Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Математика» (стр. 5 )

Тогда в силу (24) уравнение (23) примет вид u’ v = q ( x ), (25)

где v была найдена из (24) и v = v ( x ) означает какое-либо частное решение уравнения (24). Так как из (25) следует, что , то y = u v, найденное по (21), даст общее решение уравнения (20).

П7 Решить уравнение xy’ + 2y = x2

Решение. Полагаем y = u (x) v(x), находим y’ = u’v + uv’. Подставим вместо y и y’ соответствующие выражения в исходное уравнение:

x (u’v + uv’) + 2uv = x2, или xu’v + u ( xv’ + 2v ) = x2. (*)

Подберем v = v ( x ) так, чтобы xv’ + 2v = 0, или , откуда интегрируя, имеем или

Уравнение (*) примет вид:

u’v = x, или u’’ = x, отсюда u’ = x3, du = x3 dx, u =

у = u (x) v (x) = или - общее решение.

По разобранной схеме решается и уравнение Бернулли у’ + p (x) y = q (x) , где - действительное, и

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Дифуравнение второго порядка имеет вид

F (x, y, y’, y”) = 0 (26)

или y” = f (x, y, y’ ) (27)

Для (26) или (27) также существут общее и частное решение. Рассмотрим сначала пример.

П8 Найти решение уравнения y” = 2, удовлетворяющее условиям y(1) = 2, y’ (1) = 1.

Решение: Имеем (y’)’ = 2, отсюда y’ = 2x + c1. Интегрируя, получим

Из условия y’ (1) = 1 получим 1 = , т. е. c1 = -1 и y = x2 – x + c2. Из условия у (1) = 2 находим с2: 2 = 1 – 1 + с2, т. е. с2 = 2.

Итак, у = х2 – х + 2.

Пусть для (27) получено решение

у = ( х, с1, с2) (28)

Оно называется общим, если:

1)  и с2 (28) является решением уравнения (27).

2)  Из (28) можно получить любое частное решение, удовлетворяющее условиям

(29)

у

Г

М0

0 х

Рис.2

Геометрически общее решение (28) представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров с1 и с2. Через каждую точку плоскости проходит пучок интегральных кривых (рис.2). Поэтому, чтобы из семейства (28) выделить одну определенную кривую Г, недостаточно указать точку , через которую должна проходить эта кривая, а следует указать ещё направление, в котором кривая Г проходит через точку М0, т. е. задать тангенс угла , образованного касательной к этой кривой в точке М0 с положительным направлением оси Ох.

Если обозначить , на основании (28) имеем

(30)

Из системы (30) можно определить с1 и с2 и тем самым найти решение , удовлетворяющее условиям (29).

ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

1.  Уравнения вида y” = f (x) решаются последоательным интегрированием.

П9 Решить уравнение y” = sinx.

Решение Имеем (y’)’ = sinx, отсюда y’ = . Далее,

Итак, y = - sinx + c1x + c2 - общее решение.

2.  Уравнение вида y” = f (x, y’) (31)

Полагая y’ (x) = Z (x), приведем (31) к виду (поскольку y” (x) = Z’ (x) )

Z’ = f (x, Z) - уравнение первого порядка.

П10 Решить уравнение ( 1 + x2 ) y” – 2xy’ = 0

Решение: Положим y’ (x) = Z (x). Тогда y” = Z’ и (1 + x2) Z’ – 2xZ = 0, (1 + x2) = 2xZ

Тогда y = c1 , или - общее решение.

3.  Уравнение вида y” = f (y, y’) (32)

Не содержит х в явном виде.

Порядок уравнения (32) можно понизить, если за независимую переменную взять у, т. е. ввести функцию y’ (x) = p (y) - сложная функция х. Дифференцируя, получим:

Y” (x) = p’ (y) = p’ (y) p (y), тем самым (32) примет вид

p’ (y) p(y) = f (y, p (y)) - уравнение первого порядка.

П11 Решить уравнение 1 + y’2 = 2 y y”.

Решение: Положим y’ (x) = p (y). Тогда y” (x) = p’ (y) p (y), и исходное уравнение примет вид

1 + p2 (y) = 2yp’ (y) p (y), или ! + p2 = 2yp Интегрируем:

, 1 + р2 = с1 у,

р =

пусть с1 у – 1 = t2, c1dy = 2tdt. Тогда

- общее решение.

ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ (ЛОДУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Это уравнение имеет вид

y” + ay’ + by = 0, y = y (x), (33)

где a и b - действительные числа.

Пусть y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) - частные решения уравнения (33).

О10 Два решения y1 и y2 называются линейно-зависимыми, если можно подобрать постоянные числа c1 и c2, не равные одновременно нулю, такие, что c1 y1 + c2 y2 (34)

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения y1 и y2 называятся линейно-независимыми. Другими словами, если y1 (x) и y2(x) линейно независимы и имеет место тождество (34), то c1 = c2 = 0.

Будем искать решение уравнения (33) в виде y = ekx (35)

Дифференцируя, получим y’ = kekx, y” = k2 ekx (36)

Подставим (36) и (35) в уравнение (33):

k2 ekx+ a kekx + b ekx = 0, или ekx (k2 + ak + b) = 0.

Поскосльку ekx ни в одной точке, то

k2 + ak + b = 0 (37)

Уравнение (37) называется характеристическим уравнениeм уравнения (33). Для корней уравнения (37) возможны следующие случаи. Пусть Д = а2 – 4в.

