Четырехполюсники и их соединения (стр. 7 )

1 2

10

10

1/ 2/

Рис. 3.3.4. Эквивалентная расчетная схема

последовательного соединения четырёхполюсников.

Из схемы видно, что; , а ; , тогда для последовательного соединения четырёхполюсников, складывая на основании II-ого закона Кирхгофа (3.3.1) и (3.3.2), получим:

Откуда Z-параметры сложного четырёхполюсника

.

Находим для заданного сложного четырёхполюсника

.

Проведём проверку Z-параметров сложного четырёхполюсника
(рис. 3.3.4). По формулам (1.2.6.) рассчитаем параметры холостого хода сложного четырёхполюсника:

Ом;

Ом;

Ом;

Ом.

Далее преобразуем исходную эквивалентную схему (рисунок 3.3.4) для работы под нагрузкой с исходными параметрами В; Ом
(рисунок 3.3.5):

а)

б)

Рис. 3.3.5. Эквивалентная схема сложного четырёхполюсника
с нагрузкой: а) исходная, б) расчётная.

Находим:

А;

В; А;

А;

В;

Получили:

А;

В;

Подставим ,,, в уравнение -параметров сложного четырёхполюсника:

(верно!)

3.4. Параллельное соединение четырёхполюсников

Рассмотрим параллельное соединение двух четырехполюсников Y/ и Y// (рисунок 3.4.1).

I2

' U2

Рис. 3.4.1. Параллельное соединение четырёхполюсников.

При таком соединении имеют место равенства: и или в матричной форме: .

Поэтому в качестве подходящей системы уравнений следует выбрать ту, в которой токи выражаются через напряжения, т. е. систему Y-параметров.

Составим матрицы для простейших четырехполюсников:

.

Так как , то:

.

Имея в виду равенство матриц напряжений, получаем:

=.

Следовательно, при параллельном соединении четырехполюсников матрица Y-параметров есть сумма матриц Y-параметров отдельных четырехполюсников. Рассмотрим параллельное соединение подобных четырёхполюсников.

Пример 3.4.1. Пусть четырёхполюсники E и F представлены
П-образными эквивалентными схемами с параметрами Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом (рис. 3.4.1.)

Определить параметры эквивалентного четырёхполюсника.

Рис. 3.4.1. Схема параллельного соединения

двух простых четырёхполюсников E и F.

Решение

Общее решение задачи через Y-параметры описывается системой уравнений:

Для этого, определим частные коэффициенты простых четырёхполюсников E и F входящих в схем. Запишем для П-схемы коэффициенты в общем виде:

Тогда для четырёхполюсника Е:

См,

См,

.

Аналогично для четырёхполюсника F:

См,

См,

.

После выполненных вычислений эквивалентная матрица схемы будет иметь вид: .

Откуда можем определить:

Найдём коэффициенты четырёхполюсника непосредственно из схемы рисунка 3.4.1. предварительно упростив её по правилам преобразования электрических схем (рисунок 3.4.2.)

Рис. 3.4.2. Преобразованная схема, эквивалентная параллельному соединению четырёхполюсников E и F.

Тогда: См, См, .

Полученные двумя способами результаты совпадают.

Пример 3.4.2. Определить параметры двух одинаковых параллельно соединённых четырёхполюсников с исходными параметрами: , , , представленными на рисунке 2.1.2.

Определим Y-параметры простого четырёхполюсника, входящего в состав сложного. Рассмотрим режим короткого замыкания со стороны выхода (). Тогда ; где –сопротивление четырёхполюсника со стороны входных зажимов, и – входной и выходной токи в режиме короткого замыкания.

После чего находим по формуле 1.2.6 – для П-образных:

где Ом.

Рассмотрим режим короткого замыкания со стороны входа ()

.

Тогда получим:

Определяем Y-параметры простейших рассматриваемых четырёхполюсников:

.

Определяем Y-параметры сложного четырехполюсника, включающего в себя два простых и соединённых параллельно по схеме рисунка 3.4.1.

Получаем Y-параметры сложного четырёхполюсника:

.

Рассмотрим работу схемы, приведённой на рисунке 3.4.1 под нагрузкой. Пусть Ом; В (см. рис. 3.4.3).

Рис. 3.4.3. Эквивалентная схема четырёхполюсника

для работы под нагрузкой.

Тогда Из Y-формы систем уравнений четырехполюсника, находим:

(3.4.1)

Произведём проверку. Рассчитаем эквивалентную электрическую цепь с параметрами Ом; Ом; Ом; Необходимо определить: .

а)

б)

Рис. 3.4.4. Схемы цепи, эквивалентной параллельному соединению

четырёхполюсников: а) исходная, б) преобразованная.

Полагаем (заземляем). Тогда ,

Для узлов (а) и (в) запишем уравнения по методу узловых потенциалов:

Из (2.7) и (2.8) => Находим .

Для токов в схеме:

Откуда:

Из формул (3.4.2) находим: . Результат полностью совпадает с формулой (3.4.1), что и требовалось доказать.

Глава 4. СЛОЖНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ

4.1. Последовательно-параллельное соединение

Далее рассмотрим последовательно-параллельное соединение четырёхполюсников (рис. 4.1.1).

Рис. 4.1.1. Схема последовательно-параллельного

соединения четырёхполюсников.

Для приведённой схемы справедливы выражения:

Упрощённая схема последовательно-параллельного соединения четырёхполюсников имеет вид:

 

Рис. 4.1.2. Эквивалентная схема последовательно-параллельного
соединения четырёхполюсников.

Для данной эквивалентной схемы справедливо выражение:

. (4.1.1)

Пример 4.1.1. Определить параметры двух последовательно-параллельно соединённых четырёхполюсников с исходными параметрами: первый четырёхполюсник: Ом, Ом, Ом, второй четырёхполюсник: Ом, Ом, Ом, представленными на рисунке 3.1.2 и соединённых по схеме, представленной на рисунке 4.1.1.

Определим Н-параметры простых четырёхполюсников, входящих в состав сложного.

Рассчитаем Н-параметры первого простого четырёхполюсника:

Вычисления дают:

.

Рассчитаем Н-параметры второго простого четырёхполюсника:

Вычисления дают: .

Чтобы избавится от нерегулярности при последовательно-параллельном соединении простых четырёхполюсников, соединяем их как показано на рисунке 4.1.3.

Рис. 4.1.3. Последовательно-параллельное регулярное соединение четырёхполюсников.

H-параметры сложного четырёхполюсника рисунок 4.1.3 определяем по формуле:

. (4.1.2)

Проведём проверку правильности вычислений, проведённых для получения формулы (4.1.2). Для этого рассчитаем схему в режиме работы под нагрузкой.

Пусть Ом, а В. Тогда А, а входные ток и напряжения определим через Н-параметры:

,

.

Тогда: Ом.

Проведём проверку. Преобразуем схему рис. 4.1.3 к виду, приведенному на рисунке 4.1.4.

c b