Четырехполюсники и их соединения (стр. 5 )

Так, если в выражении (2.3.6) числитель умножить на , а знаменатель на , то

.

Используя соотношения (2.3.8), найдем:

. (2.3.9)

Если же в выражении (2.3.7) числитель умножить на , а знаменатель на . то

, следовательно, согласно (2.3.8) входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов pq, нагруженного сопротивлением Z1' со стороны зажимов mn:

. (2.3.10)

Выражения (2.3.9) и (2.3.10) иллюстрируют свойство четырехполюсника преобразовывать сопротивления.

Известно, что генератор, обладающий внутренним сопротивлением Zг, отдает максимальную мощность нагрузке Zн при условии . В том случае, когда такое согласование невозможно (т. е. при заданных значениях величин этих сопротивлений), для выделения максимальной мощности в нагрузке между генератором и нагрузкой необходимо включить четырехполюсник (рис. 2.3.1). Причем этот четырехполюсник должен быть согласован как с нагрузкой, так и с генератором.

Четырехполюсник будет согласован с генератором при выполнении условия и максимальная мощность от четырехполюсника в нагрузку будет передаваться при согласовании выходного сопротивления четырехполюсника () с сопротивлением нагрузки , т. е. при .

Такой режим работы четырехполюсника называется режимом согласованного включения.

 

Рис. 2.3.1. Согласованное включение четырехполюсника с генератором
и нагрузкой (, ).

Можно полагать, что существует такая пара сопротивлений, для которых и . Эти сопротивления называются характеристическими сопротивлениями четырехполюсника ( и ).

Считая, что и положив в (2.3.6) и (2.3.7) , , получим:

; . (2.3.11)

Совместное решение уравнений (2.3.11) относительно и дает:

, (2.3.12)

. (2.3.13)

Теперь условия выделения максимальной мощности в нагрузке выполняются при равенстве сопротивлений нагрузки и генератора соответствующим сопряженным комплексах характеристических сопротивлений:

, . (2.3.14)

Разделим (2.3.12) на (2.3.13).

. (2.3.15)

Используя соотношение (2.3.15) введем в рассмотрение величину

, (2.3.16)

которую называют коэффициентом трансформации четырехполюсника.

Теперь входное сопротивление согласованного четырехполюсника

, (2.3.17)

из этого следует, что этот четырехполюсник трансформирует сопротивление нагрузки в раз.

Уравнение связи между коэффициентами четырехполюсника в
А-параметрах можно представить в виде:

. (2.3.18)

Введем новый параметр , удовлетворяющий условиям:

; . (2.3.19)

Этот параметр всегда можно подобрать требуемым условиям, т. к. Г может быть комплексным, а величины в выражении (2.3.19) связаны формулой . Так как параметр Г комплексный, то в алгебраической форме записи . (2.3.20)

Параметр Г называют мерой передачи четырехполюсника. Это третий характеристический параметр четырехполюсника (первые два были и ), при этом а – собственное затухание четырехполюсника, [a] – Hп, b – коэффициент фазы или характеристическая постоянная фазы, [b] – рад.

Принимая во внимание, что:

и , (2.3.21)

и соотношения (2.3.19), можно выразить меру передачи четырехполюсника через его первичные параметры, например, А-параметры.

Характеристические параметры (, и Г) часто называют вторичными параметрами четырехполюсника.

Совместное решение систем уравнений (2.3.19) и (2.3.21) относительно Г дает:

. (2.3.22)

Используя (2.3.16), (2.3.12) и (2.3.13) можно выразить первичные параметры через вторичные:

, ,, . (2.3.23)

Пользуясь полученными в (2.3.23) соотношениями, можно определить искомые величины через вторичные параметры. Например, входное сопротивление четырехполюсника относительно зажимов mn формула (2.3.6) примет следующий вид:

. (2.3.24)

Рассмотрим применение изложенных теоретических положений на конкретных примерах.

Пример 2.3.1. Для схемы (рис. 2.3.2) определить входные сопротивления со стороны зажимов mn и pq с учетом сопротивлений Ом и Ом соответственно с использованием конфигурации схемы и
А-параметров четырехполюсника. Значения элементов заданного Т-го четырехполюсника соответствуют рис. 1.3.1: Ом, Ом, Ом. А А-параметры четырехполюсника должны быть определены с использованием режимов хх и кз.

