Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Математика» (стр. 4 )

О1 Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные от искомой функции.

Если неизвестная функция – от одной переменной, то уравнение называется обыкновенным. Если уравнение содержит функцию нескольких переменных и её частные производные, то оно называется уравнением частных производных. Впредь будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (слово «обыкновенные» будем опускать), т. е. уравнения вида

F(x, y, y’,y”,…,y(n))=0 (1)

Уравнение (1) есть дифуравнение п – го порядка. Таким образом, порядок уравнения есть порядок старшей производной искомой функции.

Примечание. Уравнение, вообще говоря, может и не содержать у или х. Например, у’’’ = x – дифференциальное уравнение третьего порядка, y” + 4y = 0 – уравнение второго порядка.

Итак, дифуравнение, непременно содержит производные искомой функции.

Рассмотрим подробнее дифуравнение первого порядка F(x, y, y’)=0 (2)

или, если удается выразить y’ явно через х и у,

y’=f(x,y) (3)

Допустим, нам удалось решить (проинтегрировать) уравнение (2) или (3). Будет ли это решение единственным ? Обратимся к простейшему дифуравнению y’=f(x).

Как известно, у = , где с = сonst .

Итак, в результате интегрирования даже простейшего уравнения мы получаем не одно, а бесконечное множество решений (семейство решений).

О2 Общим решением уравнения (2) или (3) называется семейство функции

у = (4)

заданных на некотором множестве (например, на отрезке [a,b] ) обращающих уравнение (2) или (3) в тождество.

О3 Решение y = (5)

назывется частным.

Таким образом, частное решение (5) получается из общего решения (4) при с = С0.

Геометрически (4) представляет собой бесконечное семейство линий-семейство интегральных кривых, а частное решение (5) – одну, определенную кривую этого семейства (рис.1)

y M0 ( x0 y0 )

y =

y =

0 x

Рис. 1

Для выделения частного решения из общего задают начальные условия:

(6)

(иногда (6) записывают в виде у ( х0 ) = у0 ). Геометрически это означает, что для выделения кривых надо задать точку М0 (х0 у0 ), через которую проходит эта кривая. На рис.1 график частного решения изображен жирной линией.

О4 Задача нахождения решения (5), удовлетворяющего условиям (6), называется задачей Коши.

Примечание. Результат интегрирования уравнения (2) или (3), т. е. зависимость между у, х и с не всегда удается записать в виде (4). Эта зависимость, записанная в виде

Ф (х, у, с) = 0 (7)

называется общим интегралом уравнения (2) или (3). Ясно, что общее решение и общий интеграл имеют один и тот же смысл.

Поясним физический смысл общего и частного решения на примере уравнения радиактивного распада

m’ (t) = - k m, (8)

в котором m = m (t) - наличное количество, т. е. масса радиактивного вещества в момент времени t. Уравнение (8) выражает тот факт, что скорость распада пропорциональна наличному количеству вещества. Величина К – коэффициент пропорциональности и для каждого конкретного вещества имеет определенное значение. Знак “ – “ указывает на то, что происходит убыль (распад) вещества.

Запишем уравнение (8) в виде

или

Последнее равенство есть равенство дифференциалов двух функции, а именно . Но если дифференциалы двух функции равны, то эти функции отличаются только константой, т. е.

,

откуда имеем - общее решение. По нему мы не можем сказать, что оно однозначно определяет данный процесс, поскольку неизвестно, каково было количество вещества в какой-то начальный момент времени .

Пусть известно, что

, т. е. заданы начальные условия.

Тогда имеем т0 = с и ; подставив полученное значение с в общее решение, т = с е –кt, получим, m = m0 или . Тем самым имеем вполне определенный процесс, т. е. располагая полученным частным решением. Можно узнать, каково будет в любой момент времени.

Приведем без доказательства теорему о существовании и единственности решения задачи Коши

Т1 Пусть - G область определения функции f (x, y ). Если f (x, y ) непрерывна в области и имеет ограниченную в области Д, то достаточно малое такое, что на отрезке уравнение (3) имеет единственное решение задачи Коши.

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общего метода интегрирования уравнения (3) не существует, поэтому рассмотрим частные типы уравнении, интегрирование которых приводится к вычислению неопределенных интегралов, или, как говорят, приводится к квадратурам.

УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЕННЫМИ И РАЗДЕЛЯЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Рассмотрим дифуравнение (3), где f ( x, y ) = f1 (x) f2 (y),

т. е. уравнение вида (9)

Предполагая, что запишем его в виде

(9’)

Равенство (9’) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть попеременной, а правую по, получим:

(10)

Соотношение (10) можно привести к виду (7), т. е. (10) представляет собой общий интеграл уравнения (9).

