Учебно-методический комплекс дисциплины Дифференциальные уравнения (стр. 7 )

Линейные однородные диф. уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид (или к нему приводятся):

(19) , где , .

Примерами таких уравнений являются:

1. , .

2.

3. (в этом диф. уравнении коэффициент )

4. (в этом диф. уравнении коэффициент )

ÖОбратите внимание, на то, что все приведённые только что диф. уравнения, в общем, имеют вид . Однако не нужно решать их как ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка и не содержащие независимую переменную , т. к. это приведёт к громоздкому решению. Поэтому в дальнейшем на практических занятиях при идентификации класса диф. уравнения 2-го порядка сначала проверяйте, относится ли оно к линейным однородным 2-го порядка, если нет, то перебирайте все другие классы.

Для нахождения общего решения (19) необходимо найти фундаментальную систему функций этого уравнения и . Тогда общее решение имеет вид (см. теоремы 1и 5):

, где и - произвольные константы.

Из определения фундаментальной системы следует, что и являются линейно-независимыми решениями (19).

и будем искать в виде (т. к. производные от экспоненты пропорциональны самой экспоненте, и при подстановке их в само диф. уравнение с определёнными коэффициентами будут в правой части давать ноль).

Найдём первую и вторую производные для выражения :

Полученные выражения подставляем в выражение (19):

,

Т. к. , то:

Определение

Алгебраическое уравнение степени, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами линейного однородного дифференциального уравнения порядка, называется характеристическим уравнением для соответствующего дифференциального уравнения.

(20) это характеристическое уравнение для линейного однородного ДУ 2-го порядка

A Характеристическое уравнение в нашем случае является квадратным уравнением. Нас интересую его корни. Возможны три случая (в зависимости от значения дискриминанта ):

I. Если, то корни вещественные и различные .

В этом случае общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

II. Если, то корни вещественные и совпадающие .

В этом случае общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

III. Если, то корни комплексные .

В этом случае общее решение линейного однородного ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

Введём обозначение для общего решения линейного однородного ДУ 2-го порядка: , здесь верхний индекс шифрует фразу «общее решение», а нижний шифрует фразу «линейное однородное диф.уравнение».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 7 (Практическое).

Тема: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Метод вариации произвольных постоянных (метод Эйлера).

Цель: закрепить материал, разобранный на лекции; рассмотреть различные способы решения ЛНДУ 2-го порядка.

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Перечень практических навыков.

1.  Знать определение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.  Уметь решать линейноое неоднородноое дифференциальное уравнение второго порядка.

3.  Уметь решать линейноое неоднородноое дифференциальное уравнение второго порядка методом вариации произвольных постоянных.

4.  Уметь решать линейноое неоднородноое дифференциальное уравнение второго порядка методом неопределённых коэффициентов.

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

2.  Определитель Вронского. Метод вариации произвольных постоянных.

3.  Метод подбора частного решения (метод неопределённых коэффициентов).

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№	Этап занятия	Время
1	Организация занятия	5 мин
2	Определения цели и темы занятия	5 мин
4	Разбор основных вопросов практического занятия	10 мин
5	Решение задач по теме занятия	70 мин
6	Проведение итогов занятия и проверка итогового уровня знаний.	10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие Калькуляторы	Производная функции Интеграл функции

Краткое содержание темы

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных (более общий метод решения).

ТЕОРЕМА:

Общее решение линейного неоднородного ДУ 2-го порядка с непрерывными функциями , и : (1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения () и любого частного решения исходного уравнения (): (2) , где соответствующее однородное уравнение имеет вид: (1а)

ÖОбратите внимание на то, что в слагаемом верхний индекс шифрует фразу «общее решение», а нижний шифрует фразу «линейное однородное диф.уравнение». В слагаемом верхний индекс шифрует фразу «частное решение», а нижний шифрует фразу «линейное неоднородное диф.уравнение».

Метод вариации произвольных постоянных

(более общий метод решения).

Пусть (3) общее решение (2).

Будем искать решение (1) в виде (3), но заменим и новыми неизвестными функциями и , которые нужно отыскать в ходе решения, т. е. решение ищем в виде:

(4)

Для того, что бы работать с выражением (1) нужно найти 1-ю и 2-ю производные. Найдём их, выполнив следующие упрощения в обозначениях: , , , .

(5)

В нашем распоряжении две неизвестные функции, а уравнение для их отыскания одно, а значит, одной из функций распоряжаемся по собственному усмотрению. Пусть 1-ое и 3-е слагаемое в сумме дадут ноль:

С учётом (I) от (5) остаётся:

(5а)

(6)

Подставим (4), (5а), (6) в (1):

…перегруппируем слагаемые:

...выражения в квадратных скобках обратились в ноль, т. к. и являются решениями (1а), а значит при подстановке в (2) должны дать ноль…

.

Получили:

(I) и (II) составляют алгебраическую систему уравнений относительно производных неизвестных функций.

(7) определитель этой системы – определитель Вронского для функций и - фундаментальной системы для (1а), а значит, этот определитель в ноль не обращается, а следовательно, система имеет единственное решение.

— Пример № 1 (см. диф. уравнение 1) в начале лекции):

(8) это линейное неоднородное диф. уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Согласно приведённой выше теореме: