Четырехполюсники и их соединения (стр. 4 )

. (Верно)

Проведём расчёт в Y-форме:

Y- форма: , ; ; , , ; ; , , .

Данный результат совпадает с заданным значением.

2.2. П-образная схема замещения четырёхполюсника

Как уже указывалось, четырехполюсник может быть представлен Т - и
П-образной схемами замещения. Рассмотрим П-образный четырёхполюсник, изображённый на рисунке 2.2.1 и найдём его коэффициенты в различных формах записи. В дальнейшем для удобства анализа будем пользоваться или сопротивлениями ветвей и , или их проводимостями , и , соответственно равными: , и .

а с

m p

n q

а b

Рис. 2.2.1. П-образная эквивалентная схема замещения четырёхполюсника.

Рассмотри А-форму и для П-образной схемы: коэффициенты А и В определим по формулам:

(2.2.1)

. (2.2.2)

Для определения коэффициента выразим и через :

Имеем ,

Теперь (2.2.3)

(2.2.4)

Если известны коэффициенты в уравнениях четырёхполюсника, то по ним можно найти параметры эквивалентной схемы:

,, .

Подстановка коэффициентов в общем виде в формулу дает «1», что также подтверждает правильность полученных результатов:

, ,

, т. е. соотношения между коэффициентами выполняются.

Рассмотрим уравнения четырёхполюсника в Y-форме:

(2.2.5)

Определим коэффициенты четырёхполюсника, используя уравнения, составленные по методу узловых потенциалов. Для схемы на рисунке 2.2.3:

(2.2.6)

Сравнивая (2.2.5) и (2.2.6), найдём ,, и Запишем уравнение П-образного четырёхполюсника в
А-форме, используя формулы таблицы 1.2.1:

;

;

Сравнивая формулы коэффициентов четырёхполюсника, полученные по законам Кирхгофа и методом узловых потенциалов с последующим использованием формул соответствия таблицы 1.2.1. можем убедиться в их полном соответствии. Например, коэффициенты:

, и. т.д.

Пример 2.2.1. На рисунке 2.2.2 дана электрическая схема четырехполюсника (П-образная схема). Записать уравнение четырехполюсника в А-форме (предварительно вычислив коэффициенты), если R=10 Ом, XL=10 Ом, XC=10 Ом. По уравнениям четырехполюсника определить и , если а сопротивление нагрузки RН=10 Ом.

Сделать проверку, рассчитав цепь обычным способом.

m a p

n q

b

Рис. 2.2.2. Эквивалентная схема замещения П-образного четырёхполюсника.

Решение

По найденным ранее выражениям вычислим коэффициенты четырехполюсника:

,

Проверка: (верно).

Уравнения четырехполюсника:

Так как , а Ом, то . Зная это, определим

, .

Рассчитаем цепь обычным способом, считая заданными и Ом.

При этом при отсутствии равно: Ом. Тогда входное сопротивление равно: , а В и и .

Напряжение на входе цепи : .

Определим токи: , .

Проверим входное напряжение: .

Видно, что результаты расчётов двумя способами совпадают.

Определим коэффициенты уравнений П-образного четырёхполюсника, записанные в Y- и Z-формах.

Уравнения в Y-форме:

Составим уравнения по законам Кирхгофа:

. Решим его относительно тока . Тогда , откуда .

Так как , то:

Откуда ; .

Найденные коэффициенты совпадают с полученными ранее.

Пример 2.2.2. Рассчитать коэффициенты уравнений П-образного четырёхполюсника в -форме с параметрами Z4=j3 Ом, Z5=3 Ом,

Z6=–j3 Ом. Четырёхполюсник изображён на рисунке 2.2.3.

Определить токи в цепи при нагрузке Ом.

 

а

b

Рис. 2.2.3. Эквивалентная схема замещения П-образного

четырёхполюсника с нагрузкой.

Коэффициенты четырёхполюсника:

, , .

Уравнения четырёхполюсника в Y-форме:

Определим напряжение . Так как Ом и , то . Исходя из уравнений четырёхполюсника, определим:

и .

Рассчитаем токи обычным образом, по известным , .

Имеем: В, , ,

.

Ток на входе цепи равен: .

При этом ,

.

По найденному определяем : .

Видно, что результаты расчётов двумя способами совпадают и пример решён верно.

Далее рассмотрим Z-форму уравнений для П-образного четырёхполюсника:

(2.2.7)

где .

По первому закону Кирхгофа:

, , или и .

Учитывая, что и , запишем, используя второй закон Кирхгофа: или

Откуда окончательно получаем:

Далее определяем напряжение для чего воспользуемся уравнением:

, , откуда

.

Теперь окончательно получаем выражение:

.

Из полученных уравнений следует:

, , , .

Пример 2.2.3. Рассчитать П-образный четырёхполюсник (рисунок 2.2.4) используя уравнения в Z-форме, для чего сначала определим коэффициенты и затем вычислим и по уравнениям четырёхполюсника и по заданным и .

Результаты сравним с предыдущими расчётами. Исходные данные возьмём из предыдущего примера: В, В, Ом, Ом, Ом. Определим коэффициенты при неизвестных:

, Ом,

Ом.

Подставив известные значения А, А, В и А в систему (2.2.7) получим: В (верно).

В (верно).

При сравнении с предыдущими расчётами видна полная идентичность результатов, что подтверждает корректность проведённых расчётов

2.3. Входное сопротивление
и характеристические параметры четырехполюсника

Входное сопротивление четырехполюсника может рассматриваться как со стороны зажимов mn (R1вх), так и со стороны зажимов pq (-R2вх), (рис. 1.1.1). Наиболее часто входное сопротивление рассматривается со стороны зажимов mn. В этом случае оно будет равно:

(2.3.1)

Для определения входного сопротивления можно использовать уравнения четырехполюсника (наиболее удобная – А-форма); опыты х. х. и к. з.; непо-средственное определение по электрической схеме четырехполюсника, если она известна (или измерить сопротивление омметром при отключенном источнике).

Для резистивного четырехполюсника Rвх не зависит от типа воздействия. Например, для постоянного и синусоидального тока Rвх будет одно и то же (чего нельзя сказать о четырехполюсниках, содержащих реактивные элементы).

Для определения Rвх резистивного четырехполюсника воспользуемся уравнениями четырехполюсника в А-форме, в которых заменим напряжение U2 на I2Rн, например, для постоянного тока:

(2.3.2)

Непосредственно из (2.3.2) получим

. (2.3.3)

Входное сопротивление со стороны зажимов pq:

. (2.3.4)

При определении входного сопротивления со стороны зажимов pq (R2вх) также воспользуемся уравнениями четырехполюсника в А-форме, но коэффициенты А и D следует поменять местами, а напряжение заменить на I1'R1':

. (2.3.5)

В цепи синусоидального тока:

, (2.3.6)

. (2.3.7)

Формулы (2.3.6) и (2.3.7) можно записать в несколько ином виде, удобном для выражения через параметры короткого замыкания (кз) и холостого хода (хх), принимая во внимание, что:

, , , . (2.3.8)