О5 Дифуравнение M (x) dx + N (y) = 0 (11)

типа (9’) называют уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл уравнения (11) по доказанному есть

П1 Дано уравнение с разделенными переменными

xdx + ydy = 0

Интегрируя, получим , или x2 + y2 = 2c1 0 ; положим 2 c1 = c2. Тогда x2 + y2 + c2 – общий интеграл (концентрических окружностей с центром (0; 0) и радиусом с).

О6 Уравнение вида M1 ( x ) N1 (y) dx + M2 (x) N2 (y) d y = 0 (12)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Его можно преобразовать к виду

, т. е. к уравнению вида (11) (преобразование законно только в той области, где и ).

П2 Решить уравнение

Решение Разделяем переменные:

Интегрируем: , или , - общее решение (семейство равносторонних гипербол).

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ

О7 Функция называется однородной функцией п-го измерения относительно х и у, если для любого выполняется

П3 - однородная функция второго измерения. т. к.

П4 - однородная нулевого измерения, т. к. .

О8 Уравнение называется однородным, если есть однородная функциянулевого измерения относительно х и у.

Пусть - однородное дифуравнение, т.е. . Полагая , получим , и уравнение примет вид

(13)

Введем новую искомую функцию , отсюда

Уравнение (13) примет вид

Z + x , или (14)

- уравнение типа (9’), т. е. с разделенными переменными.

Интегрируя (14) и подставляя вместо Z отношение , получим общий интеграл уравнения (13).

П5 Найти интегральную кривую уравнения x2 – y2 + 2 x y y’= 0, проходящую через точку M ( 1;1 ).

Решение: Преобразуем уравнение к виду

и положим .

Тогда y = xz, y ‘ = z + xz’ и , или 2z ( z + xz’ ) = z2 – 1.

Упростим: 2z2 + 2xzz’ = z2 – 1, 2xzz’ = - ( z2 + 1), 2xz - уравнение типа (9’) . Интегрируем:

,

подставим , тогда , или - семейство окружностей.

Воспользуемся тем, что искомая интегральная кривая проходит через точку , т. е. , что дает 1 + 1 = c, т. е. c = 2, следовательно y2 + x2 = 2x, или ( x – 1 )2 + y2 = 1 - окружность с центром в точке (1;1) радиуса 1.

Заметим, что уравнение y’ = f (15)

- однородное уравнение, т. е. типа (13)

Рассмотрим уравнения, приводящиеся к однородным:

y’ = (16)

где f- непрерывная функция.

При c1 = c2 = 0 уравнение (16) является уравнением типа (15) и является однородным. Пусть теперь c1 и c2 (или одно из них) отличны от нуля. Введем новые переменные s и t, полагая

(*)

Тогда (17)

Подставляя в (17) выражения для x, y и , получим (с учетом (16))

(18)

Подберем и так, чтобы выполнялось

, (19)

т. е. определим и как решения системы уравнении (19). При выполнении (19) уравнение (18) становится однородным:

, т. е. уравнение вида (16).

Решив это уравнение и перейдя снова к x и y по формулам (*), получим решение уравнения (16).

Система (19) не имеет решения, если

, т. е. а1 в2 = а2 в1

Но тогда , т. е. и уравнение (16) приводится к виду

, и подстановкой уравнение (16) будет иметь вид:

, т. е. уравнение с разделяющимися переменными.

П6 Решить уравнение

Решение: Положим х = s + , y = t + .

Имеем

Решая систему находим = 2, = 1.

Получаем однородное уравнение

, или - однородное уравнение. Введем новую искомую функцию , тогда t = s Z ( s ),

и Z + s s

s - уравнение с разделенными переменными.

Интегрируем:

или Подставляя вместо Z и s = x – 2 ,получим

или

- общий интеграл.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

О9 Уравнение вида y’ + p ( x ) y = q ( x ) (20) называется линейным, уравнением первого порядка (перед y’ может быть какой-либо множитель). Слово “линейное” означает, что уравнение содержит искомую функцию y ( x ) и y’ ( x ) в первой степени. Функции p ( x ) и q ( x ) предполагаются непрерывными.

Решение уравнения (20) будем искать в виде y ( x ) = u ( x ) v ( x ), или, короче,

y = u v (21)

Найдем y’ = u’ v + u v’ (22)

И подставим (21) и (22) в (20):

u’ v + u v’ + p ( x ) uv = q ( x ), или u’ v + u ( v’ + p ( x ) v) = q ( x ) (23)

Поскольку уравнение (23) содержит две неизвестные функции u ( x ), v ( x ), то на одну из них, например, на v ( x), мы вправе наложить дополнительное условие.

А именно, потребуем, чтобы выполнялось v’ + p ( x ) v = 0 (24)