Учебно-методический комплекс дисциплины Дифференциальные уравнения (стр. 5 )

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 4 (Практическое).

Тема: Контрольная работа №1 по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка».

Цель: проверить знания студентов по теме дифференциальные уравнения первого порядка.

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Перечень практических навыков.

1.  Знать определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

2.  Уметь определять порядок ДУ.

3.  Уметь находить общее решение ДУ.

4.  Уметь находить частное решение ДУ.

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1)  Дифференциальное уравнение и его порядок. Виды решения ДУ.

2)  Алгоритмы решения ДУ первого порядка.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№	Этап занятия	Время
1	Организация занятия	5 мин
2	Определения цели и темы занятия	5 мин
5	Выполнение контрольной работы задач по теме	80 мин
6	Проведение итогов занятия и проверка итогового уровня знаний.	10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие Калькуляторы	Производная функции Интеграл функции

Краткое содержание темы.

Выполнение варианта контрольной работы по теме

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 5 (Практическое).

Тема: Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка и их решение.

Цель: закрепить лекционный материал данной темы; учиться решать дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка; выявить уровень усвоения материала прошлого занятия (выполнение самостоятельной работы.)

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Перечень практических навыков.

1.  Уметь решать ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и имеющего вид: ;

2.  Уметь решать ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего искомой функции;

3.  Уметь решать ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего независимой переменной х.

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Алгоритм решения ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и имеющего вид: ;

2.  Алгоритм решения ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего искомой функции;

3.  Алгоритм решения ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего независимой переменной х.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№	Этап занятия	Время
1	Организация занятия	5 мин
2	Определения цели и темы занятия	5 мин
4	Разбор основных вопросов практического занятия	10 мин
5	Решение задач по теме занятия	70 мин
6	Проведение итогов занятия и проверка итогового уровня знаний.	10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие Калькуляторы	Производная функции Интеграл функции

Краткое содержание темы

1. а) Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка и имеющие вид . (1)

ÖОбратите внимание на то, что левая часть дифференциального уравнения (1) содержит только производную порядка, а правая часть - функцию, которая зависит от .

Ö Обратите внимание на то, что если изначально дифференциальное уравнение не имеет вид (1), то следует задуматься над возможностью придания ему этого вида.

A Решение уравнений вида (1) находится n-кратным интегрированием, т. е. если предложено диф. уравнение 2-го порядка вида (1), то интегрировать нужно 2 раза, если 3-его порядка – 3 раза и т. д.

? Какое(-ие) из приведённых в начале лекции диф. уравнений соответствует(-ют) виду (1) или путём преобразований приводится к нему? (Ответ: это уравнения под номерами 2)и 3)). Рассмотрим их решения:

— Пример № 1 (см. диф. уравнение 2) в начале лекции):

это диф. уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка и имеющего вид .

По условию предлагаются , , а значит, требуется получить частное решение дифференциального уравнения. Но сначала получим общее решение диф. уравнения.

Т. к. это уравнение 2-го порядка вида (1), то, для получения общего решения, дважды проинтегрируем правую часть:

(2)

(3) это общее решение диф. уравнения.

Найдём частное решение, для чего подставим в выражения (2) и (3) условия , (фактически решается система 2-ух уравнений с двумя неизвестными).

подставляем в (2):

и подставляем в (3):

Найденные константы и подставляем в общее решение диф. уравнения (3):

(4) это частное решение диф. уравнения.

Ответ: это общее решение диф. уравнения;

это частное решение диф. уравнения.

— Пример № 2 (см. диф. уравнение 3) в начале лекции):

это диф. уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка и приводящееся к виду .

Перенесём второе и третье слагаемые из левой части в правую, что бы придать уравнению вид (1):

, здесь

Т. к. это уравнение 2-го порядка вида (1), то, для получения решения, дважды проинтегрируем правую часть:

это общее решение диф. уравнения.

Дополнительных условий пример не содержит, а значит, ограничимся только отысканием общего решения (частное решение искать не будем).

Ответ:это общее решение диф. уравнения.

ÖОбратите внимание, на то, что мы сейчас решаем диф. уравнения второго порядка, а значит, у нас в ходе решения должно быть две константы: и. За этим обстоятельством нужно чётко следить и контролировать себя на предмет потери этих констант.

Ö Обратите внимание: только что рассмотренный метод решения позволяет решать и диф. уравнения более высоких порядков, при условии, что они имеют вид (1) или к нему сводятся.

1. б) Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка и не содержащие функции , т. е. имеющие вид (5)

ÖОбратите внимание, на то, что уравнение не содержит именно функцию , а не букву как таковую, т. е. производные функции , присутствуют в уравнении.

A Для решения диф. уравнений типа (5) вводят новую функцию , при этом .

? Какое(-ие) из приведённых в начале лекции диф. уравнений соответствует(-ют) виду (5) или путём преобразований приводится к нему? (Ответ: это уравнение под номерам 1)). Рассмотрим его решение:

— Пример № 3 (см. диф. уравнение 1) в начале лекции):

это диф. уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка и не содержащее функции .

Введём новую функцию (6)

После введения новой функции уравнение примет вид:

это диф. уравнение с разделяющимися переменными

® (7) Вспомним нашу замену и подставим её в (7):	Интегралы, которые требуют определённого решения и не могут быть найдены сходу, решаются отдельно: само диф. уравнение оформляется в столбик, а за вертикальной чертой находятся интегралы(интеграл в левой части ниже найден методом замены переменой, но его также можно найти методом внесения под знак дифференциала или применив «очень полезные формулы» ):
(8) (9)	это диф. уравнение с разделяющимися переменными интеграл в правой части можно найти, выполнив замену , или используя метод внесения под знак дифференциала, или применив «очень полезные формулы» это общее решение диф. уравнения. Дополнительных условий пример не содержит, а значит, ограничимся только отысканием общего решения (частное решение искать не будем).

Ответ: это общее решение диф. уравнения.