Физика (стр. 6 )

№ варианта	v.103 м/с	m.1,7.10-27 кг	q.1,6.10-19 Кл	r, нм
747	?	1	1	5,4
748	1	?	2	78
749	8	1	1	?
750	2	5	?	27

Задача 7.6. Частица, имеющая массу m1 и заряд q1, движется навстречу частице, имеющей массу m2 и заряд q2 . При большом расстоянии друг от друга частицы обладают скоростями v1 и v2. Минимальное расстояние, на которое сблизятся частицы r. Определите величину, обозначенную в таблице знаком вопроса.

№ варианта	m1.1,7.10-27 кг	m2.1,7.10-27 кг	q1.1,6.10-19 , Кл	q2.1,6.10-19, Кл	v1.103, м/с	v2.103, м/с	r.10-4, см
751	1	1	1	1	18	0	?
752	2	3	2	1	11	?	4,7
753	3	4	1	?	15	0.1	12
754	?	2	1	2	14	1,2	6
755	4	5	1	1	?	3	0,73
756	2	3	?	1	16	1.6	4,4
757	1	?	1	1	2	1,0	4,5

Задача 7.7 Частица с зарядом q и массой m, будучи помещенная в однородное электрическое поле напряженностью Е, начинает двигаться вдоль силовой линии поля и через некоторое время t, пройдя расстояние между точками поля, разность потенциалов между которыми равна U, приобретает скорость v.

Определите величины, обозначенные в таблице знаком вопроса.

№ варианта	q.1,6.10-19 Кл	m.1,7.10-27 кг	Е, кН/м	t, мс	U, В	L, см	v.106 м/с
758	-2	?	?	0,5	90	?	6
759	-1	4	0,33	?	?	30	?
760	3	10	?	1,0	?	?	8,5
762	?	16	?	?	150	25	21,2
762	-1	?	?	?	200	16	6
763	?	28	0,67	?	?	15	13,4
764	3	20	0,29	2,5	?	?	?
	Задача 7.8 Бесконечная электрическая плоскость А1А2 (рис) имеет поверхностную плотность заряда σ1, а шар из диэлектрика радиусом r имеет поверхностную плотность заряда σ2 . Напряженность в точке С, находящейся на расстоянии L от центра О шара, равна Е. Определить величину, обозначенную в таблице знаком вопроса.

№ варианта	σ1 , нКл/м2	σ2, нКл/м2	r, см	L, см	E, кН/Кл
765	?	25	30	20	35
766	25	?	20	50	20
767	10	15	?	5	10
768	30	45	60	?	40
769	1,2	1,5	1,7	1,3	?

Задача 7.9. Наэлектризованный шар радиусом имеет объемную плотность заряда ρ. Сила, действующая на точечный заряд q, находящийся на расстоянии d от поверхности шара равна F. Определите величину, обозначенную в таблице знаком вопроса, энергию взаимодействия заряда и шара и начертите графики зависимости напряженности и потенциала шара от расстояния до его центра.

№ варианта	q.10-4 Кл	ρ.10-4 Кл/м3	r, см	d, см	F, мкН
770	20	?	3	10	24
771	15	30	?	15	53
772	40	60	8	?	590
773	35	40	7	30	?
774	25	?	12	30	370

Задача 7.10 В вершинах прямоугольника находятся заряды q1 и q2 . Стороны прямоугольника mABn имеют размеры mA= 6см и mn = 8см. Определить в точках, указанных в таблице напряженность и потенциал элeктростатического поля, а также работу сил поля по перемещению точечного заряда = 1.10-10 Кл из первой точки во вторую. Выделенные точки находятся на следующих расстояниях: AD = DB, PZ = PD/3 AN = NR = Km = Am/3 DM = ML = Ln = Bn/3 AE = Em = Bf = Fn mQ = Sn = mn/4 Числовые значения зарядов, а также точки, где надо провести расчеты указаны в таблице.

№ варианта	q1.10-7 Кл	q2.10-7 Кл	Точки	№ варианта	q1.10-7 Кл	q2.10-7 Кл	Точки
775	1	-6	A, B	788	-8	1	A, B
776	2	-3	A, C	789	-7	2	A, C
777	3	-4	B, D	790	-9	3	B, D
778	4	-4	T, B	791	-3	4	T, B
779	5	-3	A, F	792	-7	5	A, F
780	6	-2	K, D	793	-6	6	K, D
781	5	-1	L, D	794	-4	7	L, D
782	4	-2	C, M	795	-5	6	C, M
783	3	-3	N, B	796	-4	5	N, B
784	2	-4	T, H	797	-3	4	T, H
785	1	-5	F, Q	798	-1	3	F, Q
786	2	-6	K, Z	799	-2	2	K, Z
787	3	-5	V, S

