Методическая разработка (стр. 9 )

2.  На предприятии, изготовляющем болты, первая машина производит 30%, вторая - 25%, третья - 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найдите вероятности того, что случайно выбранный болт, произведенный первой, второй и третьей машинами, оказался дефектным.

3.  Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Случайно выбранный из партии транзистор был признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен?

4.  Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре предположения (гипотезы) H1, H2, H3, H4. По данным статистики P(H1)=0,2, P(H2)=0,4 P(H3)=0,3, P(H4)=0,4. В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике равны: P(A/H1)=0,9, P(A/H2)=0,4, P(A/H3)=0,3, P(A/H4)=0,1. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

5.  Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении 1:2:3, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%, 2%, 1%. Прибор, приобретенный научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор произведен первым заводом (марка завода ИН приборе отсутствовала).

6.  Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35% всех деталей, второй - 40%, третий - всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет: у первого - 2%, у второго - 3%, у третьего - 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим.

7.  В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

8.  В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

9.  В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

10.  93. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей—на заводе № 2 и 18 деталей—на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

11.  В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

12.  В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

13.  Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

14.  Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй — 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

15.  В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него.

16.  Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

17.  Две упаковщицы набрали на разных конвейерах по одинаковому комплекту деталей. Вероятность того, что первая упаковщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй упаковщиц эта вероятность равна 0,1. При сверке комплектов деталей была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая упаковщиц. (Предполагается, что оба конвейерах были исправны.)

18.  В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K 30% — с заболеванием L, 20% — с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

19.  Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму — 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

20.  Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4; 0,3; 0,5.

Ответы

1.  Вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике – 0,322, на второй – 0,495, на третьей. – 0,183.

2.  1) 0,272; 2) 0,113; 3) 0,614.

3.  0,221.

4.  H1.

5.  0,3.

6.  0,345.

7.  2/3

8.  0,89

9.  0,85

10.  0,78

11.  0,5

12.  0,4

13.  087

14.  10/17

15.  вероятнее, что винтовка была без оптического прицела(24/43 > 19/43)

16.  3/7

17.  1/3

18.  5/11

19.  0,47

20.  20/29

Вопросы для самопроверки

Объясните, что является гипотезами. Запишите формулу полной вероятности. Запишите формулу Бейеса.

Глава 4. Схема Бернулли.

4.1. Формула Бернулли.

Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие А или событие . Если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через р, а вероятность появления события через q (q=1-p).

Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно k раз (и не появится n-k раз), обозначим через Pn(k), тогда

(4.1.1)

где

(4.1.2)

Формула (4.1.1) называется формулой Бернулли. Схема описанных выше испытаний называется схемой Бернулли.

Правая часть формулы (1) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона:

(4.1.3)

Поскольку р + q = 1, то из формулы (3) следует, что сумма всех биномиальных вероятностей равна единице:

(4.1.4)

Опр 1. Число kо, которому при заданном n соответствует максимальная 6иномиальная вероятность Pn(ko), называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и р это число определяется неравенствами:

(4.1.5)

Если число nр + р не является целым, то ko равно целой части этого числа; если же пр + р - целое число, то ko имеет два значения

Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли событие А появится от k1 до k2 раз (0£k1£k2n£) обозначим через Рn(k1 £k £ k2), тогда: