Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Математика» (стр. 3 )

Резюме. Скорость изменения функции будет наибольшей в направлении градиента функции.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Рассмотрим функцию . Частные производные и , вообще говоря, также являются функциями тех же переменных х и у, которые также могут иметь частные производные, которые будем называть вторыми частными производными (производными второго порядка).

(дэ два по дэ икс дважды)

(дэ два по дэ икс дэ игрек)

(дэ два по дэ игрек дэ икс )

(дэ два по дэ игрек дважды).

В определениях 20 и 30 порядок следования символов и указывает на то, что функция продифференцирована сначала по одной из переменных, и полученный результат продифференцирован по другой переменной.

Например, означает, что продифференцирована по х ( на первом месте), результат продифференцирован по у.

Найденные вторые производные также могут иметь частные производные. Например, , и так далее.

Вообще, частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная от частной производной - порядка той же функции.

В отличие от , , роизводные ,

Будем называть смешанными частными производными.

Употребляются также обозначения так что, например

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Решение.

Мы видим, что , и это не случайно.

Оказывается, справедлива следующая теорема (о равенстве смешанных частных производных второго порядка):

если имеет в окрестности точки частные производные и , которые непрерывны в самой точке , то в этой точке .

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

Пусть функция задана в некоторой области ДR2, точка

0 у

х

рис.6

10. Точка называется точкой максимума функции , если всюду в некоторой окрестности этой точки

 

z

0 y

(x0,y0)

х

рис.7

20 .Если всюду в некоторой окрестности точки , то называется точкой минимума функции (рис.7)

Значение функции в точках max и min и называется максимумами и минимумами, или, короче, экстремумами.

Понятие экстремума носит локальный (местный) характер. Некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых из максимумов. Не надо смешивать экстремумы с наибольшими и наименьшими значениями.

Пусть, например, - точка максимума. Тогда в некоторой окрестности этой точки В частности, для всех из некоторого интервала . Это значит, что функция одной переменной имеет в точке максимум, следовательно, в точке выполняется необходимое условие экстремума, а именно, или не существует.

Аналогично, рассматривая , получим, что в точке или не существует. Итак, доказана следующая теорема (необходимые условия экстремума). Если , в точке имеет экстремум, то в этой точке

либо,

либо хотя бы одна из частных производных не существует.

Примеры 1. Функция имеет в точке , так как и если (рис.8)

z

у

x

рис.8

При этом

2. имеет в точке , т. к.

При этом и в точке (0,0) не существуют.

30. Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Следующий пример показывает, что не всякая критическая точка является точкой экстремума функции.

3. - критическая, . Но в любой окрестности точки (0,0) принимает значение как

(при ), так и (при ), то есть критическая точка (0,0) не является ни точкой , ни точкой

Резюме. Равенство нулю или не существование хотя одной из частных производных является только необходимым, но не достаточным условием наличия экстремума функции в точке.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть в точке , то есть выполнены необходимые условия экстремума функции . Обозначим

и составим выражение . Тогда:

1. если , то имеет в точке экстремум, а именно максимум при и минимум при ;

2. если , то в точке экстремума нет;

3. если , то вопрос остается открытым, т. е. в точке может быть экстремум, а может и не быть.

Пример Найти экстремумы функции

Решение. Найдем

Найдем критические точки из системы

т. е. из системы

находим - критическая.

т. е. ;

- точка экстремума.

Так как , то согласно 1. - точка минимума,

.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ОБЛАСТИ

Пусть непрерывна в ограниченной замкнутой области Д и дифференцируема внутри (Д). Тогда по второй теореме Вейсрштрасса (п.4) она достигает в области своего наибольшего

и наименьшего значений, либо внутри области, либо на её границе. Если эти значения достигаются во внутренних точках (Д), то эти точки будут точками экстремума функции. Таким образом, точки, в которых имеет наибольшее и наименьшее значения, будут либо точками экстремума, либо граничными точками области (Д).

Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной прямыми ,

Решение

1. Найдем точки экстремума внутри области (Д) (рис.9)

 

А

4

2 (Д)

В

Решая систему:

, находим

2. Рассмотрим значения функции на границе области.

1) - возрастает на отрезке

0 , 16

2)

-4

3)

3. Среди значений , , 16 , -4 ,

выбираем наибольшее и наименьшее.

- достигается внутри области;

- достигается на границе области.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Принятые обозначения

1.  Нумерация определений - сплошная, т. е. O1 – определение первое, O2 - определение второе и т. д.

2.  Нумерация теорем – сплошная, т. е.T1 – теорема первая и т. д.

3.  Нумерация формул, уравнений и т. д. – сплошная: (1), (2), и т. д.

4.  Нумерация примеров – сплошная, т. е. П1 – первый пример, П2 - второй

пример и т. д.

5.  Для сокращения текста использованы символы (из А следует В), (существует, найдется), (для любого, для каждого)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Всеобщая изменчивость («все течет, все изменяется»), присущая всем явления окружающего нас мира, была замечена в глубокой древности. Конкретный характер этой изменчивости раскрывается с помощью таких понятий, как масса, скорость и ускорение, траектория и т. д. То, что подвержено изменению, может быть массой, концентрацией вещества, координатной точки и т. д., т. е. охватывая всевозможные случаи, можно сказать, что это функция одной или нескольких переменных. Но скорость изменения чего-либо – это производная, а скорость изменения скорости, т. е. ускорение – это вторая производная. Так мы приходим к понятию дифференциального уравнения.