Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Математика» (стр. 6 )

Подставив y*, y*’, y*” в (45), имеем B - 2 B -3 B = -2 , или -4 B = -2 4B = 2, B =

Итак, у* = ех. Согласно (43) у = с1 е3х + с2 е-х + ех - общее решение уравнения (45).

П15 Найти общее решение уравнения

y” + 4y = 4 sin2x (47)

Решение Однородное уравнение: y” + 4y = 0 (48)

xарактеристическое уравнение: к2 + 4 = 0, отсюда к1 = 2i, k2 = - 2i, т. е. (cм. 41). Oбщее решение уравнения (48) имеет вид = c1 cos2x + c2 sin2x.

Так как f(x) = 4 sin 2x = 0 + 4sin2x, то совпадает с корнем характеристического уравнения. Тогда согласно п. 3. б) y* = x (A cos + B sin ). Далее,

y*’ = Acos2x + Bsin2x - 2x (A sin - B cos),

y*” = -4Asin2x + 4Bcos2x - 4x (A cos- B sin ).

Подставляя y*, y*’, y*” в (47), имеем после упрощений -4Asin2x + 4Bcos2x = 4sin2x.

Приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x в обеих частях полученного равенства, имеем

-4A = 4, 4B = 0, т. е. A = -1, B = 0, y* = - x cos2x, и

y = + y* = c1 cos2x + c2sin2x – xcos2x eсть общее решение уравнения (47).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ

Дифференциальные уравнения являются универсальными в том смысле, что дифуравнение определенного типа описывает различные процессы и явления. Например, дифуравнение второго порядка с постоянными коэффициентами описывает как механические колебания (груз, подвешенный на упругой пружине) так и электрические колебания в цепи, состоящей из омического сопротивления, конденсатора и катушки индуктивности.

В п. 1 (Основные понятия) рассматривалось уравнение радиактивного распада (8), смысл которого в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству (к моменту времени t ) вещества. Следующая задача макроэкономической динамики в принципе совпадает с уравнением радиактивного распада (8)

Задача Пусть y(t) - объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t.

Примем условие ненасыщаемости рынка, т. е. положим, что все производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене p. Тогда доход к моменту времени t составит

Y(t) = py(t).

Пусть J(t) - величина инвестиции, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиции, т. е.

y’(t) = l J(t) (49)

Полагая, что величина инвестиции J(t) составляет фикироанную часть дохода, получим

J(t) = m Y(t) = mpy(t), (50)

где коэффициент пропорциональности m ( так называемая форма инвестиции) – постоянная величина, 0 < m < 1. Подставляя J(t) из (50) в (49), получим уравнение y’ = ky, (51)

где k = mpl.

Уравнение (51) – с разделяющимися переменными и в принципе совпадает (по типу) с уравнением радиактивного распада (8), которое было проинтегрировано в п. 1.

Заметим, что уравнение (51) описывает так же рост народонаселения (демографический процесс), динамику роста цен при постоянной инфляции.

РЯДЫ

Принятые обозначения.

1. Определения будем обозначать 1о, 2о, и т. д., то есть 1о - определение первое, 2о - определение второе, и т. д.

2. Теоремы будем обозначать Т1, Т2,…

3.  Следствие из теорем - С1, С2,…

4.  Начало доказательства - Д

5.  Принята сплошная нумерация формул

6.  Для сокращения записи используются символы математической логики: ",$,Ю, Ы

"x - для любого, для всякого, для каждого x;

$ - существует;

AЮB - из утверждения (формулы) А следует утверждение (формула) В;

АЫВ - для выполнения А необходимо и достаточно выполнение В (А равносильно В)

7.  П1, П2, … Означает пример 1, пример 2, … (нумерация сплошная)

8. 

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ЧИСЛОВОЙ РЯД И ЕГО СХОДИМОСТЬ

В математике и её приложениях большую роль играют суммы бесконечного множества слагаемых (бесконечные суммы). Вспомним, например, что

(определение определённого интеграла)

Другой пример, знакомый по школьному курсу математики, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:

Оказывается, не все бесконечные суммы подчиняются законам, которые верны для конечных сумм. Поэтому возникает необходимость построения строгой теории бесконечных сумм (рядов).

Рассмотрим последовательность действительных чисел:

u1, u2 ,u3 , …, un, …, где u1=f(1), u2=f(2), …, un=f(n), …, un - функция натурального аргумента.

