

Найдем связь между коэффициентами четырехполюсника.

.

m p

n q

Рис. 1.1.2. Электрическая схема четырехполюсника с нагрузкой.

Определим коэффициенты четырехполюсника в А-форме в численном виде:

Ом, Ом,

См, .

Проверим, выполняется ли уравнение связи между коэффициентами AD–BC=1.

. Верно.

Уравнения четырехполюсника , .

Для проверки определим токи обычными способами, например по законам Кирхгофа, получим:

А, А, А, В.

Подставим вычисленные значения в уравнения четырехполюсника:

В, что совпадает с заданным входным воздействием U1=21 В.

А, что также совпадает с вычисленным значением тока I1=3 А. То есть, полученные уравнения четырехполюсника правильно описывают электрическое состояние цепи и дополняют другие типы уравнений.

2. Входное воздействие изменяется по экспоненциальному закону с начальным значением U0 = 21 В, σ = – 2 с-1: т. е.

При определении коэффициентов четырехполюсника для схемы (рис. 1.1.3) используем первый и второй законы Кирхгофа и выразим u1 и i1 через u2 и i2. В общем виде для мгновенных значений и напряжений:

. (1.1.17)

Используя свойство резистивных цепей – идентичности отклика по отношению к действию, запишем:

.

Разделим левую и правую части на . Получим:

. (1.1.18)

По II закону Кирхгофа для внешнего контура:

(1.1.19)

Сокращая на , получим:

. (1.1.20)

Сопоставляя (1.1.18) и (1.1.19) с выражениями (1.1.11') и (1.1.11), замечаем, что коэффициенты четырехполюсника для экспоненциального воздействия и постоянного входного воздействия определяются по одинаковым формулам, т. е., как и в предыдущем случае, ; B=8; ; . Таким образом, уравнения четырехполюсника при экспоненциальном воздействии, , .

Для проверки полученных уравнений, определим токи обычными способами, например по законам Кирхгофа, в результате чего получим:

А, А, А,

В.

Подставим вычисленные значения в уравнения четырехполюсника и сократим на e-2t:

В, что совпадает с заданным входным начальным значением экспоненциального воздействия U1 0=21 В.

Для тока А, что также совпадает с вычисленным начальным значением экспоненциального тока I10=3 А.

3. Входное воздействие изменяется по синусоидальному закону:

.

Уравнения по I закону Кирхгофа для мгновенных значений:

.

Разделим левые и правые части на . Получим:

. (1.1.21)

Уравнения по II закону Кирхгофа для мгновенных значений:

.

Разделим левые и правые части на. Получим:

. (1.1.22)

Уравнения четырехполюсника , .