Учебно-методический комплекс дисциплины Дифференциальные уравнения (стр. 1 )

Учебно-методический комплекс дисциплины

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2 «Математические и естественнонаучные дисциплины» - базовая часть.

Для направления подготовки:

201000 «Биотехнические системы и технологии»

Квалификация (степень) выпускника «Бакалавр»

Волгоград, 2014

Учебно-методический комплекс (УМК) учебной дисциплины «Дифференциальные уравнения», относящейся к базовой части основных образовательных курсов в учебном плане подготовки бакалавра естественнонаучного образования - 201000 Биотехнические системы и технологии, составлен на основании ФГОС ВПО по направлению подготовки «Биотехнические системы и технологии» квалификация (степень) выпускника «бакалавр», утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 22 декабря 2009 г. № 000, и учебного плана ГБОУ ВПО ВолгГМУ Минздравсоцразвития России.

Дисциплина относится к циклу «Математические и естественнонаучные дисциплины» - базовая часть и является обязательной для изучения.

Составители УМК: заведующий кафедрой, к. ф.-м. н.__________

доцент, к. ф.-м. н. ___________________

УМК переработан, рассмотрен и одобрен на заседании кафедры фундаментальной медицины и биологии.

Протокол № от « » апреля 201 года

УМК одобрен учебно-методической комиссией по медико-биологическому факультету

Протокол № от « » мая 201 года

Председатель УМК,

декан медико-биологического факультета __________

Руководитель направление подготовки

201000 «Биотехнические системы и технологии», к. т.н. _________

УМК утвержден на заседании Центрального методического совета

Протокол № от « »_июня________201 года

Председатель ЦМС

профессор

Лист согласования

Разработано:

заведующий кафедрой к. ф.-м. н

доцент, к. ф.-м. н.

Рецензенты:

Зав. кафедрой физики

к. п.н., доцент

Зав. кафедрой информатики и математики

Волгоградского института бизнеса

к. ф.-м. н., доцент

Согласовано:

Проректор по учебной работе_____________________________

Заведующаяч библиотекой____________________________________

Декан медико-биологического

факультета_________________________________________________

Экспертиза проведена:

Помощник ректора по качеству

и инновационным технологиям

в образовании _____________________________________________

Руководитель направления подготовки

201000 «Биотехнические системы и технологии» ______________

Руководитель

организационно-методической

контролькой комиссии ________________________________

ОГЛАВЛЕНИЕ:

1.МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ СТУДЕНТОВ . 5

1.1.Рабочая программа дисциплины.. 5

1.2.Методические разработки для преподавателей по проведению практических занятий со студентами. 6

1.3. Методические разработки для студентов к практическим занятиям 92

1.4. Перечень и краткое описание интерактивных форм проведения занятий. 175

1.5. Учебный материал по дисциплине. 176

1.5.1.Обеспеченность учебного процесса основной и дополнительной литературой. 176

1.5.2. Обеспеченность учебного процесса учебными пособиями для лабораторных и семинарских занятий для преподавателей. 178

1.5.3. Обеспеченность учебного процесса учебными пособиями для лабораторных и семинарских занятий для студентов. 179

1.5.4. Конспекты лекций. 180

1.6. Перечень наглядных пособий для проведения занятий. 197

2. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ.. 198

2.1. Фонд оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости студентов 199

2.2. Фонд оценочных средств для промежуточной аттестации студентов 200

2.2.1. Аттестационные педагогические измерительные материалы (АПИМ). 201

2.3. Материалы для проведения итоговой государственной аттестации выпускников – 202

2.4. Модель балльно-рейтинговой системы оценки успеваемости студентов. 203

3.МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ 207

3.1. Вопросы для самоконтроля студентов при самостоятельном изучении дисциплины. 208

3.2. Рабочая тетрадь по самостоятельной работе при изучении дисциплины.. 211

3.3. Список литературы: 212

3.4.Формы контроля самостоятельной работы студентов. 213

4. ЛИСТ ОЗНАКОМЛЕНИЯ.. 214

5. ЛИСТ РЕГИСТРАЦИИ ИЗМЕНЕНИЙ.. 215

Методическое обеспечение аудиторных занятий студентов,

обучающихся по направлению

201000 «Биотехнические системы и технологии»

при изучении дисциплины

«Дифференциальные уравнения»

Рабочая программа прилагается и является неотъемлемой частью данного учебно-методического комплекса (УМК).

Внешняя рецензия дана профессором кафедры МЕН НОУ ВПО ВИБ, д. ф.-м. н., проф. .

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой

математики и информатики

к. ф.-м. н.,

____________________

Протокол № ___

от «___»________20__года

Методические разработки для преподавателей

по проведению практических занятий со студентами, обучающимися по направлению

201000 «Биотехнические системы и технологии»

при изучении дисциплины

«Дифференциальные уравнения»

Направление подготовки

201000 «Биотехнические системы и технологии»

Факультет

Медико-биологический

Автор-составитель:

доцент кафедры математики

и информатики,

к. ф-м. н.

