Учебно-методический комплекс дисциплины Дифференциальные уравнения (стр. 10 )

Для нахождения частного решения нужно составить выражение:

(48)

Если не корень характеристического уравнения, то ищем в виде:

, (49)

где максимальная из степеней и , т. е , и - многочлены степени с неопределенными пока коэффициентами.

Если корень характеристического уравнения, то ищем в виде: , (50)

где максимальная из степеней и , т. е , и - многочлены степени с неопределенными пока коэффициентами.

ÖОбратите внимание на то, что полиномы , где записываются в общем виде следующим образом: 1) если , то ; 2) если , то ; 3) если , то ; 4) и т. д.

 

 

— Пример № 5 (см. диф. уравнение 4) в начале лекции).

(51) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решим его методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

ÖОбратите внимание на то, что метод вариации произвольных постоянных, как наиболее общий метод, так же применим для нахождения общего решения предложенного уравнения.

Применить метод подбора (метод неопределённых коэффициентов) мы можем т. к. правая часть данного ДУ представляет собой комбинацию полиномов от , тригонометрических выражений ( и ) и множителя , т. е. имеет вид:

В нашем случае правую часть можно представить:

,

т. е. ,, , , , (52)

Итак, дальше следуем алгоритму решения согласно случаю 2 (см. опорный конспект темы «Диф. уравнения 2-го порядка», третий и четвёртый лист).

Согласно приведённой выше теореме:

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Выражение для мы уже нашли (см. пример № 1):

Корни характеристического уравнения :

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

Согласно алгоритму составляем выражение (см. (48)):

(53)

Видим, что найденное выражение не совпадает с корнями характеристического уравнения , а значит частное решение линейного неоднородного диф. уравнения ищем (см. опорный конспект или формулу (49)) в виде:

С учётом (52):

(54)

Здесь максимальная из степеней и , т. е , и - многочлены степени с неопределенными пока коэффициентами.

Т. к. и , то .

Тогда многочлены 1-ой степени и в общем виде записываются:

и (55)

Подставим (55) в (54):

(56)

Для подстановки выражений в (51) нам не хватает и . Найдём их.

+

Получили:

(57)

Получили:

(58)

Подставим (56), (57) и (58) в (51):

Примечание: коэффициенты слева от вертикальной черты – это коэффициенты перед и в исходном уравнении (51) и на них умножаем каждое слагаемое в соответствующих строчках.

Суммируем полученные выражения, группируя отдельно выражения при в разных степенях и приравниваем к из правой части исходного уравнения:

Приравниваем в последнем равенстве выражения при и , стоящие слева и справа от знака равно:

Приравниваем в последней системе выражения при различных степенях , стоящие слева и справа от знака равно:

Решая данную систему находим:

(59)

Теперь выражения (55) примут вид:

и (60)

Подставляем (60) в (54):

(61) это частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2-ой этап решения окончен.

Для нахождения окончательного ответа подставим выражения (13) и (61) в (9):

(62)

Ответ: это общее решение предложенного линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

— Пример № 6 (см. диф. уравнение 5) в начале лекции).

(63) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решим его методом подбора (методом неопределённых коэффициентов). ÖОбратите внимание на то, что метод вариации произвольных постоянных, как наиболее общий метод, так же применим для нахождения общего решения предложенного уравнения.

Сразу оговоримся, что полностью показывать решение не будем: научимся только составлять .

Применить метод подбора (метод неопределённых коэффициентов) мы можем т. к. правая часть данного ДУ представляет собой комбинацию полиномов от , тригонометрических выражений ( и ) и множителя , т. е. имеет вид: