Методическая разработка (стр. 3 )

18.  Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в 4 одинаковых конверта так, чтобы в каждом конверте лежало по 7 открыток?

19.  В почтовом отделении имеется 10 сортов открыток. Сколькими способами в нем можно купить 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

20.  Сколько пятибуквенных «слов», каждое из которых состоит из трех согласных и двух гласных, можно составить из слова «уравнение»?

Ответы

48 1680 105 241920 720 120 120 20 120; 30; 60 52488; 32768; 1024 59280 336 720 60; 24 75075 151200 «слов» (293930; 24310; 45) 1560

Вопросы для самопроверки

Что называют перестановками? По какой форме вычисляют число перестановок из n различных элементов? Что называют размещениями? По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по m элементов? Что называют сочетаниями? Но какой формуле вычисляют число сочетаний из n элементов по m элементов? Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и сочетаний? По какой формуле вычисляется число перестановок из n элементов, если некоторые элементы повторяются? Какой формулой определяется число размещений по m элементов с повторениями из n элементов? Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов?

Основы теории вероятностей.

Глава 2. Случайные события.

Классическое определение вероятности.

2.1. События. Классификация событий.

Опр 1. Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.

Пример 1. опытом является подбрасывание монеты, а событиями "герб", "цифра на верхней ее стороне (когда монета упадет).

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, ...

Опр 2. Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте.

Пример 2. если в ящике находятся только голубые шары, то событие "из ящика извлечен голубой шар" является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Опр 3. Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте.

Пример 3. если в ящике находятся только красные шары, то событие "из ящика извечен голубой шар" является невозможным (таких шаров в ящике нет).

Опр 4. Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте.

Пример 4. если в ящике находятся n голубых и m красных шаров, одинаковы по размеру, весу, то событие "из урны извлечен голубой шар" является случайным (оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в урне имеются не только голубые, но и красные шары).

Замечание. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом - невозможным, в третьем - случайным. Говоря о достоверности, невозможности, случайности события, имеют в виду его достоверность, невозможность, случайность по отношению к конкретному опыту, т. е. к наличию определенного комплекса условий или действий.

Опр 5. Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте.

Пример 5. При подбрасывании двух симметричных монет, событие А • "герб на верхней стороне первой монеты" и В - "цифра на верхней стороне второй монеты" являются совместными.

Опр 6. Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.

Пример 6. несовместными являются попадание и промах при одном выстреле.

Опр 7. Несколько событий называются несовместными, если они попарно-несовместны.

Опр 8. Два события называются противоположными, если - появление одного из них равносильно непоявлению другого.

Пример 7. противоположными являются события "герб" и "цифра" при одном подбрасывании симметричной монеты.

Опр 9. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают . Например, если А - "попадание", то - "промах" при одном выстреле по мишени.

Опр 10. Множество событий называют полной группой событий, если они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием.

Пример 8. Рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика (т. е. кубика, на гранях которого записаны цифры 1,2, 3,4, 5, 6 или изображены знаки, соответствующие этим цифрам). Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Событие: "верхней гранью оказалась грань с цифрой k обозначим через (k= 1, 2, 3, 4, 5, 6). События образуют полную группу: они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием (когда кубик упадет, то только одна из граней окажется верхней, на ней написана только одна из цифр от 1 до 6).

Опр 11. События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другое.

Пример 9. при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней. При подбрасывании игрального кубики события являются равновозможными, поскольку предполагается, что кубик изготовлен из однородного материала, имеет правильную форму и наличие цифр (или очков) на гранях не влияет на то, какая из шести граней окажется верхней.

Опр 12. Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием, или шансом).

Пример 10. события - элементарные исходы при подбрасывании кубика.

Опр 13. Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами.

Пример 11. При подбрасывании игрального кубика элементарные исходы являются благоприятствующими событию "выпало четное число очков".

Задача. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение: Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (k, m), k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в таблице. Элементарный исход (k, m) означает, что на первом кубике выпало k очков, на втором m очков (k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Например, (3; 4) - на первом кубике 3 очка, на втором - 4 очка.

Таблица 1

(1;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6;1)
(1;2)	(2;2)	(3;2)	(4;2)	(5;2)	(6;2)
(1;3)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
(1;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;3)
(1;6)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5;6)	(6;6)

Задача. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков" при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение: Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (см. табл.): (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

Задача. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших очков равна 7", "сумма выпавших очков равна 8?

Событию “сумма выпавших очков равна 7" благоприятствуют 6 исходов: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). Событию “сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Следовательно, первому событию благоприятствует больше элементарных исходов.

Задача. Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?

Решение: Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1,1,3), (1,3,1), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1). Получить в сумме 6 очков десятью способами: (1;1;4), (1;4;1), (4;1;1), (1;2;3), (1;3;2),(2;1;3), (3,2,1), (3,1,2), (2,3,1), (2,2,2).