Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Математика» (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И

СЕРВИСА

Кафедра высшей математики

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

По дисциплине: «МАТЕМАТИКА»

Часть 1. Том 2.

Краткий конспект лекций

Уфа – 2011

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

При математическом описании явлении окружающей нас действительности приходится констатировать, что многие изучаемые величины зависят не от одного, а от нескольких факторов. Если изучаемую величину U и каждый из определяющих её n факторов можно охарактеризовать некоторым числом, то указанная зависимость означает, что упорядоченному набору из n чисел ставится в соответствие число U. Дадим следующие определения.

. Упорядоченный набор чисел будем называть точкой М n-мерного пространства R, причем R , где R-множество действительных чисел.

Геометрическим образом пространства R служит числовая ось (каждая точка пространства имеет одну координату - абсциссу), образом пространства R - координатная плоскость (каждая точка имеет две координаты - абсциссу и ординату), образом R служит трехмерное пространство, каждая точка которого имеет три координаты - абсциссу, ординату и аппликату.

. Пусть R . Соответствие f, сопоставляющее каждой точке единственное действительной число R , называется действительной функцией n действительных переменных и обозначается (), или U=f(M) ,причем - независимые переменные;

U=f(M)-значение функции; - область определения; множество значений; - закон соответствия.

Если не указано, то оно определяется из условия выполнимости операций или действий, указанных в законе соответствия (при аналитическом задании функции).

Замечание Вместо обычно употребляется запись , а вместо употребляется .

Пример. Найти область определения функции двух переменных .

Решение Соответствие между имеет смысл лишь при, т. е. при. Таким образом,

т. е. область определения есть множество точек плоскости, для которых . Геометрически: - замкнутый круг радиуса 3 с центром в т.(0,0) (т. е. внутренность круга, включая границу-окружность) область значений.

Резюме. Функция () ставит в соответствие точке R единственную точку R .

ГРАФИК ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция определена в области R и точка . Проведем перпендикуляр к плоскости в точке М и на нем отложим расстояние - вверх, если , и вниз, если .

Множество точек образует некоторую поверхность (рис.1)

z

0 y

(Д)

x

рис.1

Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется графиком функции . Например, графиком функции является верхняя полусфера (рис.2), графиком функции является нижняя полусфера, а уравнение определяет полную сферу.

Z

3

3

у

3 рис.2

х

Резюме. Графиком функции является поверхность, проекцией которой на плоскость является область (Д) - область

определения функции.

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Пусть определена в области (Д)R ,

. (означает по определению)

Более краткая запись:

Круг с центром в т. радиуса будем называть - окрестностью т. и обозначать . Интервал называется - окрестностью точки A и обозначается . Тогда определение предела функции в точке можно сформулировать в следующем эквивалентном виде:

.

Здесь означает проколотую окрестность, т. е. круг с удаленным центром. Итак существование означает, что как только точка попадает в проколотую окрестность точки , то образ этой точки, т. е. попадает в - окрестность точки .

Резюме. Существование конечного предела означает, что если точка «подойдет» к точке достаточно близко, а именно, на расстояние, меньше чем ,то «подойдет» к точке А сколь угодно близко, а именно, на расстояние, меньше чем , где - сколь угодно малое положительное число.

Для функции нескольких переменных остаются в силе теоремы о пределе суммы, произведение и частного двух функций, в том числе для

Примеры:

1.Вычислить

Решение: Под знаком предела имеем неопределенность вида . Положим при . Имеем

2.Вычислить

Решение. Перейдем к полярным координатам причем

, при . Тогда

т. к. - ограниченная при ,

- бесконечно малая; по известной лемме произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая, т. е.

=0

 

бес. мала ограничена

3 Доказать, что не существует.

Решение. Стремление означает, что точка удаляется в бесконечность, причем способов удаления, т. е. «маршрутов» , передвижения точки бесконечное множество.

В случае существование предела значения «придут» к некоторой точке независимо от «маршрута», или «пути». Следовательно, если выбрать два различных «маршрута» и показать, что «пункты прибытия» значений различны, то это и будет означать, что не существует, т. е. «не подойдет» к определенному «пункту» А.

1. Пусть вдоль прямой ; при этом

2. Пусть вдоль параболы ; тогда

Поскольку нарушена единственность предела, т. е. не существует.

Пусть и функция называется непрерывной в точке , если существует конечный

Для функции двух переменных можно перефразировать так:

называется непрерывной в точке если существует конечный ил

Положим - приращение переменной ;

- приращение переменной ;

- приращение функции. Получаем эквивалентное определение:

Функция называется непрерывной в точке , если

Выполнение равносильно выполнению трех условий:

1) определена как в самой точке , так и в некоторой её окрестности;

2) существует конечный

3) этот предел равен значению