Методическая разработка (стр. 6 )

ассоциативны:

(3.1.2)

дистрибутивны:

(3.1.3)

Указанные свойства следуют из определения действий объединения и пересечения событий.

Не все законы сложения и умножения чисел справедливы для объединения и пересечения событий. Например, для любого события А выполняются равенства:

(3.1.4)

Если U - достоверное, V - невозможное событие, А - любое событие, событие, противоположное А, то выполняются равенства:

(3.1.5)

Из свойств операций пересечения и объединения следует, что для. любых событий А и В имеем

Формула дает разложение любого события А на сумму двух непересекающихся (несовместных) событий.

Если и формула принимает вид

Опр 5. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событии А и В обозначается так: А - В, или А \ В.

Задача. Подбрасывается игральный кубик. Обозначим события: А - "выпадение шести очков", В - "выпадение трех очков", С - "выпадение четного числа очков", D - "выпадение числа очков, кратного трем". Каковы соотношения между этими событиями?

Решение. Если выпало шесть очков, то тем самым выпало и четное число очков, т. е. событие А влечет событие С: . Рассуждая аналогично, получаем

Задача. Опыт - подбрасывание игрального кубика. События: Ak (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) - "выпадение k очков", А - "выпадение четного числа очков", В - "выпадение нечетного числа очков", С - "выпадение числа очков, кратного трем", D - "выпадение числа очков, большего трех". Выразить события А, В, С и D через события Ak.

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А2, или А4, или А6. Это означает, что А = А2 + А4 + А6. Рассуждая аналогичным образом, получаем:

B = Al + A3+A5,

C = A3 + A 6

D=А4+А5+А6.

Задача. Пусть А, В, С произвольные события. Что означают следующие события:

?

Решение. В соответствии с определением - произведение трех событий , которые происходят одновременно, причем - событие, противоположное событию А. Следовательно, означает, что событие А произошло, а события В и С произошли. Рассуждая аналогично, заключаем, что: - ни одно из трех данных событий не произошло, хотя бы одно из трех событий не произошло; - произошло ровно одно из трех событий; - произошло не более одного из трех событий.

Задача. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела по мишени. Событие Ak - "попадание в мишень при k-ом выстреле (k=1, 2, 3)", Выразить через А1, А2, А3 следующие события: А - "хотя бы вино попадание", В - "три попадания"; С - "три промаха"; D - "хотя бы один промах"; Е - "не меньше двух попаданий"; F - "не более одного попадания"; G - "попадание после первого выстрела".

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А1, или А2, или А3. Это означает, что А=А1+А2+А3. Три попадания •будет тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстрел, т. е. события А1, А2, А3 осуществляются все вместе: В=А1•А2•А3. Три промаха будет тогда и только тогда, когда промах явится результатом каждого выстрела, т. е. события осуществляются все вместе: . Рассуждая аналогично, заключаем, что:

.

Задача Опыт – извлечение детали из ящика, в котором находятся изделия трех сортов. Обозначения событий: А – «извлечена деталь первого сорта», В – «извлечена деталь второго сорта», С – «извлечена деталь третьего сорта». Что представляют собой следующие события:

Решение. А + В – это событие, которое происходит при наступлении хотя бы одного из событий А и В. Следовательно, А + В в данном случае – деталь первого или второго сорта. Поскольку А+С – деталь первого или третьего сорта, то противоположное этому событие - деталь второго сорта. АС – невозможное событие, поскольку деталь одновременно не может быть и первого и третьего сорта. АВ+С как сумма невозможного события и события С равно С, т. е. АВ + С – деталь третьего сорта.

Задачи для самостоятельного решения.

1  Опыт состоит в подбрасывании трех монет. Монеты занумерованы и события А1, А2, А3 означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей монетах. Выразите через A1, A2, А3 следующие события:

а)  А - "выпадение одного герба и двух цифр";

б)  В - "выпадение не более одного герба";

в)  С - "число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр";

г)  D - "выпадение хотя бы двух гербов";

д)  Е - "на первой монете выпал герб, а на остальных - цифры";

е)  F - "на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал герб".

2  Через произвольные события А, В, С найти выражения для следующих:

а)  произошло только событие А;

б)  произошло А и В, но С не произошло;

в)  произошли все три события;

г)  произошло, по крайней мере, одно из этих событий;

д)  произошло, по крайней мере, два события;

е)  произошло одно и только одно событие;

ж)  произошло два и только два события;

з)  ни одно событие не произошло;

и)  произошло не более двух событий.

3  Упростите выражение (А + В)(В + С)(С + А).

4  Докажите, что .

5  Упростите выражение

6  Докажите, что

7  Докажите, что ,

8  Бросили медную и серебряную монеты и рассмотрели события:

А — «герб выпал на медной монете»,

В — «цифра выпала на медной монете»,

С — «герб, выпал на серебряной монете»,

D — «цифра выпала на серебряной монете»,

М — «выпал хотя бы один герб»,

F — «выпала хотя бы одна цифра»,

G — «выпал один герб и одна цифра»,

Н — «невыпадение ни одного герба»,

K— «выпало два герба».

Каким событиям из этого списка равны события:

1) AÈC; 2) AÇC; 3) MÇF; 4) GÈM; 5) GÇM; 6) BÇD; 7) MÈK,

Ответы

1 а); б) ; в) C=B; г) D=A1A2+A1A3+A2A3; д); е).

2 а) ; б) ; в) ABC; г) A+B+C; д) AB+AC+BC; е) ; ж) ; з) ; и) .

3 AB+BC+AC

5 U

Вопросы для самопроверки

1  Что называют суммой, или объединением, двух событий?

2  Как обозначают сумму двух событий?

3  Приведите примеры суммы двух событий.

4  Что называют суммой, или объединением, нескольких событий?

5  Что называют произведением, или пересечением, двух событий?

6  Как обозначают произведение двух событий?

7  Что называют произведением нескольких событий?