Методическая разработка (стр. 10 )

(4.1.6)

Вероятность Рn(1 £k £ n) того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой:

(4.1.7)

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит:

а) менее k раз (4.1.8);

б) более k раз (4.1.9);

в) не менее k раз (4.1.10);

г) не более k раз (4.1.11).

Задача. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение. Поскольку р=0,7, то q=1-р =1-0,7=0,3. По условию n=5, k=2, по формуле (4.1.1) находим:

.

Ответ: 0,1323.

Задача . Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность того, что: выпало ровно 2 герба; выпало более одного герба.

Решение. Обозначим через X число гербов, выпавших при этих подбрасываниях. В данном случае р=1/2 и q=1/2.

Случайная величина X может принимать следующие значения х1=0, x2=1, х3=2, х4=3, x5=4, х6=5. Поскольку Р(х> 1)=1-Р(х<1) =1-Р5(0)-Р5(1), то

Ответ: 0,8125.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза?

2.  Найдите вероятность того, что среди взятых наугад пяти деталей две стандартные, если вероятность детали быть стандартной равна 0,9.

3.  Определите наиболее вероятное число выпадений герба при 25 подбрасываниях монеты.

4.  Чему равно наивероятнейшее число нестандартных среди 500 деталей, если вероятность для каждой из них быть нестандартной равна 0,035?

5.  Вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-го размера, равна 0,25. Найдите вероятность того, что из шести покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41-го размера.

6.  Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80 % случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправятся 4?

7.  Производится 6 независимых испытаний. При каждом испытании событие А появляется с одной и той же вероятностью р = 2/3. Найдите вероятности для каждого k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Полученные результаты запишите в виде таблицы.

8.  Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 40 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 120 изделий?

9.  Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,7 Найдите вероятность наивероятнейшего числа попаданий, если произведено 9 выстрелов.

10.  Вероятность рождения мальчиков равна 0,515. Найдите наивероятнейшее число девочек из 600 новорожденных.

11.  Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

12.  Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

13.  Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

14.  а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

15.  Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов.

16.  В семье пять детей. Найти, вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

17.  Средний процент невозвращения в срок кредита, выдаваемого банком, составляет 5%. Найти вероятность того, что при выдаче банком 100 кредитов проблемы возвратом денег возникнут не менее, чем в двух случаях.

Ответы

1.15/128. Р5(2)=0,081. 3.12, 13. k0 =17. 5.0,466 0,74.

8.  ko = 48.

9.  0,267.

10.  n0 =29l.

11.  Р4(2) > Р6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

12.  а) вероятнее выиграть одну партию из двух; б) вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех

13.  а)3/16; б) 13/16

14.  а) 0,1792; б) 0,74.

15.  а) 0,729; б) 0,95; в) 0,99.

16.  а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62.

17.  0,96

Вопросы для самопроверки

1  Какими должны быть испытания, чтобы можно было применять формулу Бернулли?

2  Какой вид имеет формула Бернулли?

3  Как запишется закон распределения дискретной случайной величины Х-количества появившихся гербов на двух новеньких монетах? случайно оброненных на пол?

4  Какими свойствами коэффициентов бинома Ньютона можно воспользоваться для доказательства следующего утверждения: при нескольких подбрасываниях монеты вероятность выпадения герба четное число раз равно вероятности выпадения герба нечетное число раз?

5  Что называют наивероятнейшим числом появления события в n независимых испытаниях? Как находится это число?

6  Какой вид имеет формула, определяющая вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится от k1 до k2 раз

7  Как найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится хотя бы один раз?

8  Как вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз: г) не более k раз?

Заключение.

В данном пособии были рассмотрены основы теории вероятностей, что составляет лишь малую часть данной математической дисциплины. Но этого достаточно, чтобы познакомится с классическим определением вероятности и научиться вычислять вероятность по классической формуле.

Также приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения.

Методическая разработка может применяться при проведении занятий по теории вероятностей или при самостоятельном изучении основ данной дисциплины.

Список литературы.

, , Справочное пособие к решению задач, теория вероятностей, Минск, ТетраСистемс, 2003. , , Теория вероятностей и математическая статистика, базовый курс с примерами и задачами, Москва, Физмалит, 2002. , , Элементарное введение в теорию вероятностей, Москва, Наука, 1982. , Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, Москва, Высшая школа, 2004.