Методическая разработка (стр. 1 )

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ТАМБОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ТАМБОВСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УВАРОВСКИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Рассмотрено и одобрено предметной цикловой комиссией Протокол № _____ от__ _ Председатель комиссии ____

Утверждаю Зам. директора по УР ___________________________ подпись, инициалы, фамилия «_____» __________________20____г

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

по дисциплине Теория вероятностей и

математическая статистика

материал для проведения занятий по разделу

«Основы теории вероятностей»

для специальности 230401 «Информационные системы (по отраслям)»

Автор разработки

Уварово 2014

Аннотация.	3
Введение.	4
Элементы комбинаторики.
Глава 1. Основные правила и формулы комбинаторики.
1.1. Перестановки. Размещения. Сочетания.	5
1.2. Правило суммы и произведения.	9
Задачи для самостоятельного решения.	9
Вопросы для самопроверки.	11
Основы теории вероятностей.
Глава 2. Случайные события.
Классическое определение вероятности.
2.1. События. Классификация событий.	12
Задачи для самостоятельного решения.	14
Вопросы для самопроверки.	15
2.2. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности.	16
Задачи для самостоятельного решения.	17
Вопросы для самопроверки.	19
Задачи для вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики.	19
Глава 3. Вероятности сложных событий.
3.1. Произведение и сумма событий.	24
Задачи для самостоятельного решения.	27
Вопросы для самопроверки.	28
3.2. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения независимых событий. Теорема сложения вероятностей.	28
Задачи для самостоятельного решения.	32
Вопросы для самопроверки.	33
3.3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.	34
Задачи для самостоятельного решения.	37
Вопросы для самопроверки.	40
Глава 4. Схема Бернулли.
4.1. Формула Бернулли.	41
Задачи для самостоятельного решения.	42
Вопросы для самопроверки.	44
Заключение.	45
Список литературы.	46

Аннотация.

Данная разработка предназначена для начального ознакомления с основами теории вероятностей и развития навыков решения практических задач.

Методическая разработка включает в себя следующие главы: основные правила и формулы комбинаторики; случайные события, классическое определение вероятности; вероятности сложных событий; схема Бернулли.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждой главы приводятся теоретические сведения: определения основных понятий, формулировки теорем, соответствующие формулы. Далее следуют примеры решения типовых задач различной степени трудности. Затем предлагаются задачи для самостоятельного решения. Приведены ответы к задачам. Каждый параграф завершается вопросами теоретического характера, помогающие проконтролировать полученные знания изучаемого материала.

Данное пособие может применяться при изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами специальности Автоматизированные системы обработки информации и управления (по отраслям), а также студентами тех специальностей, где изучается «Теория вероятностей и математическая статистика».

Введение.

Современная теория вероятностей, подобно другим разделам математики, например геометрии, состоит из результатов, выводимых логическим путем из некоторых основных утверждений, или аксиом, и приложений к ситуациям в реальной жизни, относительно которых предполагается, что они согласуются с аксиомами. Трудность теории вероятностей заключается в том, что объекты, составляющие предмет ее изучения, носят гораздо более общий характер и поэтому не столь наглядны, как, например, объекты геометрии или механики. Теория вероятностей занимается изучением событий и их вероятностей, представляемых числами, заключенными в интервале от 0 до 1. В случае исторически знаменитых задач, связанных с азартными играми, можно интуитивно понять, как должна быть сформулирована соответствующая математическая задача. Такая задача обычно имела следующий вид: заданы вероятности некоторых элементарных событий; требуется вычислить вероятность какого-нибудь более сложного события, связанного с элементарными событиями некоторым простым образом.

Рассматриваемые методы и идеи теории вероятностей решают большой круг различных задач, имеющих практическое значение почти во всех областях современной жизни. Например, теория статистического выборочного метода служит основой столь разных приложений, как опросы общественного мнения и контроль качества продукции на современных промышленных предприятиях. В современном естествознании простые комбинаторные задачи теории вероятностей занимают центральное место в кинетической теории газов, в классической и современной генетике. Невозможно переоценить внутренние связи теории вероятностей с другими областями математики.

Элементы комбинаторики.

Глава 1. Основные правила и формулы комбинаторики.

1.1. Перестановки. Размещения. Сочетания.

На практике часто приходится решать задачи, в которых надо составить комбинацию элементов, согласно поставленному в условии требованию, а также производить подсчет числа составленных комбинаций. Такие задачи называются «комбинаторными», а раздел математики, в котором они изучаются «комбинаторика».

Опр 1. Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах.

Идеи и методы «комбинаторики» используются в теории вероятности, математической статистики и др. науках.

Перестановки

Опр 2. Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.

Рассмотрим следующую задачу. На полке стоят три книги. Сколькими способами можно разместить эти книги на полке?

Обозначим книги буквами a, b, c. Если первой поставить книгу a, то возможны варианты: авс, асв.

Если первой поставить книгу в, то имеем такие варианты: вас, вса.

Если первой поставить с, то сав, сва.

Значит три книги на полке можно расставить 6 различными способами, или получить 6 перестановок.

Выясним, сколько перестановок можно получить из множества, состоявшего из N элементов.

Обозначим число перестановок из n элементов символом Pn (читают P из n).

Если n=1, то P1=1

Если n =2, то P2=2

Если n=3, то P3=6

Пусть n=4. Добавим 4-ую книгу d. Из каждой перестановки, например, abc, можно получить 4 различных перестановки: dabc, adbc, abdc, abcd.

Всего перестановок из 3 элементов будет 6. Значит P4=4*P3=4*6=24.

Из рассмотренных примеров видно: P1=1, P2=1*2=2, P3=1*2*3=6, P4=1*2*3*4=24.

Опр 3. Число различных перестановок из n элементов находится по формуле:

Pn=n! (1.1.1)

(читается эн-факториал)

Замечание 1. 0!=1, n!=1*2*3*…*n.

Замечание 2. Так как каждая перестановка содержит все N элементов, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования этих элементов.

Задача. Сколько различными способами могут сесть за круглый стол 7 человек?

Решение: n=7; P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040.

Ответ: 5040.

Задача. Сколько различных 4-значных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причем в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: Количество четырехзначных чисел, которое можно составить из четырех различных цифр, включая 0, без повторения цифр равно числу перестановок из четырех элементов: P4. Но в это же число перестановок будут входить комбинации цифр, в которых 0 стоит на первом месте, такие, например, как 0123, 0213 и т. д. Поэтому из числа перестановок, содержащих четыре элемента, надо исключить те, которые начинаются на 0. Таких перестановок будет P3. Следовательно, всего четырехзначных чисел, которые можно составить из данных цифр будет:

P4-P3=4!-3!=1*2*3*4-1*2*3=24-6=18

Ответ: 18.

Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае множества с повторениями вычисляются по другим формулам.

Опр 4. Если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями определяется формулой:

(1.1.2)