Докажем теорему, позволяющую в большинстве случаев находить R.

Т2. Пусть $ конечный или бесконечный ; тогда

Д. 1) 0<e<+Ґ. Применяя признак Даламбера (Т4 п. 1.4.) к ряду , получим:

;

тогда: а) с<1, т. е. , ряд (12) абсолютно сходится;

б) с>1, , , ряд расходится.

2) e=0, c=0<1,ряд сходится "x, R=Ґ

3)  e=Ґ, c=Ґ, ряд абсолютно не сходится ни при каком x№0, R=0.

Из Т2 следует, что (14)

П21. Найти область сходимости ряда.

Решение. Имеем ; по формуле (14)

,(-10, 10) - интервал сходимости.

2. Исследуем поведения ряда на концах интервала:

а) при x=-10 получаем числовой ряд , который сходится по теореме Т1 п. 1.4.

б) при x=10 получаем расходящийся гармонический ряд .

Итак, [-10, 10) - область сходимости.

Примечание. Из формулы (14) следует, что она приемлема только к тем рядам, которые содержат все степени x, как чётные, так и нечётные.

П22 Найти область сходимости ряда.

Решение. 1. Формула (14) неприемлема, т. к. ряд не содержит нечётных степеней x.

Для отыскания радиуса сходимости применим непосредственно признак Даламбера. Имеем

Следовательно, ряд сходится, если , т. е. x2<2 и расходится, если .

Условие ,т. е., - интервал сходимости.

2. Выясним сходимость в точках .

При получаем ряд , для которого , т. е. нарушено условие (5), ряд расходится.

Итак, область сходимости совпадает в данном случае с интервалом сходимости .

П23. Найти область сходимости ряда .

Решение. 1. Данный ряд есть ряд общего вида, т. е. вида (13). Подстановкой x-2=t приведём его к виду (*)

2. Найдём R. Имеем . По формуле (14) , (-2, 2) - интервал сходимости ряда (*).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3. При t=-2 получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При t=2 получаем ряд - расходящийся (гармонический).

Итак, ряд (*) сходится в полуинтервале [- 2,2), т. е. при . Но t=x-2, поэтому , или - область сходимости исходного ряда.

ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА

Пусть в интервале (-R, R) ряд (12), сходится и функция f(x) является его суммой, т. е.

В математическом анализе доказывается, что справедлива следующая теорема.

Т1. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать в интервале его сходимости, причём проинтегрированный и продифференцированный ряды имеют тот же радиус сходимости R, что и радиус сходимости R исходного ряда, т. е.

(15)

и (16)

ясно, что (15) и (16) верны "[a, b]М(-R, R).

П24. Найти область сходимости ряда и его сумму f(x) в интервале сходимости.

Решение. В предположении о существовании интервала сходимости рассмотрим ряд

Начиная со второго члена, этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=-x2. Следовательно, ряд сходится при , т. е. при , и радиус сходимости R=1. На концах интервала сходимости, т. е. при исходный ряд имеет вид и сходится по признаку Лейбница. Итак, его область сходимости есть [-1,1]. Тогда в интервале (-1,1)

. Интегрируя полученную по отрезку [0,x]М(-1,1), получим

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Пусть в интервале (x0-R, x0+R) f(x) является суммой степенного ряда вида (14), т. е.

(17)

(функция f(x) разложена в степенной ряд в окрестности точки x0 по степеням (x-x0)).

Найдём коэффициенты этого ряда.

Последовательно дифференцируя тождество (17), получим:

,

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

Пологая в этих тождествах x=x0, получим

, , , , …, , …; отсюда

(18)

Итак, если f(x) разлагается в ряд (17), то

(19)

Ряд в правой части (19) называется рядом Тейлора функции f(x). В частности, при x0=0 получим:

(20) - ряд Маклорена функции f(x).

Оказывается, что не все функции могут быть разложены в ряд Тейлора. Может случиться, что ряд Тейлора, составленный формально для функции f(x), т. е. ряд, стоящий справа в (19), будет расходящимся или сходящимся не к функции f(x).

