Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Математика» (стр. 7 )

Т3. Если $ конечный , то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

П7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем . Возьмём для сравнения ряд, т. е. и найдём . Поскольку - расходящийся, то и - расходящийся.

П8. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем .

Заметим, что при n®Ґ (n3+1) "ведёт себя примерно так же, как n3", то есть роль 1 не существенна по сравнению с n3. Отсюда следует, что бесконечно малая ~.

Далее, бесконечно малая общий член сходящегося ряда (3) (см. п. 1.1.).

Теперь найдём =

Поскольку $ конечный и сходится, то также сходится по теореме Т3.

На практике часто используется признак Даламбера.

Т4. (признак Даламбера в предельной форме). Если $ , то ряд :

а) сходятся при С<1

б) расходятся при С>1

в) при С=1 вопрос о сходимости остаётся открытым.

П9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем ,, ряд расходится.

П10. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем ,

, ряд сходится.

Во многих случаях (например, когда с помощью признака Даламбера невозможно установить сходимость или расходимость ряда) используется интегральный признак Коши.

Т5. (интегральный признак Коши).

Пусть f(x) - положительная, невозрастающая и непрерывная функция на [1;+Ґ). Тогда ряд , где un=f(n),будет сходящимся, если сходится , в противном случае - расходится.

Д. Построим на [1, n+1] график функции y= f(x) и на этом графике отметим точки (1, u1), (2, u2), …, (n+1, un+1),т. е. точки (k, f(k)), uk=f(k), k=1, 2, …, n.

(рис. 1)

M0 ( x0 y0 )

у

M0 ( x0 y

U1 U2 U3 U4

U5 Un Un+1

n n+1 х

рис. 1

Тогда представляется как сумма площадей "выходящих" прямоугольников, совокупность которых содержит в себе криволинейную трапецию, ограниченную графиком y=f(x) и прямыми y=0, x=1, x=n+1, поэтому

Далее, эта трапеция содержит в себе "входящие" прямоугольники, сумма площадей которых равна , следовательно, . Итак, .

Пусть сходится и равен J. Тогда (в силу положительности f(x)),отсюда , т. е. частичные суммы ряда ограничены сверху и по теореме Т1 ряд сходится.

Пусть теперь расходится т. е. при n®Ґ и подавно , т. е. ряд расходится. Теорема доказана.

Теорема останется в силе, если заменить где m - любое натуральное.

П11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем . Функция удовлетворяет условиям теоремы на [1, +Ґ);

При a=1 имеем - гармонический (расходящийся) ряд. Итак, ряд сходится при a>1 и расходится при .

РЯДЫ С ЧЛЕНАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗНАКА

Знакочередующиеся ряды.

5о. Ряд (6) или , где un>0, называется знакочередующимся.

Т1. (признак Лейбница) Если и , то ряд (6) сходится, а его сумма .

Д. .

Т. к. по условию каждая величина в скобках положительна, то , т. е. {S2n} - возрастающая последовательность. С другой стороны, ;

Итак, {S2n} монотонно возрастает и ограниченна сверху Ю$

Далее, ,

Пределы частичных сумм четного и нечётного порядков совпадают, т. е. ряд сходится и его сумма равна S, причём (7)

Из (7) Ю модуль остатка , (71)

Причем знак остатка совпадает со знаком первого из членов, не вошедших в Sn­­­. Другими словами погрешность приближения не превышает по модулю величины un+1.

П12. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем и , так что условие теоремы Т1 выполнены, ряд сходится.

П13. Исследовать сходимость ряда

Решение. при n®Ґ! Расходимость объясняется тем, что нарушено условие монотонности убывания членов.

П14. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем , т. е. Нарушено условие (5) - необходимое условие сходимости, поэтому ряд расходится.

П15. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда

Решение. Ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому .

Для достижения заданной точности достаточно, чтобы выполнялось , или . Это неравенство выполняется, начиная с n=3.

