Теорема 1.1.1 (О существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть

(1.5)

- дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t, x) задана на некотором открытом множестве D плоскости R2(t, x) переменных t, x. Относительно функции f(t, x) будем предполагать, что она непрерывна на D и удовлетворяет на этом множестве условию Липшица (1.4) относительно x (равномерно по t). Теорема утверждает, что:

1) для всякой точки (t0, x0) О D найдется решение x = j(t) уравнения (1.5), удовлетворяющее начальному условию

(1.6)

2) если два решения x = y(t) и x = c(t) уравнения (1.5) совпадают хотя бы для одного значения t1, т. е. если

y(t1) = c(t1),

то эти решения тождественно равны для всех значений переменного t, для которых они оба определены.

Таким образом, теорема 1.1.1 утверждает, что координаты любой точки (t0, x0) множества D являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (1.5) и что два решения с общими начальными значениями совпадают на пересечении их интервалов определения.

Геометрическое содержание теоремы 1.1.1 заключается в том, что через каждую точку (t0, x0) О D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1.5).

Говоря, что через каждую точку (t0, x0) О D проходит "только одна" интегральная кривая, мы допустили некоторую неточность. Действительно, решением уравнения (1.5) называется функция x = y(t), заданная на вполне определенном интервале r1 < t < r2. Наряду с этой функцией может существовать функция x = c(t), также удовлетворяющая уравнению (1.5) и начальному условию (1.6), заданная на другом интервале s1 < t < s2. Вторая часть теоремы 1.1.1 утверждает лишь, что функции y(t) и c(t) совпадают лишь там, где они обе определены, но вовсе не утверждает, что их интервалы определения r1 < t < r2 и s1 < t < s2 одинаковы.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Говорят, что решение x = y(t), заданное на интервале s1 < t < s2 является продолжением решения x = j(t), заданного на интервале r1 < t < r2, если  (r1,r2) М (s1,s2)  и  y(t) є j(t)  " t О (r1,r2). Решение называется непродолжаемым, если не существует никого отличного от него продолжения. Далее будет доказано, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого, причем единственным образом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение теоремы 1.1.1 о том, что через каждую точку (t0, x0) О D проходит единственная интегральная кривая, становиться точным.

Замечание к теореме 1.1.1. Если правая часть f(t,x) уравнения (1.5) не удовлетворяет условию Липшица (1.4), то вторая часть теоремы (о единственности), вообще говоря, не справедлива. Действительно, рассмотрим уравнение

(1.7)

Правая часть этого уравнения определена и непрерывна при всех x, однако условию Липшица в областях, содержащих точки (t,0), не удовлетворяет, ибо для точек (t,0), (t, x) не существует постоянной M > 0 такой, что

С другой стороны, ясно, что в любой области P плоскости R2(t, x), не пересекающейся с прямой x = 0, к уравнению (1.7) теорема 1.1.1 применима, и таким образом, в каждой из полуплоскостей x > 0 и x < 0 через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, уравнение которой можно найти явно. Действительно, нетрудно убедиться, что при любой постоянной c функция

(1.8)

уравнению (1.7) удовлетворяет.

Часть графика функции (1.8) (при t < c) проходит в полуплоскости x < 0, часть же (при t > c) - в полуплоскости x > 0. Функция x є 0, очевидно, также является решением уравнения (1.7).

Таким образом, через каждую точку (t, x) = (c,0) проходят два решения уравнения (1.7): решение (1.8) и решение x є 0.

В качестве иллюстрации теоремы 1.1.1 рассмотрим задачу об отыскании всех решений простейшего дифференциального уравнения

(1.9)

где a - действительная постоянная. В данном случае правая часть f(t,x) = ax определена на всей плоскости (t, x) и удовлетворяет на ней условию Липшица с постоянной M = |a|. Таким образом, теорема 1.1 к уравнению (1.9) применима. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая функция

(1.10)

где C - произвольное действительное число, является решением уравнения (1.9). Интервалом определения решения (1.10) является вся прямая t О (-Ґ,+Ґ) и поэтому оно является непродолжаемым. Покажем, что формула (1.10) исчерпывает все решения уравнения (1.9). Действительно, пусть x = j(t) - произвольное решение этого уравнения, заданное на интервале r1 < t < r2. Пусть t0 О (r1,r2) - произвольная точка иx0 = j(t0). Если в качестве постоянной C принять величину

то тогда два решения x = j(t) и  уравнения (1.9) имеют одинаковые начальные значения t0, x0 и поэтому в силу второй части теоремы 1.1.1 совпадают. Таким образом, придавая постоянной Cв (1.10) всевозможные значения, мы получим все решения уравнения (1.9).

