Учебно-методический комплекс дисциплины Дифференциальные уравнения (стр. 9 )

Найденные выражения подставляем в (8):

Сгруппируем отдельно слагаемые при разных степенях :

(25)

(25) в (24):

(26) это частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2-ой этап решения окончен.

Для нахождения окончательного ответа подставим выражения (13) и (26) в (9):

Обратите внимание, что ответы в примере № 1 и примере № 2 совпадают. Это и понятно, т. к. решали один и тот же пример, только разными способами.

Ответ: это общее решение предложенного линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

— Пример № 3 (см. диф. уравнение 2) в начале лекции).

(27) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решим его методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

ÖОбратите внимание на то, что метод вариации произвольных постоянных, как наиболее общий метод, так же применим для нахождения общего решения предложенного уравнения.

Применить метод подбора (метод неопределённых коэффициентов) мы можем т. к. правая часть данного ДУ представляет собой полином от , умноженный на :

, т. е. (полином степени ), .

Согласно приведённой выше теореме:

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Выражение для мы уже нашли (см. пример № 1):

Корни характеристического уравнения :

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

В данном примере , .

Согласно таблице мы должны проанализировать на предмет совпадения с и:

, т. е. не является корнем характеристического уравнения, а значит (см. таблицу) частное решение имеет вид :

(28)

С учётом получаем:

(29)

Полином имеет ту же степень, что и (см. приложение в таблице). Т. к. имеет степень , то тоже имеет степень , а значит, записывается в общем виде следующим образом:

(30)

(30) в (29):

(31)

В выражении (27) кроме присутствуют и , поэтому найдём 1-ю и 2-ю производные от :

Получили:

(32)

Подставим (32) в (27). При этом, обратим внимание, на то, что множитель будет присутствовать и в левой, и в правой частях выражения, а, значит, на него можно сократить. Фактически вместо системы (32) можно работать при подстановке в (27) с системой вида:

(33)

Примечание: коэффициенты слева от вертикальной черты – это коэффициенты перед и в исходном уравнении (27) и на них умножаем каждое слагаемое в соответствующих строчках.

Суммируем полученные выражения, группируя отдельно выражения при в разных степенях и приравниваем к из правой части исходного уравнения:

Приравниваем в последнем равенстве выражения при в одинаковой степени, стоящие слева и справа от знака равно:

(34)

Подставляем (34) в (31):

(35) это частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2-ой этап решения окончен.

Для нахождения окончательного ответа подставим выражения (13) и (35) в (9):

(36)

Ответ: это общее решение предложенного линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

— Пример № 4 (см. диф. уравнение 3) в начале лекции).

(37) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решим его методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

ÖОбратите внимание на то, что метод вариации произвольных постоянных, как наиболее общий метод, так же применим для нахождения общего решения предложенного уравнения.

Применить метод подбора (метод неопределённых коэффициентов) мы можем т. к. правая часть данного ДУ представляет собой полином от , умноженный на :

, т. е. (полином степени ), .

Согласно приведённой выше теореме:

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Выражение для мы уже нашли (см. пример № 1):

Корни характеристического уравнения :

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

В данном примере , .

Согласно таблице мы должны проанализировать на предмет совпадения с и:

совпадает с одним из корней – корнем , а значит (см. таблицу) частное решение имеет вид :

(38)

С учётом получаем:

(39)

Полином имеет ту же степень, что и (см. приложение в таблице). Т. к. имеет степень , то тоже имеет степень , а значит, записывается в общем виде следующим образом:

(40)

(40) в (39):

(41)

В выражении (37) кроме присутствуют и , поэтому найдём 1-ю и 2-ю производные от :

Получили:

(42)

Подставим (42) в (37). При этом, обратим внимание, на то, что множитель будет присутствовать и в левой, и в правой частях выражения, а, значит, на него можно сократить. Фактически вместо системы (42) можно работать при подстановке в (37) с системой вида: (43)

Примечание: коэффициенты слева от вертикальной черты – это коэффициенты перед и в исходном уравнении (37) и на них умножаем каждое слагаемое в соответствующих строчках.

Суммируем полученные выражения, группируя отдельно выражения при в разных степенях и приравниваем к из правой части исходного уравнения:

Приравниваем в последнем равенстве выражения при в одинаковой степени, стоящие слева и справа от знака равно:

(44)

Подставляем (44) в (41):

(45) это частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2-ой этап решения окончен.

Для нахождения окончательного ответа подставим выражения (13) и (45) в (9):

(46)

Ответ: это общее решение предложенного линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

СЛУЧАЙ 2: правая часть линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами представляет собой комбинацию полиномов от , тригонометрических выражений ( и ) и множителя :

(47), где и порядок полиномов.

ÖОбратите внимание на то, что сейчас учимся находить методом подбора (методом неопределённых коэффициентов), а мы находить умеем ( см. в опорном конспекте темы «Диф. уравнения 2-го порядка» блок1). При этом общее решение по-прежнему будет находиться по формуле .