Учебно-методический комплекс дисциплины Дифференциальные уравнения (стр. 8 )

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Найдём общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

(10) это соответствующее линейное однородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения его решения составим характеристическое уравнение:

По т. Виета: (11) это корни характеристического уравнения (вещественные и различные), тогда общее решение имеет вид:

(12)

(11) в (12):

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.

Частное решение (8) ищем в виде (13), но заменим и новыми неизвестными функциями и , которые нужно отыскать в ходе решения, т. е. решение ищем в виде:

(14)

Составляем систему уравнений (см. (7), причём ;; - правая часть исходного уравнения):

(15)

Для того, что бы найти вычитаем из 2-го уравнения системы (15) 1-ое:

данный интеграл находится методом интегрирования по частям.

Примечание: константу положили равной нулю, т. к. при нахождении у нас уже есть константы и , а большее их количество для ДУ 2-го порядка является излишним.

Получили:

(16)

Для того, что бы найти вычитаем из 2-го уравнения системы (15) умноженное на «2» 1-ое уравнение:

данный интеграл находится методом интегрирования по частям.

Примечание: константу положили равной нулю, т. к. при нахождении у нас уже есть константы и , а большее их количество для ДУ 2-го порядка является излишним.

Получили:

(17)

Подставляем (16) и (17) в (14):

(18) это частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2-ой этап решения окончен.

Подставляя (13) и (18) в (9) окончательно получаем:

Ответ: это общее решение предложенного линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Найдите в опорном конспекте темы «Диф. уравнения 2-го порядка» расположение материала «Метод вариации произвольных постоянных» и проследите внимательно основные этапы решения этим методом.

2.Отыскание частных решений неоднородных линейных диф. уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (метод подбора или метод неопределённых коэффициентов).

СЛУЧАЙ 1: правая часть линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами представляет собой полином от , умноженный на :

(19), где порядок полинома.

Полезная информация:

Степень полинома	Внешний вид полинома
и т. д.	и т. д.

ÖОбратите внимание на то, что сейчас учимся находить методом подбора (методом неопределённых коэффициентов), а мы находить умеем (см. в примере1 этой лекции первый этап решения или см. в опорном конспекте темы «Диф. уравнения 2-го порядка» блок1). При этом общее решение по-прежнему будет находиться по формуле .

Будем искать в виде:

(20), где - полином степени , но с неопределёнными пока коэффициентами.

ÖОбратите внимание на то, что полином имеет ту же степень, что и , только записывается в общем виде (см. таблицу «Полезная информация№1» приведённую ниже, а так же опорный конспект темы(четвёртый лист)).

Для удобства обозначим и найдём 1-ю и 2-ю производные:

Найденные выражения подставляем в (19):

, где

Сократим на , т. к. в ноль не обращается. Перегруппируем слагаемые внутри квадратных скобок:

Анализ полученного уравнения приведён в виде таблицы (найдите её в опорном конспекте темы «Диф. уравнения 2-го порядка» в блоке 3):

Линейное неоднородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
Соответствующее однородное ДУ:
Характеристическое уравнение:
	не является корнем характер-го уравнения	Характер-ое уравнение имеет два различных корня (), и совпадает с одним из них	Характер-ое уравнение имеет один корень (), и совпадает с ним
Частное решение
Полезная информация №1: - полином той же степени , что и , только записанный в общем виде: если , то ; если , то ; если , то ; если , то и т. д.

— Пример № 2 (см. диф. уравнение 1) в начале лекции).

(8) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Мы его решили методом вариации произвольных постоянных, теперь решим методом подбора (методом неопределённых коэффициентов). Применить этот метод мы можем т. к. правая часть данного ДУ представляет собой полином от , умноженный на :

, т. е. (полином степени ), .

Согласно приведённой выше теореме:

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Выражение для мы уже нашли (см. пример №1):

Корни характеристического уравнения :

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

В данном примере , .

Согласно таблице мы должны проанализировать на предмет совпадения с и:

, т. е. не является корнем характеристического уравнения, а значит (см. таблицу) частное решение имеет вид :

(21)

С учётом получаем:

(22)

Полином имеет ту же степень, что и (см. приложение в таблице). Т. к. имеет степень , то тоже имеет степень , а значит, записывается в общем виде следующим образом:

(23)

(23) в (22):

(24)

В выражении (8) кроме присутствуют и , поэтому найдём 1-ю и 2-ю производные от :