Методическая разработка (стр. 8 )

14.  В ящике десять деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

15.  Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

16.  Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?

17.  Вероятность попадания стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

18.  Монету бросают три раза подряд. Пусть А, В, С – события, означающие, что решка выпадет при первом, втором и третьем бросании. Найти вероятность события: АÇВÇС.

19.  Вероятность попадания при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия – равна 0,7. Найдем вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждое орудие сделало по одному выстрелу.

20.  Бросили игральный кубик и монету одновременно. Какова вероятность того, что на монете выпадет орел, а на игральном кубике четное число очков?

Ответы

1.  2/3

2.  1/30

3.  4/15

4.  0,5

5.  57/115

6.  1/24

7.  0,72

8.  0,23

9.  1/6

10.  n2

11.  0,9

12.  0,28

13.  67/91

14.  5/6

15.  0,18

16.  n³7

17.  n³5

18.  1/8

19.  0,94

20.  1/4

Вопросы для самопроверки

1. Чему равна вероятность суммы двух событий?

2. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

3. Сформулируйте теорему о вероятности суммы n несовместных событий.

4. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?

5. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

6. Сформулируйте теорему о вероятности произведения двух событий.

7. Как определяется независимость двух событий?

8. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

9. Сформулируйте теорему о вероятности произведения n событий?

10. Как определяется независимость n событий?

11. Чему равна вероятность произведения n независимых событий?

12. Как найти вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий, имеющих одинаковые вероятности?

3.3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Формула полной вероятности

Рассмотрим n попарно несовместных событий H1, H2, …, Hn, для которых известны вероятности и событие , причем известны условные вероятности P(A/Hi). Вероятность события А определяется формулой:

(3.4.1)

Опр 1. Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2, …, Hn иногда называют гипотезами.

Задача. На фабрике изготовляющей болты, первая машина при изводит 30%, вторая - 25%, третья - 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт - дефектный, а через H1, H2, H3 - события, состоящие в том, что этот болт произведен соответственно первой, второй и третьей машинами. Из условия задачи следует, что

По формуле (1) при n= 3 получаем

Ответ: 0,022

Задача. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава H1,). В двух других ящиках (состава H2) - по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике (состава H3) - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

Решение. Событие "извлечен красный шар" обозначим через А. Из условия задачи следует, что

Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик первого состава H1,

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик второго состава H2,

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик третьего состава H3),

В соответствии с формулой (1) при n = 3 находим искомую вероятность

Ответ: 0,4

Задача. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны: q1=0,01, q2=0,005, q3=0,006. Найти вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной.

Решение. Ведем обозначения: А - "из партии взята стандартная лампочка", H1, - "взятая лампочка изготовлена первым заводом", H2 -"вторым заводом", H3 - "третьим заводом". Найдем условные вероятности P(A/Hi) (i = 1, 2, 3) по формуле:

,

где - событие, противоположное событию А (взята нестандартная лампочка):

Из условия задачи следует, что

В соответствии с формулой (1) получаем

Ответ: 0,9935

Формулы Бейеса

Пусть H1,H2,…,Hn - попарно-несовместные события, вероятности которых , и событие , для которого известны условные вероятности P(A/Hi). Произведен опыт, в результате которого появилось событие А. Условные вероятности событий H1,H2,…,Hn относительно события А определяются формулами:

Формулы (1) называют формулами Бейеса.

Задача. В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах: 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные - вторым. Брак в продукции первого автомата составляет 3%. второго - 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранное изделие является бракованным, а через H1,H2 - события, состоящие в том, что это изделие изготовлено соответственно первым и вторым автоматом.

Из условия следует, что:

Искомую вероятность найдем по формуле (2), предварительно определив Р(А) по формуле (полной вероятности, которая в данном случае принимает вид:

P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2).

Подставляя сюда соответствующие значения, получаем:

Р(А) = 0,4 · 0,03 + 0,6 · 0,02 = 0,024 .

В соответствии с формулой (2) находим

Ответ: 0,5

Задача На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе р1=0,05 , на втором заводе - р2=0,01 . Наудачу взятая деталь оказались бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?

Решение: Обозначим через Н1, событие, состоящее в том, что взятая деталь изготовлена на первом заводе, Н2- на втором заводе, тогда

Пусть А - событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной. По условию

В соответствии с формулой (1) в случае n = 2 получаем:

Ответ 0,952

Задачи для самостоятельного решения.

1.  На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46% и третьей - 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой, второй, третьей фабрике.