ÖОбратите внимание, на то, что мы сейчас решаем диф. уравнения второго порядка, а значит, у нас в ходе решения должно быть две константы: и. За этим обстоятельством нужно чётко следить и контролировать себя на предмет потери этих констант.

ÖОбратите внимание, на то, что если бы для последнего диф. уравнения требовалось найти частное решение, то для отыскания констант инужно дополнительные условия подставить в выражения(8) и (9).Получится система двух уравнений, решая которую найдём и..Потом найденные константы и нужно подставить в (9) и записать частное решение.

1. в) Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка и не содержащие независимой переменной , т. е. имеющие вид (10)

Порядок такого рода уравнений понижают путём введения новой функции , при этом за новый аргумент берётся . Функцию рассматриваем как сложную. Т. к. , то . Получили, что.

A Для решения диф. уравнений типа (10) вводят новую функцию , при этом .

? Какое(-ие) из приведённых в начале лекции диф. уравнений соответствует(-ют) виду (10) или путём преобразований приводится к нему? (Ответ: это уравнение под номерам 4)). Рассмотрим его решение:

— Пример № 4 (см. диф. уравнение 4) в начале лекции):

,, это диф. уравнение 2-го порядка, допускающее понижение порядка и не содержащее независимой переменной .

Для отыскания решения введём новую функцию (11)

При этом помним, что (12)

Теперь уравнение примет вид:

это диф. уравнение с разделяющимися переменными

Вспомним, что , тогда:

это диф. уравнение с разделяющимися переменными

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(13) это общее решение диф. уравнения.

Найдём частное решение. Для чего сначала найдём константы и. Кроме выражения (13) нам потребуется первая производная от него. Найдём её:

(14).

Теперь из выражений (13) и (14) составляем систему, в которую и подставляем предложенные по условию дополнительные данные , :

Найденные константы и подставляем в общее решение (13):

это частное решение диф. уравнения.

Ответ: это общее решение диф. уравнения;

это частное решение диф. уравнения.

ÖОбратите внимание, на то, что мы сейчас решаем диф. уравнения второго порядка, а значит, у нас в ходе решения должно быть две константы: и. За этим обстоятельством нужно чётко следить и контролировать себя на предмет потери этих констант.

? Мы рассмотрели дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка, которые условно разделили на три группы. Как Вы думаете, почему этот класс получил такое название «допускающие понижение порядка»? (Ответ: в каждом из трёх рассмотренных случаев ДУ 2-го порядка сводилось к решению двух ДУ, но уже первого порядка).

ÖОбратите внимание, на то, что во всех выше рассмотренных примерах при понижении порядка получались дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Но так будет не всегда. При понижении порядка со 2-го до 1-го Вам может встретиться любое ДУ первого порядка (например, однородное ДУ первого порядка).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 6 (Практическое).

Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение.

Цель: закрепить лекционный материал данной темы; учиться решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; выявить уровень усвоения материала прошлого занятия (выполнение самостоятельной работы.)

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Перечень практических навыков.

1.  Знать определение фундаментальной системы решений.

2.  Уметь решать линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Фундаментальная система решений;

2.  Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№

Этап занятия

Время

1

Организация занятия

5 мин

2

Определения цели и темы занятия

5 мин

4

Разбор основных вопросов практического занятия

10 мин

5

Решение задач по теме занятия

70 мин

6

Проведение итогов занятия и проверка итогового уровня знаний.

10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие

Калькуляторы

Производная функции

Интеграл функции

Краткое содержание темы

Фундаментальная система решений

Определение

Линейные диф. уравнения порядка – это уравнения вида:

Согласно определению линейное ДУ 2-го порядка имеет вид:

(15)

Т. к. (а иначе получим ДУ 1-го порядка), то каждое слагаемое в обеих частях равенства (15) разделим на .

Примечание: знак «» воспринимать как слово «обозначим».

После введённых обозначений линейное ДУ 2-го порядка имеет вид:

(16)

Определение

если в выражении (16) , то уравнение называется линейным неоднородным ДУ 2-го порядка

если в выражении (16) , то уравнение называется линейным однородным ДУ 2-го порядка

 

Линейное однородное ДУ 2-го порядка:

(18)
 

Линейное неоднородное ДУ 2-го порядка:

(17)
 


ТЕОРЕМА 1:

Если и частные решения однородного линейного ДУ 2-го порядка, то их линейная комбинация , где и - произвольные константы, так же является решением однородного линейного ДУ 2-го порядка (18).

Определение:

Две функции и называют линейно-зависимыми (далее л/з) в некотором интервале , если их отношение в каждой точке есть константа, т. е.:

если то и - л/з

Определение:

Две функции и называют линейно-независимыми (далее л/н) в некотором интервале , если их отношение в каждой точке отлично от константы, т. е.:

если то и - л/н

Пример: , .

и - л/з

Пример: , .

и - л/н

Для пары функций и можно рассмотреть определитель вида:

это определитель Вронского.

ТЕОРЕМА 2:

Если две функции и линейно-зависимы в интервале , то их определитель Вронского в этом интервале равен нулю.

ТЕОРЕМА 3:

Если и - линейно-независимые частные решения линейного однородного ДУ 2-го порядка (18) в интервале , то их определитель Вронского ни в одной точки интервала в ноль не обращается.

Определение

Пара частных решений линейного однородного ДУ 2-го порядка (18) линейно-независимых в интервале , называется фундаментальной системой решений этого уравнения

ТЕОРЕМА 4:

Для всякого линейного однородного уравнения, коэффициенты которого являются функциями непрерывными в существует фундаментальная система решений.

ТЕОРЕМА 5:

Если и образуют фундаментальную систему решений линейного однородного ДУ 2-го порядка (18), то их линейная комбинация – общее решение этого уравнения.

Решение линейных однородных диф. уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11