1.  Д > 0, т. е. уравнение (37) имеет два различных действительных корня и

Можно доказать, что в этом случае и являются линейно-независимыми частными решениями уравнения (33).

2.  Д = 0, т. е.

Линейно-независимыми частными решениями будут

у1 = ekx и y2 = х ekx

3.  Д < 0, т. е. уравнение (37) имеет сопряженные комплексные корни и

Линейно-независимые частные решения:

и

Справедлива следующая теорема.

Т2 Если y1 (x) и y2(x) - линейно-независимые частные решения уравнения (33), то общее решение этого уравнения имеет вид

у = с1 у1 (х) + с2 у2 (х) (38)

Таким образом, для случаев 1,2 и 3 общее решение имеет вид:

1. Д > 0, у = с1 + с2 ; (39)

2. Д = 0, у = с1 + с2х ; (40)

3. Д < 0, + (41)

П12 Найти частное решение следующих уравнении при указанных начальных условиях:

a) y” – 3y’ + 2y + 0, y (0) = 3, y’ (0) = 4;

б) y” – 2y’ + y = 0, y (0) = 1, y’ (0) = 0;

в) у” – 2y’ +2y = 0, y (0) = 1, y’ (0) = 1.

Решение: а) характеристическое уравнение k2 – 3k + 2 = 0 имеет корни k1 = 1, k2 = 2. Тогда общее решение согласно (39) имеет вид у = с1 + с2 . Так как y (0) = c1 + c2 и y’ (0) = c1 + 2c2, то имеем систему

oткуда c1 = 2, c2 = 1.

Искомое частное решение: y = 2e x + e2x

б) решая характеристическое уравнение k2 – 2k + 1 = 0, находим k1 = k2 = 1. Согласно (40) общее решение имеет вид y = (c1 + c2 x) ex.

Так как y (0) = 1, то c1 = 1, поскольку y’ = y + c2 ex и y’ (0) = 0, то c2 = -1.

Окончательно ичкомое частное решение:

y = (1-x) ex.

в) характеристическое уравнение k2 – 2k + 2 = 0, имеет корни k1 = 1 + i, k2 = 1 - i, т. е. и согласно (41) общее решение

y = c1 ex cosx + c2 ex sinx

Из условия y (0) = 1 получаем y (0) = c1 = 1; имеем y’ = (ex cosx + c2ex sinx)’ = ex (cosx – sinx) + c2ex(sinx + cosx), тогда y’ (0) = 1 + c2 = 1, c2 = 0. Итак, искомое частное решение

y = ex cosx.

ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ (ЛНДУ) ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Это уравнение имеет вид

y” + ay’ + by = f (x), f(x) (42)

Решение уравнения (42) основывается на следующей теореме

Т3 Если y* – некоторое частное решение уравнения (42) и – общее решение уравнения (33), то общее решение уравнения (42) имеет вид

y = + y* (43)

то-есть общее решение ЛНДУ = общее решение ЛОДУ + частное решение ЛНДУ.

Укажем правило нахождения y* по методу неопределенных коэффициентов.

1.  Пусть f(x) = b0 x2 + b1 x + b2; тогда:

а) y* = Ax2 + Bx + C, если нуль не яляетя корнем уравнения (37) (характеристического);

б) y* = Ax3 + Bx2 + Cx, если нуль является простым корнем уравнения (37); примечание: если b0 = 0, то полагается A = 0;

в) y* = Ax4 + Bx3 + Cx2, если нуль является двукратным корнем уравнения(37).

2.  Пусть f(x) = A ; тогда:

а) y* = B, если число не является корнем уравнения (37);

б) y* = Bx, если является простым корнем уравнения (37);

в) y* = Bx2 , если является двукратным корнем уравнения (37);

3.  Пусть f(x) = (M cos+ N sin ); тогда:

а) y* = (A cos + B sin ); , если число не является корнем уравнения (37);

б) y* = x (A cos + B sin );, если число является корнем характеристического уравнения (37)

П13. Найти общее решение уравнения

y” + y’ = 8x – 6 (44)

Решение. Найдем – общее решение уравнения y” + y’ =0. Характеристическое уравнение:

k2 + k = 0, отсюда k1 = 0, k2 = -1. Согласно (39) c1 + c2 e-x – общее решение ЛОДУ.

Сравнивая правую часть (44) с правой частью 1) настояшего п. 3.4., замечаем, что b0 = 0, т. е. f(x) = . Согласно п. а) 1) y* cледует искать в виде y* = Cx2 + Bx. Подберем С и В так, чтобы y* было решением уравнения (44). Для этого найдем y*’ = 2Cx + B, y*” = 2C и подставим выражение для y*” и y*’ в (44). Получим:

2C + 2Cx + B = 8x – 6, или

2Сх + (В + 2С) = 8х – 6.

Согласно методу неопределенных коэффициентов, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях последнего уравнения.

.

Тогда у* = 4х2 – 14х.

Согласно (43) у = + у* = с1 + с2 е-х + 4х2 – 14х - общее решение

уравнения (44).

П14 Найти общее решение уравнения

y” – 2y’ –3y = - 2ex (45)

Решение Соответствующее однородное уравнение

y” – 2y’ –3y = 0 (46)

Имеет характеристическое уравнение k2 -2k - 3 = 0, корни которого k1 = 3, k2 = -1 действительны и различны. Сoгласно (39) , = с1 + с2 - общее решение уравнения (46). Найдем теперь y*. Имеем f(x) = - 2ex. Так как не является корнем характеристического уравнения, то согласно п. 2) а) y* = B, y*’ = B, y*” = B .