В нашем случае правую часть можно представить:

,

т. е. ,, , , , (64)

Итак, дальше следуем алгоритму решения согласно случаю 2 (см. опорный конспект темы «Диф. уравнения 2-го порядка», третий и четвёртый лист).

Согласно приведённой выше теореме:

(9)

1-ый этап решения: нахождение

Выражение для мы уже нашли (см. пример № 1):

Корни характеристического уравнения :

(13) это общее решение соответствующего линейного однородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1-ый этап решения закончен.

2-ой этап решения: нахождение

Найдём частное решение линейного неоднородного диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом подбора (методом неопределённых коэффициентов).

Согласно алгоритму составляем выражение (см. (48)):

(65)

Видим, что найденное выражение не совпадает с корнями характеристического уравнения , а значит частное решение линейного неоднородного диф. уравнения ищем (см. опорный конспект или формулу (49)) в виде:

С учётом (64):

(66)

Здесь максимальная из степеней и , т. е , и - многочлены степени с неопределенными пока коэффициентами.

Т. к. и , то .

Тогда многочлены 2-ой степени и в общем виде записываются:

и (67)

Подставим (67) в (66):

(68)

Ранее мы оговорили, что полностью решение показывать не будем.

B Используя четвёртый лист опорного конспекта темы «Диф. уравнения 2-го порядка» (см. Случай 2), дома доведите решение этого примера до конца.

ÖОбратите внимание на то, что мы на лекции рассмотрели только получение общих решений . Если требуется найти частное решение исходного дифференциального уравнения (не путать с !!!), то его получают, подставляя дополнительные условия в и в заранее найденное . Из полученных выражений находят константы и , а потом их подставляют в и получают .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 8 (Практическое).

Тема: Решение задач с помощью дифференциальных уравнений.

Цель: научиться составлять по условию задачи дифференциальное уравнение, и применив знания полученные на занятиях, решить его.

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Перечень практических навыков.

1.  Знать алгоритмы решений дифференциальных уравнений.

2.  Знать основные классы задач на составление дифференциальных уравнений.

3.  Уметь решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Алгоритмы решений дифференциальных уравнений;

2.  Основные классы задач на составление дифференциальных уравнений.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№

Этап занятия

Время

1

Организация занятия

5 мин

2

Определения цели и темы занятия

5 мин

4

Разбор основных вопросов практического занятия

10 мин

5

Решение задач по теме занятия

70 мин

6

Проведение итогов занятия и проверка итогового уровня знаний.

10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие

Калькуляторы

Производная функции

Интеграл функции

Краткое содержание темы.

Применение диф. уравнений для решения задач.

Рассмотрим некоторые задачи, в ходе решения которых используются рассмотренные ранее алгоритмы решения диф. уравнений.

A При решении задач с применением диф. уравнений Вам будет полезна следующая информация:

1. Для химической реакции 1-го порядка справедливо диф. уравнение:

(69а), где число непрореагировавших молей (т. е. то, что осталось),

- константа скорости

2. Для химической реакции 1-го порядка справедливо диф. уравнение:

(69b), где число непрореагировавших молей (т. е. то, что осталось),

- константа скорости

При решении задач с применением диф. уравнений физического содержания помните:

1.Для мгновенной скорости справедливо выражение:

2.Для ускорения справедливо выражение:

3. Сила трения может быть записана как:

4. Сила упругости может быть записана как:

Примечание: здесь приведены наиболее часто встречающиеся формулы, однако общее количество применяемых формул этим набором не ограничивается.

— Пример № 7 (задача).

В реакции 2-го порядка участвуют реагенты с начальными концентрациями и расходуются на 10 % за . Вычислить: 1) константу скорости ; 2) время необходимое для расхода реагентов на 20 % 3) закон изменения концентрации.

В задаче речь идёт о хим. реакции 2-го порядка, значит для решения используем формулу (69b): . Важным является то обстоятельство, что число непрореагировавших молей (т. е. то, что осталось).

Начальная концентрация может быть записана в виде: .По условию задачи расход за составил 10 %, а значит остаётся 90 %.

Используя пропорцию, найдём концентрацию через 20 мин.:

.

Теперь можем записать: .

Во втором вопросе задачи расход составляет 20 %, а значит остаётся 80 %. Тогда:

.

Все необходимые пересчёты сделаны и теперь оформляем «Дано».

Дано:

число непрореагировавших молей (т. е. то, что осталось);

время (в мин.)

,

- константа скорости

_____________________________________________________

Найти: 1)

2) ,

3)

Решение.

это диф. уравнение с разделяющимися переменными

Далее можно решать стандартно (через неопределённый интеграл), а можно решать более рационально - с применением определённого интеграла. Рассмотрим рациональное решение.

(70)

(71) это мы нашли константу скорости хим. реакции, тем самым ответив на 1-ый вопрос задачи.

Ответим на второй вопрос задачи. Выражение (70) примет вид:

(72) это мы нашли время, необходимое для расхода реагентов на 20 %, тем самым, ответив на 2-ой вопрос задачи.

Ответим на третий вопрос задачи. Выражение (70) примет вид:

(73) это мы нашли закон изменения концентрации, тем самым, ответив на 3-ий вопрос задачи.

Ответ:

1) константа скорости ;

2) время, необходимое для расхода реагентов на 20 % составляет ;

3) закон изменения концентрации имеет вид: .

ÖОбратите внимание на то, что при решении этой задачи рационален был бы следующий порядок ответов на предложенные вопросы:

1. сначала найти константу скорости хим. реакции;

2.потом найти закон изменения концентрации;

3. зная закон изменения концентрации ответить на второй вопрос задачи.

Таким образом, самым важным является отыскание законов изменения величин.

— Пример № 8 (задача).

Скорость нагрева тела пропорциональна разности температур окружающей среды и тела. До какой температуры нагреется тело за , если за 15 мин оно нагрелось от до . Температура окружающей среды . Найти закон изменения температуры тела.

Дано: температура тела в данный момент времени;

время

, где - коэффициент пропорциональности;

знак «+» соответствует процессу нагрева тела.

___________________________________________________________

Найти: 1)

2)

Решение.

это диф. уравнение с разделяющимися переменными

Далее можно решать стандартно (через неопределённый интеграл), а можно решать более рационально - с применением определённого интеграла. Рассмотрим рациональное решение.

(74)

это мы нашли коэффициент пропорциональности

Найдём закон изменения температуры. Выражение (74) примет вид:

(75) это мы нашли закон изменения температуры.

Что бы найти температуру, до которой нагреется тело за воспользуемся выражением (75): подставим вместо .

Получили:.

Ответ: 1) закон изменения температуры: ;

2) температура тела через : .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 9 (Практическое).

Тема: Заключительное занятие. Контрольная работа №2 по теме «Дифференциальные уравнения второго порядка».

Цель: Итоговый контроль уровня сформированных компетенций.

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Перечень практических навыков.

1.  Знать определение дифференциального уравнения второго порядка.

2.  Уметь решать дифференциальныеуравнения второго порядка.

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1)  Решение контрольной работы по теме.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№

Этап занятия

Время

1

Организация занятия

5 мин

2

Определения цели и темы занятия

5 мин

3

Решение контрольной работы

80 мин

4

Подведение итогов дисциплины и проверка итогового уровня знаний.

10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие

Калькуляторы

Производная функции

Интеграл функции

Краткое содержание темы

Выполнение варианта контрольной работы по теме. Тест.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

Примечание: 1 тема занятия, 2 сущностное содержание занятия

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11