Четырехполюсники и их соединения (стр. 2 )

4. Входное воздействие является синусоидой с изменяющейся по экспоненциальному закону амплитудой:

. (1.1.23)

Уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений:

,

Разделим левые и правые части на . Получим:

. (1.1.24)

.

Таким образом, уравнения четырехполюсника:

В полученных уравнениях токи и напряжения являются амплитудными значениями соответствующих синусоид при t=0, т. е. при e-2·0=1.

Сравнивая уравнения четырехполюсников для рассмотренных четырех случаев, можно сказать, что они отличаются только содержанием входящих в уравнения токов и напряжений. Коэффициенты А, В, С, D для всех случаев одинаковы, что является прямым следствием их независимости от типа воздействия.

Аналогичный вывод можно сделать и относительно других форм записи уравнений четырехполюсника.

1.2. Символическая форма уравнений четырехполюсников

Записать уравнение четырехполюсника непосредственно для синусоидального тока по методике, рассмотренной в предыдущем параграфе не представляется возможным. Поэтому для анализа цепей синусоидального тока уравнение четырехполюсника записывают в символической форме. Согласно символическому методу:

u~(t)=Im[]. (1.2.1)

В расчетах используется комплексная амплитуда или комплекс действующего значения и комплексное сопротивление .

Уравнения четырехполюсников в символической форме формально можно записать как уравнения для резистивных четырехполюсников, заменяя Rk на Zk, а токи и напряжения – на комплексы действующих значений токов и напряжений. Например, уравнения в А-форме будут иметь вид:

, (1.2.2)

. (1.2.3)

Коэффициенты (параметры) четырехполюсника могут быть определены различными способами, в частности, по известным токам и напряжениям в режимах холостого хода и короткого замыкания на основании следующих формул:

,,,, (1.2.4) ;, (1.2.5)

, (1.2.6)

, , , , (1.2.7)

, , , . (1.2.8)

При известной схеме внутреннего соединения четырехполюсника коэффициенты уравнений могут быть определены аналитически. Например, для схемы рис. 1.2.1 коэффициент C определяется отношением к при =0: .

 

Рис. 1.2.1. Электрическая схема четырехполюсника

в режиме холостого хода.

Непосредственно из схемы рис. 1.2.1:

; ;

.

Если конкретная схема и параметры ветвей четырехполюсника неизвестны, его коэффициенты могут быть определены из опыта холостого хода и короткого замыкания при питании и измерениях со стороны входа и со стороны выхода. Для определения А-параметров следует воспользоваться формулами:

, , , ,

где – комплексы сопротивлений холостого хода и короткого замыкания при питании схемы со стороны входных зажимов (m, n),

– комплексы сопротивлений холостого хода и короткого замыкания при питании схемы со стороны выходных зажимов (p, q).

Комплексные сопротивления при коротком замыкании и холостом ходе связаны между собой отношением:

.

Вследствие этого (а также вследствие того, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой функциональной связью) для определения A, B, C, D можно провести не четыре, а три опыта. При этом коэффициент А следует определить по формуле:

.

Остальные коэффициенты вычисляются по приведенным выше формулам.

Как уже указывалось, направления токов и напряжений на входе и на выходе четырехполюсника могли быть выбраны не только так, как на рис.1.1.1.

Тогда уравнения четырехполюсника будут иметь несколько иной вид.

Далее все соотношения будут относиться к направлениям, указанным на рис.1.1.1.

Между коэффициентами четырехполюсника, представленного различными формами записи уравнений, существует функциональная связь.

Например, Y-параметры могут быть выражены через А-параметры,
А-параметры через Z-параметры и т. п. (см. табл. 1.2.1).

Таблица 1.2.1. Связь между коэффициентами

различных систем уравнений четырехполюсника

 

 

 

Пример 1.2.1. Определить -параметры трансформатора (рис. 1.2.2) как четырехполюсника. Проверить соотношение

М

Дано:

* *

Х1 Х2

Рис. 1.2.2. Эквивалентная схема замещения трансформатора.

Решение

Для определения Z-параметров составим уравнения по второму закону Кирхгофа для левого и правого контуров в соответствии с обозначенными на чертеже направлениями обходов. Предварительно обозначим: Для левого и правого контуров соответственно:

Сравним с уравнениями четырехполюсника в Z-форме:

Откуда:

Условие выполняется.

Пример 1.2.2. У несимметричного четырехполюсника со стороны первичных зажимов были измерены напряжения, токи, мощности и определен характер угла в режимах холостого хода и короткого замыкания вторичных зажимов. Аналогичные измерения были выполнены со стороны вторичных зажимов при коротком замыкании первичных. Измерения дали следующие результаты:

В, А, Вт, .

В, А, Вт, .

В, А, Вт, .

Определить А-параметры четырехполюсника.

Решение

Используя данные измерений, определим комплексные сопротивления

Модуль сопротивления равен: Ом.

Аргумент сопротивления определим из формулы , откуда:

Таким образом:

Ом.