ЗАДАНИЕ 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

8.1 Поток вектора напряженности электростатического поля (ПВЭН). Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности электростатического поля через элементарную площадку: d N = EdScos α = EndS, где - вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с нормалью к площади; En = Ecos α - составляющая вектора по напрaвлению нормали к площади

Поток вектора электростатического поля через произвольную напряженности поверхность: NE = = =

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: NE= = ; в случае непрерывного распределения зарядов NE = , где ε0– электрическая постоянная Qi - алгебраическая сумма зарядов внутри поверхности; n-число зарядов; ρ - объемная плотность зарядов

8.2 Применение теоремы Гаусса к расчету электрических полей

Система зарядов	Напряженность поля	II потенциал
Точечный заряд Q	E = Q/4πε0r2	φ =Q/4πε0r φ∞ = 0
Равномерно заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью зарядов σ	E = σ/2ε0
Две равномерно разноименно заряженные бесконечные плоскости, расположенные на расстоянии d	0 ≤ r ≤ d: E= 0 r < 0; r > d: E = σ/ε0
Равномерно заряженная сфера радиусом R	0 < r < R: E = 0 r = R: E = Q/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2	0 < r ≤ R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r
Равномерно объемно заряженный шар, радиусом R	0 < r < R: E = Qr/4πε0R3 r = R: E = O/4πε0R2 r > R: E = Q/4πε0r2	0 < r < R: r = R: φ = Q/4πε0R r > R: φ = Q/4πε0r
Равномерно заряженный бесконечный цилиндр радиуса R (нить) с линейной плотностью заряда τ	r < R: E = 0 r = R: E = τ/2πε0R; r > R: E = τ/2πε0r	r < R: φ = τ/2ε0 r > R:

Пример 1. В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R = 2 см (рис. 11). Объемная плотность зарядов постоянна и равна ρ = 2 мКл/м3. Найти напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r1 = 1,0 см и r2 = 2,0 см от оси цилиндра. Построить график Е(r).

Условие:

R = 2 см = 0,02 м;

r1 = 1,0 см =0,01 м;

r2= 2,0 см = 0,02 м;

Е1 - ? Е2 - ? Е(r) - ?

Решение. Поле создано зарядом, равномерно распределенным по объему. Конфигурация зарядов позволяет считать, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии - прямые и в любой плоскости, перпендикулярной оси цилиндра радиальны. Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду.

Характер функциональной зависимости Е(г) для точек лежащих внутри и вне объемного заряда различен. Поэтому следует провести две вспомогательные поверхности S1 и S2 с радиусами r1 < R и r2 > R. Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде

(1)

Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся в заведомо разных условий относительно силовых линий поля, причем во всех точках торцов ЕdS = π/2 и поток вектора напряженности сквозь торцевые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях S1,2 бок нормаль совпадает с направлением радиуса-вектора, поэтому EdS = ErdS и

ErdS. (2)

Все точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать Еr(г) постоянной величиной. Тогда

ErdS = Er2πrh, (3)

где r и h - радиус и высота вспомогательной поверхности.

Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (3), зависит от радиуса вспомогательной поверхности.

При r < R Q = ρπr2h, (4)

где r – расстояние от оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности S1.

Подставляя выражение (3) в (1) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S1 правой частью равенства (4) получаем

E12πrh = ρπr2h/ε0,

откуда E1 = ρr/2ε0, (5)

Е1 = 1,1·103 В/м.

При r > R Q = ρπR2 h .

Подставляя (3) в (31) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S2 правой частью равенства (4) получаем

E22πrh = τπR2h/ε0.

Откуда E2 = ρR2/2ε0r. (6)

Е2 = 1,5·103 В/м.

Для построения графика Е(г) на оснований выражений (5) и (6) целесообразно рассчитать Еr при г = R: Е(R) = ρR/2ε0 = 2,3∙103 В/м.

Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва. Графическая зависимость Е(г) показана на рис. 11.

Задача 8.1 Две равномерно заряженные концентрические сферы с радиусами R1 и R2 имеют заряды соответственно q1 и q2 .

1. Определить напряженность и потенциал, создаваемые заряженными сферами в точках а, b, и с, находящимися на расстоянии соответственно r1, r2 и r3 от центра сфер.

2. Построить график зависимости напряженности от расстояния E(r), взяв за начало координат центр сферы.

3. Построить график зависимости потенциала от расстояния φ(r), приняв за нулевой потенциал точку, находящуюся очень далеко от центра сфер.

4. Определить скорость v частицы массой m с зарядом q, если она начинает движение со скоростью v0 из точки, лежащей на внешней сфере в точку на внутренней поверхности сферы.

