Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Математика» (стр. 2 )

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то точка называется точкой разрыва функции .

Если функция непрерывна в каждой точке области (Д), то она называется непрерывной в области (Д).

Как и для функции одной переменной, для функции нескольких переменных остаются в силе арифметические свойства непрерывных функций. Справедливы также следующие теоремы Вейештрасса

1. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция ограничена на этом множестве.

2. Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своего наибольшего и своего наименьшего значений.

Пример

Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Функция непрерывна как отношение многочленов во всех точках, в которых .Точки разрыва расположены на линии , т. е. на параболе.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ

Представим себе неравномерно нагретую тонкую пластинку. Очевидно, скорость изменения температуры в различных направлениях будет различной.

у

0

рис.3

В связи с этим рассмотрим задачу об определении скорости изменения функции в заданном направлении. Пусть в некоторой области (Д)R задана функция . Рассмотрим точку и любую направленную прямую , проходящую через эту точку (рис.3). Пусть точка лежит на этой прямой. Отношение есть средняя скорость изменения функции в направлении прямой .

1 называется производной функции в направлении и обозначается .

Итак, - (1)

- скорость изменения функции в точке в направлении .

Положим и обозначим . Тогда (1) запишется:

()

2 При ( параллельна оси Ох) получим

- (2)

- частная производная функции по переменной .

Аналогично . (3)

Будем рассматривать теперь частные производные в произвольной точке .

Обозначим - частное приращение функции по переменной ,

- частное приращение по .

Тогда (2) и (3) можно записать:

Наряду с обозначениями употребляются обозначения , т. е.

или

Итак, аналогично по переменной у.

Для функции переменных частная производная по переменной определяется как

где

частное приращение функции .

Из определения

следует, что поскольку приращение получает только переменная , то можно временно считать фиксированным, т. е. можно найти по обычным правилам дифференцирования, считая постоянным. Аналогично при нахождении считается постоянным .

Примеры

Рассмотрим функцию . Найдем - полное приращение функции.

3. Функция называется дифференцируемой в т. , если выполнены условия:

1) существуют конечные и в этой точке;

2) представимо в виде

+ (4)

 

(1) (2)

главная часть бесконечно малая высшего

порядка по сравнению с (1).

Где при

Из (4) видно, что можно рассматривать как сумму двух слагаемых (1) и (2). Слагаемое (1) линейно относительно и ,

слагаемое (2) не линейно относительно и .

Главная часть полного приращения функции, линейная относительно и , называется полным дифференциалом функции и обозначается . Итак,

(5)

и +

главная часть «мелочь» по сравнению с.

Замечание. Можно показать, что , где при.

Таким образом, при малых и , можно считать (если отбросить «мелочь»), что , т. е.

, или

В точке :

(6)

Формула (6) позволяет по назначению в т. находить приближенно значение в близкой к точке .

На этом основано применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислим приближенно .

Решение. 1. Рассмотрим функцию

Взяв , и можем воспользоваться формулой (6).

2. Найдем

3. Найдем

;

Ответ:

Для функции имеем ; аналогично .Тогда (5) можно записать в виде: (7)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Теорема. Если дифференцируема в точке то она имеет в этой точке производную по любому направлению , причем

(1)

где - углы, образованные направлением прямой l соответственно с положительными направлениями осей Ох и Оу (рис.4)

 

y l

М

b

0 х0 х х

рис.4

Доказательство. Обозначив

имеем

Отсюда

Переходя к пределу при т. е. получим:

Замечание Для случая имеем:

где - углы, которые составляют направление с положительными направлениями осей соответственно.

Пример. Найти производную в точке функции в направлении, идущем от точки к точке .

Решение.

Имеем

1 Градиентом функции в точке называется вектор

(2)

 

j

l

рис.5

Рассмотрим единичный вектор (рис.5)

(3)

Скалярное произведение с учетом (2) и (3) равно

(4)

С другой стороны,

(5)

Приравняв правые части ( 4) и (5), получим

Если , то есть направление прямой совпадает с направлением градиента, то ,т. е. имеет наибольшее значение, и