 

Рис. 2.3.2. Эквивалентная схема четырёхполюсника с нагрузкой.

1. Определим входное сопротивление со стороны зажимов mn, предварительно отбросив эдс генератора ЕГ и его внутреннее сопротивление – рис. 2.3.3.

Рис. 2.3.3. Упрощённая эквивалентная схема четырёхполюсника

с нагрузкой.

2. При определении входного сопротивления относительно зажимов pq отбрасываем сопротивление нагрузки и замыкаем источник эдс генератора – рис. 2.3.4.

 

Рис. 2.3.4. Эквивалентная схема четырёхполюсника в режиме холостого хода.

3. В подразделе 1.3 были определены А-параметры этого ненагруженного четырехполюсника с использованием законов Кирхгофа:

, Ом, См, .

Определим теперь эти же А-параметры, используя режимы хх и кз. Для этого изобразим этот ненагруженный четырехполюсник отдельно на рис. 2.3.5 и запишем систему уравнений в А-параметрах.

 

Рис. 2.3.5. Эквивалентная схема четырёхполюсника в режиме холостого хода.

Известно, что:

, . (2.3.5)

В режиме хх на зажимах pq выходной ток . Следовательно, из схемы (2.3.5) можно определить коэффициенты А и С, учитывая, что и напряжение на зажимах mn , а на зажимах pq - .

, См.

При кз на зажимах pq напряжение , что позволяет найти коэффициенты B и D, учитывая, что при этом напряжение на входе четырехполюсника , а ток .

Т. о., значения А-параметров четырехполюсника, вычисленные различными способами, совпадают.

Проверим еще, выполняется ли уравнение связи между коэффициентами четырехполюсника.

. Верно.

4. Найдем входное сопротивление относительно зажимов mn по формуле (2.3.6).

Аналогично найдем входное сопротивление относительно зажимов pq по формуле (2.3.7), учитывая, что .

Значения входных сопротивлений четырехполюсника, вычисленные двумя способами, совпадают.

Пример 2.3.2. Используя данные примера 2.3.1 определить через характеристические (вторичные) параметры четырехполюсника входное сопротивление четырехполюсника относительно зажимов mn и проверить соотношение .

1. Определяем характеристические параметры четырехполюсника. Характеристические сопротивления четырехполюсника и найдем из (2.3.12) и (2.3.13) соответственно.

Ом,

Ом.

Меру передачи четырехполюсника Г определим из (2.3.22).

.

где собственное затухание четырехполюсника а=1,377 Нп.

Характеристическая постоянная фазы b=-1,332 рад.

2. Теперь можно определить входное сопротивление четырехполюсника относительно зажимов mn по формуле (2.3.4)

Найденное значение совпадает с вычисленным в примере 2.3.1.

3. Определим параметры холостого хода ( и ) и короткого замыкания ( и ), используя как вторичные, так и первичные (формулы 2.3.8) параметры четырехполюсника.

При использовании вторичных параметров четырехполюсника

Ом.

При использовании первичных параметров четырехполюсника

Ом.

Результат одинаков.

Ом

или Ом. Совпадает.

Ом

и с другой стороны Ом.

Ом

или Ом.

Также результат одинаков.

4. Проверим соотношение .

Левая часть:

Ом.

Правая часть:

Ом.

Левая часть равна правой, соотношение выполняется.

5. Определим входное сопротивление четырехполюсника относительно зажимов mn – , используя параметры холостого хода и короткого замыкания.

Ом – сходится с предыдущими результатами.

Таким образом, входное сопротивление четырехполюсника, определенное четырьмя способами, дало одинаковые результаты.

Перечислим использованные способы.

Первый способ – использование конфигурации схемы (Пример 2.3.1).

Второй способ – с помощью А-параметров четырехполюсника (Пример 2.3.1).

Третий способ – с помощью характеристических параметров четырехполюсника (Пример 2.3.2).

Четвертый способ – с помощью сопротивлений короткого замыкания и холостого хода (Пример 2.3.2).