Пример 1: Решите диф. уравнение:

Этапы реше-

ния

Математические действия

Комментарии

0

Если ДУ содержит , то его нужно заменить на .

Если в ДУ уже присутствуют знаки дифференциалов, то этот пункт пропускают (поэтому в нумерации этапов поставлен 0).

1

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая только от , а справа – функция, зависящая только от .

Примечание:

1)  начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов: должен оказаться слева, а - справа;

2)  постоянные множители лучше собирать справа (со стороны «х»).

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), а справа – функция, которая зависит от и(и это плохо: мешает).

2

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), справа – функция, которая зависит только от (и это хорошо).

Мы получили уравнение с разделёнными переменными (слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от, справа – функция, зависящая только от )

После того, как получили ДУ с разделёнными переменными – интегрируем.

Примечание: обратите внимание на то, что константу интегрирования записываем только с одной стороны (справа)

3

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы найти .

Полученное решение называется общим решением дифференциального уравнения (ОРДУ)

Пример 2: Решите диф. уравнение:

Этапы реше-

ния

Математические действия

Комментарии

0

Если ДУ содержит , то его нужно заменить на .

Если в ДУ уже присутствуют знаки дифференциалов, то этот пункт пропускают (поэтому в нумерации этапов поставлен 0).

1

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая только от , а справа – функция, зависящая только от .

Примечание:

1) начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов: должен оказаться слева, а - справа;

2) постоянные множители лучше собирать справа (со стороны «х»).

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), а справа – функция, которая зависит от и(и это плохо: мешает).

2

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), справа – функция, которая зависит только от (и это хорошо).

Мы получили уравнение с разделёнными переменными (слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от, справа – функция, зависящая только от )

После того, как получили ДУ с разделёнными переменными – интегрируем.

Примечание:

1) если хотя бы одна первообразная представляет собой логарифм, то константу интегрирования записывают как логарифм постоянной с тем же основанием (в нашем случае )

2)обратите внимание на то, что константу интегрирования записываем только с одной стороны (справа)

3

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы найти .

Для получения этого выражения применили формулу

Полученное решение называется общим решением дифференциального уравнения (ОРДУ)

Пример 3: Решите диф. уравнение:

Этапы реше-

ния

Математические действия

Комментарии

 

1

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая только от , а справа – функция, зависящая только от .

Примечание:

1)начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов: должен оказаться слева, а - справа;

2) постоянные множители лучше собирать справа (со стороны «х»).

 

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит от и (и это плохо: мешает )

 

Сейчас справа от знака равно стоит функция, которая зависит от и (и это плохо: мешает )

 

2

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), справа – функция, которая зависит только от (и это хорошо).

Мы получили уравнение с разделёнными переменными (слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от, справа – функция, зависящая только от )

 

После того, как получили ДУ с разделёнными переменными – интегрируем.

 

 

Примечание:

1) если хотя бы одна первообразная представляет собой логарифм, то константу интегрирования записывают как логарифм постоянной с тем же основанием (в нашем случае )

2) обратите внимание на то, что константу интегрирования записываем только с одной стороны (справа)

 

3

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы найти .

Для получения этого выражения применили формулу

 

Для получения этого выражения применили формулу

 

Т. к. равны логарифмы, равны основания логарифмов, то будут равны и выражения, стоящие под знаком логарифма.

Полученное решение называется общим решением дифференциального уравнения (ОРДУ)

 

 

Пример 4: Решите диф. уравнение: ,

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11