Числовые значения заданных величин указаны в таблице

№ варианта	q1.10-10 , Кл	q210-10 , Кл	R1 , см	R2, см	r1 см	r2 см	r3 см	Q10-19 , Кл	m.10-27 кг	v0.106, м/с
800	2	-1	1	4	0,5	3	5	-1,6	1,67	0
801	-2	1	2	5	1,5	4	6	1,6	3,34	1
802	2	-3	3	6	2,0	5	7	1,6	6,68	2
803	-1	5	1	4	0,5	3	5	-1,6	1,67	3
804	1	-3	2	5	1,5	4	6	1,6	3,34	4
805	3	-5	3	6	2,0	5	7	1,6	6,68	5
806	1	-4	1	4	0,5	3	5	-1,6	1,67	6
807	3	-5	2	5	1,5	4	6	1,6	3,34	7
808	4	-2	3	6	2,0	5	7	1,6	6,68	8
809	5	-8	1	4	0,5	3	5	-1,6	1,67	9
810	10	-5	2	5	1,5	4	6	1,6	3,34	10
811	-8	12	3	6	2,0	5	7	1,6	6,68	0
812	5	-1	1	4	0,5	3	5	-1,6	1,67	1
813	5	-6	2	5	1,5	4	6	1,6	3,34	2
814	-9	- 6	3	6	2,0	5	7	1,6	6,68	3
815	12	5	1	4	0,5	3	5	-1,6	1,67	4
816	-4	-4	2	5	1,5	4	6	1,6	3,34	5
817	4	4	3	6	2,0	5	7	1,6	6,68	6
818	-12	7	1	4	0,5	3	5	-1,6	1,67	7
819	12	-7	2	5	1,5	4	6	1,6	3,34	8
820	3	-4	3	6	2,0	5	7	1,6	6,68	9
821	-15	12	1	4	0,5	3	5	-1,6	1,67	10
822	15	-9	2	5	1,5	4	6	1,6	3,34	0
823	12	-5	3	6	2,0	5	7	1,6	6,68	1
824	1	4	1	4	0,5	3	5	1.6	1,67	2

Задача 8.2 Две плоскопараллельные тонкие пластины заряжены, поверхностные плотности электрических зарядов на них равны соответственно σ1 и σ2

В поле, образованное этими пластинами, внесли слой диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью ε толщиной d1 и слой металла толщиной d2. Расстояние между пластинами равно d = d1 + d2

Найти напряженность и потенциал электростатического поля:

а) в точке А, находящейся между пластинами на расстоянии а1 от первой пластины;

б) в точке В, находящейся между пластинами на расстоянии от второй пластины - a2;

в) в точке С вне пластин на расстоянии а3 от первой пластины;

г) в точке D вне пластин на расстоянии а4. от второй пластины.

Начертить графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния, приняв за начало точку А.

Числовые значения величин приведены в таблице

№ варианта	σ1.10-10 , Кл/м2	σ2. 10-10, Кл/м2	ε	d1, м	d2,м	а1 ,м	а2, м	а3, м	а4, м
За нуль потенциала принять потенциал 1-й пластины
825	8,8	-17,6	1,5	0,20	0,10	0,20	0,05	0,10	0,50
826	4,4	-8,8	2	0,10	0,10	0,10	0,05	0,15	0,45
827	-17,6	4,4	2,5	0,15	0,20	0,10	0,15	0,20	0,40
828	17,6	8,8	3	0,25	0,15	0,20	0,05	0,25	0,35
829	17,6	-17,6	3,5	0,30	0,25	0,30	0,20	0,10	0,50
830	-8,8	17,6	4	0,20	0,10	0,15	0,15	0,15	0,45
831	17,6	8,8	1,5	0,10	0,10	0,10	0,05	0,20	0,40
832	8,8	4,4	2	0,15	0,10	0,10	0,05	0,25	0,35
833	-8,8	-4,4	2,5	0,25	0,20	0,20	0,15	0,10	0,50
834	-4,4	-8,8	3	0,30	0,15	0,25	0,10	0,15	0,45
835	4,4	17,6	3,5	0,15	0,25	0,15	0,20	0,20	0,40
836	-17.6	-8,8	4	0,30	0,10	0,25	0,05	0,25	0,35
За нуль потенциала принять потенциал 2-й пластины
837	-27,3	17,6	1,5	0,20	0,10	0,20	0,05	0,10	0,50
838	27,6	-17,6	2	0,10	0,10	0,10	0,05	0,15	0,45
839	-4,4	8,4	2,5	0,15	0,20	0,10	0,15	0,20	0,40
840	4,4	-12,4	3	0,25	0,15	0,20	0,05	0,25	0,35
841	16,5	-12,4	3,5	0,30	0,25	0,30	0,20	0,10	0,50
842	-26,4	12,4	4	0,20	0,10	0,15	0,15	0,15	0,45
843	20,5	-13,8	1,5	0,10	0,10	0,10	0,05	0,20	0,40
844	-18,4	21,6	2	0,15	0,10	0,10	0,05	0,25	0,35
845	8,8	-15,9	2,5	0,25	0,20	0,20	0,15	0,10	0,50
846	-8,8	7,0	3	0,30	0,15	0,25	0,10	0,15	0,45
847	4,8	-8,0	3,5	0,15	0,25	0,15	0,20	0,20	0,40
848	-5,4	11,0	4	0,30	0,10	0,25	0,05	0,25	0,35
849	11,4	-5,6	2,5	0,35	0,15	0,30	0.10	0,40	0,25