1о Выражение (1) называется числовым рядом.

Числа u1, u2, …, un, … называются членами ряда, а un=f(n) - общим или n-м членом ряда.

Образуем последовательность S1=u1, S2=u1+u2, S3=u1+u2+u3, Sn=u1+u2+…+un, …, или, короче, последовательность {Sn}, где

2о Числа S1, S2, …, Sn, ………. (2) называются частичными суммами ряда (1)

Возможны три случая:

1. $ конечный в этом случае ряд (1) называется сходящимся, число S называется его суммой.

2. ряд (1) - собственно расходящийся.

3. Не существует конечного и Sn? Ґ (не стремиться к бесконечности); ряд (1) - расходящийся (колеблющийся).

П1. Найти сумму ряда (3)

Решение. С учётом тождества найдём

; отсюда , т. е. ряд сходится и его сумма S=1

Примечание. Для сходящегося ряда с суммой S пишут , так что в данном примере

П2. Исследовать сходимость геометрического ряда (прогрессии) , (4)

где . Известно, что

а) пусть ; тогда при , следовательно

б) ; при этом, , ряд расходится

в) q=1, ряд (4) принимает вид: , тогда , , ряд расходится

г) , ряд (4) принимает вид:

Ясно, что Sn не имеет предела при , ряд расходится.

Итак, геометрический ряд (4) сходится при и сумма его при этом ; при ряд расходится.

3о. Ряд, полученный из данного отбрасыванием его первых n членов, называется n-м остатком ряда.

Пусть ряд (1) сходящийся.

Тогда остаток ряда , (*) и можно сформулировать определение

сходимости ряда:

4о. Сходимость

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то и ряд также сходится и имеет сумму cS.

2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S1 иS2, то и ряд также сходится, и его сумма равна S1+S2.

3. В результате отбрасывания конечного числа начальных членов сходящегося ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов сходимость ряда не нарушается.

Д. Пусть , , где - k слагаемых

По свойству 2. .

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД

Т. Если ряд сходится, то

Д. Имеем . По условию ряд сходится, т. е. , и .

Тогда

Итак, (5)- необходимое условие сходимости ряда, т. е. при невыполнении этого условия ряд расходится.

П3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем , , условие (5) не выполнено, ряд расходится.

П4. Исследовать сходимость гармонического ряда

Решение Имеем , , необходимое условие выполнено. Покажем, что тем не менее ряд расходится.

Имеем , или

;

Поскольку , , …, и складывая неравенства одинакового смысла, получим, или ; если допустить, что ряд сходится, то имеем , , , - противоречие, показывающее, что допущение о сходимости ряда оказалось неверным.

Этот пример показывает, что условие (5) является только необходимым, но не достаточным для сходимости ряда.

РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Рассмотрим ряд ,

Т1. Сходимость ограниченность сверху {Sn}.

Д. Пусть ряд сходится, т. е. , что означает: (">0) ($n0()ОN) [n>n0() ЮкSn-Sп<]. Но кSn-S к<можно записать S-<Sn<S+ Ю{Sn} ограничена сверху. С другой стороны, {Sn} - монотонная неубывающая последовательность, т. к. .

Поэтому, если {Sn} ограничена сверху, то по теореме о существовании предела монотонной ограниченной переменной , т. е. ряд сходится.

Т2. Пусть даны два ряда: (I) и (II), . Если хотя бы начиная с некоторого n:

а) и ряд (II) сходятся, то и ряд (I) также сходится.

б) и ряд (II) расходятся, то и ряд (I) также расходится.

Д. а) Обозначим и .

По условию ряд (II) сходятся, а это по предыдущей теореме Т1 равносильно ограниченности сверху {dn}. Но ввиду ясно что , т. е. {Sn} ограничена сверху, тогда по теореме Т1 ряд (I) сходится.

б) Расходимость ряда (II) означает неограниченность сверху {dn}; ввиду ясно, что , т. е. {Sn} неограниченна сверху Ю ряд (I) расходится.

П5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем , ряд - сходящийся геометрический ряд . Ряд сходится по п. а) теоремы Т2.

П6. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем , ряд представляет собой гармонический (расходящийся) ряд с отброшенным первым членом 1. Ряд расходится по п. б) теоремы Т2.

Примечание. Если и - расходящийся, то вопрос о сходимости остаётся открытым. Опираясь на теорему Т2, можно легко доказать следующую теорему.