Разработал _____________/ /

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

№ п/п	Тема практических занятий	Вид занятия	Количество часов
1	Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. [1] Определение дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Общее решение и решение задачи Коши. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. 2	ПЗ	2
2	Дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения первого порядка, общий вид уравнения Бернулли, примеры уравнения Бернулли, алгоритмы решения.	ПЗ	2
3	Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.	ПЗ	2
4	Контрольная работа №1 по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка». Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Общее решение и решение задачи Коши.	ПЗ	2
5	Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка и их решение. Решение ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и имеющего вид: . Решение ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего искомой функции. Решение ДУ 2-го порядка, допускающего понижения порядка и не содержащего независимой переменной х.	ПЗ	2
6	Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение. Фундаментальная система решений Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.	ПЗ	2
7	Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольных постоянных (метод Эйлера). Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и методы отыскания его частного решения: метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов); метод вариации произвольных постоянных (метод Эйлера).	ПЗ	2
8	Решение задач с помощью дифференциальных уравнений. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Составление и решение дифференциальных уравнений при решении задач физико-химического и медико-биологического содержания. Этапы решения задач на составление и решение дифференциальных уравнений	ПЗ	2
9	Заключительное занятие. Контрольная работа №2 по теме «Дифференциальные уравнения второго порядка». Итоговый контроль уровня сформированных компетенций (тест).	ПЗ	3

ЗАНЯТИЕ № 1 (Практическое).

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Цель: добиться понимания студентами алгоритма решения ДУ с разделяющимися переменными; сформировать навыки решения данного класса уравнений.

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Перечень практических навыков.

1.  Знать определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

2.  Уметь определять порядок ДУ.

3.  Уметь находить общее решение ДУ.

4.  Уметь находить частное решение ДУ.

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1)  Дифференциальное уравнение (ДУ) и его порядок. Виды решения ДУ.

2)  Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№	Этап занятия	Время
1	Организация занятия	5 мин
2	Определения цели и темы занятия	5 мин
3	Выявление исходного уровня знаний	10 мин
4	Выполнение самостоятельной работы	70 мин
5	Подведение итогов занятия и проверка выполненных заданий.	10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие Калькуляторы	Производная функции Интеграл функции

Краткое содержание темы

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Так как во многих физических приложениях независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, то в дальнейшем, как правило, независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т. д.

Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

(1.1)

Здесь t - независимое переменное, x - неизвестная функция, зависящая от t.  - ee производная. F - заданная функция трех вещественных переменных. Функция F, вообще говоря, может быть задана не для всех значений своих аргументов, поэтому следует говорить об области W задания функции F, имея в виду область координатного пространства трех (вещественных) переменных t, x, .

Уравнение (1.1) называется уравнением первого порядка потому, что в него входит лишь производная первого порядка от неизвестной функции x.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция x = j(t) независимого переменного t, определения на некотором интервале r1  <  t  <  r2 (случаи r1 = -Ґ и r2 = + Ґ не исключаются), которая дифференцируема в каждой точке этого интервала и при подстановке ее вместо x в соотношение (1.1) мы получаем тождество (по t) на всем интервале r1 < t < r2.

Интервал r1 < t < r2 называется интервалом определения решения j(t).

Очевидно, что подстановка функции x = j(t) в соотношение (1.1) возможна только в том случае, когда точка с координатами (t, j(t), ) принадлежит области W определения функции F при произвольномt из интервала r1 < t < r2.

Соотношение (1.1) связывает три переменные: t, x, . В некоторых случаях из (1.1) переменная  может быть выражена в виде однозначной функции переменных t, x. В этом случае дифференциальное уравнение (1.1) равносильно дифференциальному уравнению вида

(1.2)

Дифференциальное уравнение (1.2) называется разрешенным относительно производной или уравнением нормального вида; Именно уравнения нормального вида мы и будем теперь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (1.2) получено в результате разрешения относительно  уравнения вида (1.1), а будем исходить из функции f(t, x) как из заданной функции двух независимых переменных t, x.

Для того, чтобы пользоваться геометрическими представлениями и терминологией, введем в рассмотрение координатную плоскость R2 переменных t и x. Функция f, определяющая дифференциальное уравнение (1.2), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и x, т. е. не на всей плоскости R2(t, x), а лишь в точках некоторого множества D этой плоскости. Относительно множества D в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым, а функция f является непрерывной относительно пары переменных t, x на всем множестве D.

График Gj={(t, j(t)), r1 < t < r2} решения x = j(t) уравнения (1.2) называется интегральной кривой этого дифференциального уравнения.

Интегральная кривая представляет собой кривую в плоскости R2 с уравнением x = j(t), имеющую в каждой точке касательную и полностью проходящую в открытом множестве D.

Итак, интегральная кривая - геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения. Возможна геометрическая интерпретация и самого уравнения (1.2). Именно, через каждую точку (t,x) множества D проведем прямую lt, x с угловым коэффициентом f(t,x). Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (1.2), что и является геометрической интерпретацией этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решения заключается в том, что любая интегральная кривая x = j(t) в каждой своей точке (t,j(t)) касается прямой lt, j(t).

Теорема существования и единственности.

В теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и поэтому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности, которая в этом параграфе приводится без доказательства. Сначала приведем подготовительный материал.

Пусть t0, x0 - произвольная точка множества D, в котором определена правая часть f(t,x) уравнения (1.2).

Задача отыскания решения x = j(t) этого уравнения, удовлетворяющего дополнительному условию

(1.3)

называется задачей Коши (или задачей с начальным условием) для уравнения (1.2), а соотношение (1.3) - начальным условием для этого уравнения. Говорят также, что решение x = j(t) удовлетворяет начальному условию (1.3) или что оно имеет начальные значения t0, x0. Утверждение, что решение x = j(t) удовлетворяет начальному условию (1.3) предполагает, что интервал r1 < t < r2 определения решенияx = j(t) содержит точку t0.

Геометрическая интерпретация задачи Коши состоит в том, чтобы через заданную точку (t0, x0) множества D провести интегральную кривую дифференциального уравнения (1.2).

Далее, пусть функция f(t,x) определена на множестве D М R2(t,x). Говорят, что эта функция удовлетворяет условию Липшица относительно x (равномерно по t), если существует постоянная M > 0 (не зависящая от t) такая, что:

(1.4)

Постоянная M называется постоянной Липшица.