Задача 8.3. Очень длинный тонкостенный металлический цилиндр радиусом имеет заряд, равномерно распределенный по его поверхности с линейной плотностью τ1. Вдоль оси цилиндра проходит бесконечно тонкая нить, несущая распределенный заряд с линейной плотностью τ2.

Точка А находится внутри цилиндра (rA<R), точка В – вне цилиндра (rB>R). Определить напряженность поля в точках А и В. Построить график зависимости Е(r).

№ варианта	R, см	τ1.10-9 Кл/м	τ2. 10-9 Кл/м	rA, см	rВ, см
850	10	1,0	-2,0	7	12
851	12	2,5	1,0	10	15
852	14	-2,0	1,5	12	17
853	16	-2,5	-0,5	14	22
854	20	1,5	-2,5	17	25
855	10	-1,5	3,0	7	12
856	12	4,0	-2,0	10	15
857	14	-4,0	1,0	12	17
858	16	-1,7	0,7	14	22
859	20	2,7	-1,2	17	25
860	10	-2,5	-0.5	7	12
861	12	-1,5	4,0	10	15
862	14	2,0	-0.5	12	17
863	16	-3,0	1,0	14	22
864	20	3,5	-1,0	17	25

Задача 8.4. Очень длинный тонкостенный металлический цилиндр радиусом имеет заряд, равномерно распределенный по его поверхности с поверхностной плотностью σ. Вдоль оси цилиндра проходит бесконечно тонкая нить, несущая распределенный заряд с линейной плотностью τ. Точка А находится внутри цилиндра (rA<R), точка В – вне цилиндра (rB>R). Определить напряженность поля в точках А и В. Построить график зависимости Е(r).

№ варианта	R, см	σ .10-9 Кл/м	τ. 10-9 Кл/м	rA, см	rВ, см
865	10	5,0	2,0	7	12
866	12	-6,0	3,0	10	15
867	14	4,0	-2,4	12	17
868	16	-5,0	3,0	14	22
869	20	8,0	-3,0	17	25
870	10	-8,0	2,5	7	12
871	12	6,0	-2,5	10	15
872	14	-6,0	-1,5	12	17
873	16	4,5	1,5	14	22
874	20	-5,4	-1,5	17	25
875	10	-4,5	3,1	7	12
876	12	5,4	-3,5	10	15
877	14	7,5	-4,0	12	17
878	16	-7,5	3,8	14	22
879	20	5,7	-4,5	17	25

Задача 8.5 Шар из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε1 радиуса R1 заряжен по объему с постоянной плотностью ρ и окружен слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε2 вплотную примыкающем к шару, с внешним радиусом R2. Определить напряженность электростатического поля в точках А, В и С, расстояние до которых от центра шара равны соответственно rA, rB, rC

Построить графики зависимости электрического смещения D(r) и напряженности E (r).

№ варианта	ρ, 10-15 Кл/м	ε1	ε2	R1, см	R2, см	rA, см	rB, см	rC, см
880	5,5	7	2	5	10	2	7	15
881	-9,0	6	4	6	12	3	10	15
882	9,0	5	3	7	14	4	10	17
8883	-5,5	4	6	8	16	5	12	19
884	3,0	3	7	9	18	6	15	20
885	-6,0	2	4	10	20	7	14	25
886	-3,0	3	7	9	18	8	12	20
887	4,0	4	2	8	16	7	12	20
888	-4,0	5	3	7	14	5	12	17
889	5,0	6	2	6	12	4	10	15
890	-5,0	7	3	5	10	3	8	14

Задача 8.6 Цилиндр из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε1 радиуса R1 заряжен по объему с постоянной плотностью ρ и окружен слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε2 вплотную примыкающем к цилиндру, с внешним радиусом R2 . Определить напряженность электростатического поля в точках А, В и С, расстояние до которых от центра цилиндра равны соответственно rA, rB, rC