Так же как и для числовых рядов, сумму f(x) ряда Тейлора можно представить в виде

, (см. (*) п. 1.1.) где Sn(x) - n-я частичная сумма, - n-й остаток ряда. Тогда на основании 4о п. 1.1. получаем:

(21) - необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции f(x) именно к f(x).

Примечание 1. Разложение f(x) в ряд Тейлора (если оно возможно) является единственным.

Примечание 2. При выполнении (21) остаток ряда Тейлора совпадает с остаточным членом Rn(x) формулы Тейлора.

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора некоторых функций.

(1)  f(x)=ex; имеем

.

Пользуясь (20), запишем ряд Маклорена для f(x)=ex:

Найдём радиус сходимости с помощью формулы (14):

, ряд сходится "x, т. е. на всей числовой оси.

Используя остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа, можно доказать, что , поэтому (22)

(2)  f(x)=sin x; имеем ;

.

Ясно, что

По формуле (20) (в предположении о выполнимости (21)) имеем:

(23)

Область сходимость ряда (-Ґ, +Ґ).

(3)  f(x)=cos x; Применяя формулу (16) почленного дифференцирования ряда, с учётом (23) получим:

(24)

(4)  f(x)=ln(1+x); Для этой функции используем другой подход. Рассмотрим геометрический ряд

со знаменателем q=-x, который сходится при . Интегрируя последнее равенство в интервале (0; x), получим:

, или

, (25) n=0,1,2,…

Область сходимости ряда есть (-1; 1].

(5)  f(x)=arctg x; Используем тот же подход что и для f(x)=ln(1+x). Имеем

Этот ряд сходится при , т. е. при . Следовательно, , или

(26)

Область сходимости этого ряда есть [-1, 1]

Приведём без подробностей так называемый биноминальный ряд:

(27)

где a - любое действительное число, a№0.

Область сходимости зависит от a. Можно доказать, что область сходимости

С помощью приведённых здесь разложений функций ex, sin x, cos x, ln(1+n), arctg x и (1+x)a в степенные ряды можно разлагать в степенные ряды многие функции, не прибегая к формулам (19) или (20). Рассмотрим примеры.

П25. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=sin2x

Решение. Имеем ; (*)

Воспользуемся разложением (24):

Полагая в этом разложении t=2x, получим:

После подстановки полученного выражения для cos2x в (*), будем иметь:

, область сходимости - (-Ґ,+Ґ)

П26. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=xln(1+x2).

Решение. Согласно (25) имеем

Полагая в этом разложении t=x2, получим:

, где n=0,1,2,…

ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

П27. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001 значение

Решение. Имеем . Воспользуемся разложением (22) при :

Взяв выписанные шесть членов разложения, согласно (7 /) п. 1.5. мы допускаем погрешность , не превышающую первого отброшенного члена, т. е. . Итак,.

П28. Вычислить с точностью до 0,0001 значение

Решение. Имеем ;

Воспользуемся разложением (27) при , получим:

(взято 4 члена, т. к. по (7 /) п. 1.5. ).

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

П29. Вычислить с точностью до 0,0001 интеграл .

Решение. Соответствующий неопределённый интеграл - "не берущийся", т. е. не может быть выражен в конечном виде через элементарные функции.

Пользуясь разложением (23), получим: … отсюда, интегрируя почленно, получим:

.

При этом погрешность .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Пискунов и интегральное исчисления для ВТУЗов, т.1. М.,2004.

2.   , , Савельева высшей математики для экономических вузов. ч.1., М.,1982.

3.   Высшая математика для экономистов, под ред. М. 2010.

4.   , . Краткий курса высшей математики. М., наука, 1986, 576 с.

5.   Высшая математика для экономистов. Под ред. .

М., «Юнити», 2009, - 471 с.

6.   , , . Краткий курс

высшей математики. М., «Высшая школа», 1999, - 640 с.

7.   , . Краткий курс высшей

математики. М., «Наука», - 576 с.

8.   Виленкин математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: Учебное пособие/Ростов н/Д: Феникс, 2009.-414 с.

9.   и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II. М., «Высшая математика», 2004, - 365 с.

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 2

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ 2

МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 17

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 19

ДИФФРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 23

РЯДЫ 27

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8