Аналогично определяем :

Ом;

Откуда

Ом.

По результатам последнего опыта определяем :

Ом;

Ом.

По найденным значениям комплексных сопротивлений определим
А-параметры четырехполюсника:

Ом; См;

.

Пример 1.2.3. Определить входные сопротивления четырёхполюсника, рассмотренного в примере 1.2.1, и его зависимость от сопротивления нагрузки, если последнее имеет чисто активный характер и изменяется от нуля (режим короткого замыкания) до бесконечности (режим холостого хода).

Решение

Входное сопротивление можно определить как отношение комплексов напряжения и тока на входе четырёхполюсника:

.

Подставляя числовые данные, получим:

.

При , входное сопротивление будет равно: , при , входное сопротивление будет равно: Ом.

1.3. Уравнения четырёхполюсников в обобщенной форме

В некоторых случаях уравнения четырехполюсника удобно записать в обобщённой форме, используя преобразование входного воздействия в функцию , где – комплексная частота . Если воспользоваться функцией:

, (1.3.1)

то из выражения (1.3.1) можно вывести четыре типа воздействия, как частные случаи (постоянное напряжение, экспоненциальное, синусоидальное и синусоидальное с изменяющейся по экспоненте амплитудой). При этом, по аналогии с символическим методом, можно ввести преобразование:

≓, (1.3.2)

где – преобразованное в функцию от напряжение , – комплексная амплитуда.

Между и можно записать следующее соотношение

(1.3.3)

То есть , (1.3.4)

где – сопряженный комплекс напряжения;

– сопряженная комплексная частота.

Напряжение можно определить как:

. (1.3.5)

При использовании преобразования (1.3.2) вводят понятия обобщённого сопротивления k-й ветви :

. (1.3.6)

Таким образом, имея (1.3.2) и (1.3.6), уравнение четырёхполюсника можно записать для обобщённого экспоненциального воздействия (1.3.1) и для получаемых из него частных случаев. Например, уравнения в А-форме для обобщённого воздействия:

. (1.3.7)

В уравнения (1.3.7) индекс m при токах и напряжениях опущен с целью удобства записи. Необходимо отметить, что обобщенные токи и напряжения в уравнениях (1.3.7) содержат общий множитель , на который можно сократить левые и правые части уравнений. В результате получим:

(1.3.8)

В формулах (1.3.8) токи напряжения представляют собой обобщенные комплексные амплитуды, соответствующие значениям I(s) и U(s) при t=0.

Из (1.3.7) можно получить частный случай уравнения четырёхполюсника для постоянного напряжения, если принять .

Тогда Причём надо отметить, что в исходной схеме индуктивность закорачивается, а ёмкость разрывается.

Для экспоненциального напряжения , . Для синусоидального напряжения ,

Для обобщенного воздействия типа (1.3.1) сопротивление определяется формулой (1.3.6), а общий вид преобразования – функцией (1.3.2).

Пример 1.3.1. Проведём анализ уравнений четырёхполюсника для схемы рис.1.3.1 при действии на входе цепи напряжений разного типа, на основании преобразования (1.3.2). При этом дано: R=3 Ом, Rн=2 Ом, L=1 Гн, C=0,01 Ф, σ=±2 с-1, Um=10 В, ω=20 с-1, ψ=30°.

Рис. 1.3.1. Электрическая схема четырёхполюсника с нагрузкой.

Решение

Уравнения четырехполюсника в А-форме были записаны ранее (в системе 1.3.7).

Коэффициенты А(s), В(s), С(s), D(s), определим, например, по законам Кирхгофа:

(1.3.9)

(1.3.10)

Сопоставляя (1.3.9) и (1.3.10) с системой (1.3.7), получим:

, (1.3.11); , (1.3.12)

, (1.3.13); . (1.3.14)

Найдем связь между коэффициентами четырехполюсника в обобщенной форме:

Для найденных коэффициентов выполняется уравнение связи между коэффициентами четырехполюсника:

.

Далее проанализируем работу четырехполюсника при следующих типах воздействий: постоянная ЭДС, синусоидальная, экспоненциальная и синусоидальная с изменяющейся по экспоненте амплитудой; параметры элементов: R=3 Ом, Rн=2 Ом, L=1 Гн, Ck=0,01 Ф, σ=±2 с-1, U1m=10 В, ω=20 с-1, y =30°.

1. Постоянный ток. В этом случае параметры обобщенного воздействия: s=0, ω®0, α=0, σ=0, t=0. Примем Um=U=10 B. Найдем U(s).

, т. е. U(s)=10 В.

Определим коэффициенты четырехполюсника, используя выражения (1.3.11) – (1.3.14):

Имея в виду, что , , получим:

.

Получим:

,

Ом,

См,

.

Условие выполняется.

Уравнения четырехполюсника в А-форме:

2.1. Экспоненциальное воздействие ().

σ=2, ω=0, s=σ+jω, s=2, t=0, ψ=0, U=U1=10B.

.