Глава 3. ПРОСТЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ

3.1. Каскадное соединение четырёхполюсников

Любая применяемая на практике электрическая цепь состоит из нескольких обязательных элементов: источника энергии, магистральных и соединительных проводов и потребителя. Каждый элемент имеет свои собственные параметры, которые возможно описать математически. Но если параметры источника энергии и потребителя можно узнать из данных завода-изготовителя, то магистральные и соединительные провода и образуемая ими распределительная сеть имеют параметры, индивидуальные для каждой вновь собираемой цепи и поэтому именно они подлежат определению в каждом конкретном случае.

При математическом анализе электрической цепи и составляющих её элементов, основной особенностью является то, что совокупность составляющих её элементов можно представить как линию с распределенными параметрами и эквивалентными четырёхполюсниками.

Всю электрическую цепь можно представить каскадным соединением двух четырёхполюсников, один из которых эквивалентен магистральным проводам, а другой распределительной сети. Рассмотрим каскадное соединение двух четырехполюсников.

Два четырехполюсника, взятые вместе, можно рассматривать как один эквивалентный четырехполюсник, обведенный на рисунке 3.1.1 штриховой линией, с величинами на входе и на выходе. В данном случае ,.

Задача заключается в определении параметров эквивалентного четырехполюсника через известные параметры первого и второго четырехполюсников.

Равенства и , имеющие место на стыке двух четырехполюсников, определяют выбор целесообразной системы уравнений.

Рис. 3.1.1. Схема эквивалентного четырёхполюсника.

В матричной форме имеем:

При этом лучше всего использовать запись уравнений через
А-параметры: и .

Используя эти соотношения, получим для эквивалентного четырехполюсника:

Таким образом, матрица А-параметров двух каскадно-соединенных четырехполюсников равна произведению матриц А-параметров отдельных четырехполюсников. Произведя эту операцию, получаем результирующую матрицу: .

Каскадное соединение четырехполюсников обладает свойствами регулярности. Действительно, при любой общей нагрузке токи, проходящие через оба первичных и оба вторичных зажима в каждом четырехполюснике соответственно равны по величине и противоположны по направлению.

Существенным моментом каскадного соединения четырехполюсников является то, что конкретный вид уравнений четырехполюсника и характеристики всего соединения зависят помимо всего прочего и от места расположения каждого четырехполюсника в схеме, т. е. от последовательности расположения четырехполюсников.

Например, при каскадном соединении Т, П и Г образных четырехполюсников входное сопротивление, токораспределение в сети и матрица уравнений эквивалентного четырехполюсника будут различными, например, для соединений рис. 3.1.2а и рис. 3.1.2б.

а) порядок рассмотрения Т, П, Г

б) порядок рассмотрения Т, Г, П

Рис. 3.1.2. Варианты каскадного соединения четырёхполюсников.

Действительно, т. к. эквивалентная матрица [A] для схемы рис. 3.1.2а. равна произведению матриц

[A]3а=[T]·[П]·[Г], (3.1.1)

то для схемы рис. 3.1.2б.

[A]3б=[T]·[Г]·[П] . (3.1.2)

При изменении порядка расположения четырехполюсников изменяется схема соединения элементов результирующей цепи. Математически это отражается в том, что:

[П]·[Г]≠[Г]·[П] (3.1.3)

Формула (3.1.3) отражает известное свойство некоммутативности матричного произведения.

Для того, чтобы уравнение соответствовало действительности, надо записывать матричное произведение в строгом соответствии с порядком расположения четырехполюсников. Только такое матричное произведение будет адекватно описывать данное соединение.

Пример 3.1.1. Рассмотрим каскадное соединение трех различных четырехполюсников с Т, П и Г-образными схемами, порядок расположения которых, эквивалентные схемы и их параметры отражены на рис. 3.1.3.

Рис. 3.1.3. Каскадное соединение Т, П и Г-образных четырёхполюсников
с параметрами , , , ,
, , , .

Были рассмотрены все возможные варианты порядка расположения четырёхполюсников (шесть вариантов): Т, П, Г; Т, Г, П; П, Т, Г; П, Г, Т;
Г, Т, П; Г, П, Т.

Результаты расчёта входного тока – и выходного тока , входного сопротивления , мощности источника и и мощности в нагрузке , а также отношения входных и выходных токов и мощностей при одном и том же входном напряжении отраженны в таблице.