Методическая разработка (стр. 4 )

Задачи для самостоятельного решения.

1. Являются ли несовместными следующие события:

а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А герб, В - цифра;

б) два выстрела по мишени; события: А - "хотя бы одно попадание"; В - "хотя бы один промах".

2. Являются ли равновозможными следующие события:

а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - «появление герба", В • "появление цифры";

б) опыт • подбрасывание погнутой монеты; события: А - "появление герба", В - "появление цифры";

в) опыт• выстрел по мишени; события: А - "попадание", В – «промах”

3. Образуют ли полную группу событий следующие события:

а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - «герб", В - "цифра";

б) опыт - подбрасывание двух симметричных монет; события: А - «два герба", В - "две цифры".

4. Опыт - подбрасывание двух игральных кубиков. Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию - выпало очков: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12?

5. Где опыт и событие, если: стреляют мишени, извлекают шар из ящика.

6. Являются ли случайными событиями "герб" и "решка”, "попадание” и “промах” при стрельбе по мишени", "выигрыш по билету лотереи"?

7. Приведите свои примеры случайных, совместных, несовместных, достоверных, невозможных событий.

8. Приведите пример событий, образующих полную группу.

Ответы

1.  а) да; б) нет

2.  а) да; б) нет; в) в общем случае нет

3.  а) да; б) нет

4.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

Вопросы для самопроверки

Что называют событием? Какое событие называют достоверным в данном опыте? Какое событие называют невозможным в данном опыте? Какое событие называют случайным в данном опыте? Какие события называют совместными в данном опыте? Какие события называют несовместными в данном опыте? Какие события называют противоположными? Какие события считают равновозможными? Что называют полной группой событий? Что называют элементарным исходом? Какие элементарные исходы называют благоприятствующими данному событию? Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании одной монеты? Что представляет собой полная группа событий при подбрасывании двух монет?

2.2. Классическое определение вероятности.

Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности.

Опр 1. Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность). В соответствии с определением

(2.2.1)

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; п - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Вероятность события имеет следующие свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим достоверное событие буквой U. Для достоверного события m=n, поэтому

(2.2.2)

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой V. Для невозможного события m = 0, поэтому

(2.2.3)

3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события А выполняются неравенства 0 <m < n, или , то

0<P(A)<1 (2.2.4)

4. Вероятность любого события В удовлетворяет неравенствам

(2.2.5)

Это следует из свойств 1, 2, 3.

Задача. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение: Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой получаем

Ответ: 0,6.

Задача. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны вытаскивается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение: Обозначим через А событие “число на взятой карточке кратно 5”. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

Ответ: 0,2.

Задачи для самостоятельного решения.

1.  Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число кратно 3?

2.  В урне а красных и в голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?

3.  Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем 30?

4.  В урне а голубых и в красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.

5.  Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число являемся простым?

6.  Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 очков?

7.  Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие В)?

8.  В урне 10 белых, 4 черных и 6 желтых шаров одинаковых по весы и размеру. Из урны достают шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется а) белым; б) черным; в) желтым; г) белым или черным?

9.  Бросают три монеты. Какова вероятность того, что все они упадут решкой?

10.  из 28 костей домино выбирают наугад одну кость. Какова вероятность, что выбранная кость содержит в сумме: а) 5 очков; б) 6 очков; в) 10 очков?

11.  из колоды 36 карт выбирается наугад одна карта. Какова вероятность того, что это будет дама пик или туз любой масти?

12.  Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях — четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

13.  При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

14.  Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

15.  Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение — четырем.

16.  Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три.

17.  Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

18.  В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

19.  В лотерее из 1000 билетов 200 выигрышных. Выбирают наугад один билет. Какова вероятность, что он выигрышный?

20.  В урне 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым и откладывается в сторону. После этого вынимают еще один шар. Найдите вероятность того, что он окажется белым.

Ответы

1.  1/3;

2.  b/(а+b);

3.  0,2;

4.  (b-l)/(а+b-l);

5.  0,3

6.  25/216 - вероятность получить в сумме 9 очков; 27/216 - вероятность получить в сумме 10 очков;

7.  Р (А) = 27/216, Р (В) = 25/216, Р (А)>Р (В)

8.  а) 1/2; б) 1/5; в) 0,3; г) 0,7.

9.  1/8

10.  а) 3/28; б) 1/7; в) 1/14.

11.  5/36

12.  5/36

13.  а) 2/3; б) 1/3.

14.  а) 1/90; б) 1/81.

15.  а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18.

16.  а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008.

17.  3/4

18.  1/720

19.  0,2

20.  0,559

Вопросы для самопроверки

Что называют вероятностью события? Чему равна вероятность достоверного события? Чему равна вероятность невозможного события? В каких пределах заключена вероятность случайного события? В каких пределах заключена вероятность любого события? Какое определение вероятности называют классическим?

Задачи для вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Задача. На пяти одинаковых карточках написаны буквы Б, Е, Р, Т, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово брест?