Итак,

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

6о. Ряд (8) называется знакопеременным, если любой член un может быть как положительным так и отрицательным.

Т2. (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд (9) сходится, то сходится и ряд (8).

Д. Обозначим и суммы модулей членов ряда (8), входящих в него со знаком "+" и "-" соответственно. Тогда частичная сумма данного ряда , а ряда, составленного из модулей его членов, . По условию ряд (9) сходится, следовательно, $ конечный . Последовательности возрастающие, следовательно, , и , т. е. ряд (8) сходится.

Примечание. Из сходимости ряда (8) не следует сходимость ряда (9). Например, ряд - расходящийся (гармонический), в то время как сходящийся по теореме Т1.

7о. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (при этом ряд сходится по теореме Т2).

8о. Ряд (8) называется условно сходящимся, если ряд (8) сходится, а ряд (9) расходится.

П16. Ряд - условно сходящийся, т. к. этот ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд - расходится.

П17. Ряд - абсолютно сходящийся, т. к. сходится (см. П9), и по теоремеТ2 настоящего пункта ряд также сходится.

Примечание. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды во многом напоминают конечные суммы: их можно почленно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. (*)

П18. - условно сходящийся ряд.

Переставим члены:

Итак, получили , что подтверждает (*).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД И ОБЛАСТЬ ЕГО СХОДИМОСТИ

Рассмотрим последовательность функций f1(x), f2(x), …, fn(x), …, заданных на множестве.

9о. Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (10) Называется функциональном рядом.

При фиксированном x=x0 ряд (10) обращается в числовой ряд f1(x0)+ f2(x0)+…+fn(x0)+…, который может быть сходящимся или расходящимся. При этом точка x0 называется соответственно точкой сходимости или точкой расходимости ряда (10).

10о. Множество точек сходимости ряда (10) называется областью сходимости ряда (10).

Составим последовательность

. (11)

11о. Суммой ряда (10) называется , S(x) - сумма ряда, Sn(x) - частичные суммы ряда (10).

П19. Найти область сходимости ряда

Решение. Ряд представляет собой геометрическую прогрессию, или геометрический ряд, сходящийся при , следовательно, (-1, 1) - область сходимости ряда. При этом сумма ряда .

П20. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применим к ряду признак Даламбера. Имеем ,

; если , то , отсюда

, поэтому ряд абсолютно сходится; если , то

и ряд снова абсолютно сходится. В точках ряд имеет вид и расходится, т. к. его общий член не стремится к нулю. Итак область сходимости есть .

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННОЙ РЯД И ОБЛАСТЬ ЕГО СХОДИМОСТИ

12о. Ряд (12) называется степенным.

Степенной ряд общего вида.

(13) подстановкой приводится к виду (12).

Структура (строение) области сходимости ряда (12) выясняется с помощью теоремы Абеля:

Т1. (теорема Абеля) Если ряд (12) сходится при , то он абсолютно сходится в каждой точке x, такой, что.

Д. По условию ряд сходится Ю выполняется условие (5), т. е. Ю ограниченность ,т. е..

Пусть . Тогда - общий член сходящегося геометрического ряда, т. к. (по условию).

По теореме Т2 п. 1.4. (признак сравнения) ряд сходится, т. е. ряд (12) сходится абсолютно.

Следствие. Если ряд(12) расходится в точке x1, то он расходится в любой точке x, такой,

Д. Если допустить противное, т. е. сходимость ряда в точке x, то ввиду по доказанному ряд сходился бы в точке x1 (вопреки условию).

В тех случаях, когда ряд(12) имеет отличные от нуля точки сходимости и точки расходимости (существуют также ряды сходящиеся "x и ряды, расходящиеся "x№0) $ R>0, такое, что при ряд абсолютно сходится, а при расходится. При этом число R называется радиусом сходимости ряда (12), а интервал (-R, R) - интервалом его сходимости.

В точках x=-R и x=R ряд может сходится, а может и расходится, так что интервал сходимости и область сходимости, вообще говоря, не одно и то же.