Этапы реше-

ния

Математические действия

Комментарии

1

Все дальнейшие действия направлены на то, что бы с одной стороны (слева) от знака равно стояла функция зависящая только от , а справа – функция, зависящая только от .

Примечание:

1)начинать разделять переменные нужно с расставления знаков дифференциалов: должен оказаться слева, а - справа;

2) постоянные множители лучше собирать справа (со стороны «х»).

2

Сейчас слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от (и это хорошо), справа - функция, которая зависит только от (и это хорошо)

Мы получили уравнение с разделёнными переменными (слева от знака равно стоит функция, которая зависит только от, справа – функция, зависящая только от )

После того, как получили ДУ с разделёнными переменными – интегрируем.

Примечание: обратите внимание на то, что константу интегрирования записываем только с одной стороны (справа)

Полученное решение называется общим решением дифференциального уравнения (ОРДУ)

3

Третий этап остаётся незаполненным в этом примере, т. к. при нахождении первообразных сразу получили и выражать его не нужно.

4

Предложенные в условии данные () подставляем в ОРДУ и находим С

Найденную константу интегрирования С подставляем в ОРДУ

Полученное решение называется частным решением дифференциального уравнения (ЧРДУ)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

Цель занятия: научиться применять алгоритм решения дифференциальных уравнений первого порядка следующих классов: однородных, линейных.

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Основные вопросы, выносимые на обсуждение семинара.

1.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

2.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

3.  Уравнение Бернулли (общий вид, примеры, алгоритмы решения).

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№

Этап занятия

Время

1

Организация занятия

5 мин

2

Определения цели и темы занятия

5 мин

4

Разбор основных вопросов практического занятия

10 мин

5

Решение задач по теме занятия

70 мин

6

Проведение итогов занятия и проверка итогового уровня знаний.

10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие

Калькуляторы

Производная функции

Интеграл функции

Краткое содержание темы

Однородным уравнением называется такое уравнение, в котором правая часть является функцией от отношения аргументов, т. е.

. (1.4.1)

Если же дифференциальное уравнение задано в виде

M(x, y)dx+N(x, y)dy=0, (1.4.2)

то оно называется однородным, если функции M(x,y) и N(x,y) являются однородными функциями одной и той же степени.

Определение. Функция M(x,y) называется однородной функцией степени n, если для любого k выполняется соотношение M(kx,ky) = knM(x,y).

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными при замене неизвестной функции. Введем неизвестную функцию u = u(x), положив . Тогда y = u× x , y' =u' x +u и уравнение (1.4.1) приводится к виду

u'× x +u = f(u)

или

. (1.4.3)

Это дифференциальное уравнение для новой функции. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, поскольку при f(u) – u ¹ 0, x ¹ 0

.

Решая уравнение (1.4.3) и заменяя в полученном решении u на , находим решенее исходного уравнения (1.4.1).

Пример. (x2 + y2 + xy)dx − x2dy = 0

Это уравнение имеет вид (1.4.2) с M(x, y) = x2 + y2 + xy , N(x, y) = −x2 . Проверим функции M(x, y) , N(x, y) на однородность:

M(tx,ty) = (tx)2 + (ty)2 + tx ty = t2 (x2 + y2 + xy) = t2M(x, y) ;

N(tx,ty) = −(tx )2 = t2 (−x2 ) = t2N(x, y) .

Мы видим, что M(x, y) , N(x, y) являются однородными функциями одинакового порядка однородности α = 2. Следовательно, (2.18) является однородным уравнением. Запишем уравнение в виде (1.4.1):

или

. (1.4.4)

Пусть , тогда y = u× x , y' =u' x +u и уравнение (1.4.4) принимает вид

u′x + u = u2 + u +1;

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

;

arctg u = ln |x| +C ;

arctg y/x = ln |x| +C (1.4.5)

Семейство функций (1.4.5) есть общий интеграл уравнения (2.18).

Pаметим, что при решении ОДУ вида (1.4.2) не обязательно приводить его к виду (1.4.1). Можно сделать замену y = ux в самом уравнении (1.4.2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.  Павлушков [Текст] : учебник / , , ; М-во образования и науки РФ. - М. : ГЭОТАР-Медиа, 20, [1] с. : ил. - Библиогр. : с. 316. - ISBN 2696-8 : 500-00.

2.  Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Учебное пособие для вузов / , , . – 7-е изд. Испр. – М.: -во ОНИКС», -во «Мир и Образование», 2009.

3.  Соболь по высшей математике/ и др. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительная:

1.  Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 3-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

2.  Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [ и др.]; под ред. проф. . – 2-е мзд. – М.: ЮНИТА-ДАНА, 2010 и последующие издания.

3.  Тестовые задания по математике [Электронный ресурс]: учебное пособие / под ред. . – Волгоград: ВолГМУ, 2006. – Режим доступа: http://www. matinfo. volgmed. ru

4.  , , Филимонова : учебное пособие для медицинских вузов [Электронный ресурс]: – Волгоград: ВолГМУ, 2007. – 96 с. Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

5.  , Садыкова исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. Волгоград: Изд-во ВолгГМУ, 2011. – 64 с.

6.  Шишкина [Текст] : контрол. задания и метод. указания для студентов заоч. отд-ния фармацевт. фак. : учеб. пособие для студентов, обучающихся по спец. 040500 - Фармация / , , ; ВолГМУ, Каф. матем. и информатики. - Волгоград : ВолГМУ, 20с. : ил. - Режим доступа: http://www. volgmed. ru/uploads/files/2013-2/16840-matematika_uchebnoe_posobie_dlya_studentov_medicinskih_vuzov. pdf

ЗАНЯТИЕ № 3 (Практическое).

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнения в полных дифференциалах.

Цель: закрепить лекционный материал данной темы; научиться решать дифференциальные уравнения в полных дифференциалах, а также уравнения Лагранжа и Клеро; выявить уровень усвоения материала прошлого занятия (выполнение самостоятельной работы.)

Место проведения: учебная аудитория кафедры математики и информатики.

Время проведения: 100 мин.

Перечень практических навыков.

1.  Решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

2.  Решение дифференциальных уравнений Лагранжа и Клеро.

Формируемые компетенции - ОК-10; ПК-1, ПК-2, ПК-5, ПК-17.

Основные вопросы, предлагаемые для обсуждения.

1.  Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

2.  Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро.

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ.

Технологическая карта занятия.

№

Этап занятия

Время

1

Организация занятия

5 мин

2

Определения цели и темы занятия

5 мин

4

Разбор основных вопросов практического занятия

10 мин

5

Решение задач по теме занятия

70 мин

6

Проведение итогов занятия и проверка итогового уровня знаний.

10 мин

Материалы и оборудование

Учебно-методическое пособие

Калькуляторы

Производная функции

Интеграл функции

Краткое содержание темы

Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на yn.

Применим подстановку, учтя, что .

Т. е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на xy2:

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:

Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11